高考数学统考一轮复习第7章7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案

这是一份高考数学统考一轮复习第7章7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案，共13页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。

【知识重温】
一、必记6个知识点
1．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：
(1)满足Ax＋By＋C＝0的点．
(2)满足Ax＋By＋C>0的点．
(3)满足Ax＋By＋C<0的点．
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．
3．线性规划中的基本概念
4.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
5．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
6．最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
二、必明2个易误点
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
二、教材改编
2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是( )
3．下面给出的四个点中，位于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))表示的平面区域内的点是( )
A．(0,2) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(2,0)
三、易错易混
4．[2021·江西省名校高三教学质量检测]若实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋4≥0,3x＋5y＋4≥0,5x＋3y－4≤0))，则z＝2x＋y的最大值为________．
5．[2021·广州市高三年级调研检测]已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－2≥0,3x－y－3≤0,x－2y＋4≥0))，则z＝x－3y的最小值为( )
A．－7 B．－6 C．1 D．6

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅰ，13]若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－2≤0，,x－y－1≥0，,y＋1≥0，))则z＝x＋7y的最大值为________．

eq \x(考点一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
[互动讲练型]
[例1] [2019·全国卷Ⅲ]记不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D. 命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12. 下面给出了四个命题
①p∨q ②(綈p)∨q ③p∧(綈q) ④(綈p)∧(綈q)
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
悟·技法
平面区域面积问题的解题思路
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·济南模拟]设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1≥0，,x－y＋1≥0，,2x－y－2≤0))表示的平面区域为M，若直线kx－y＋1＝0(k∈R)将区域M的面积分为相等的两部分，则实数k的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(1,3)
2．已知约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．－2

考点二 求目标函数的最值[分层深化型]
考向一：形如z＝ax＋by
[例2] [2020·全国卷Ⅲ，13]若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,2x－y≥0，,x≤1，))则z＝3x＋2y的最大值为________．
考向二：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2
[例3] [2021·山西省六校高三阶段性测试]将满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2<0，,2x－y＋2≥0，,x－2y－2≤0))的实数对(x，y)所组成的集合记作D，设z＝(x－1)2＋(y－2)2，则z的取值范围是________．
考向三：形如z＝eq \f(y－b,x－a)
[例4] [2021·湖南省长沙市高三调研试题]设实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋4≥0,x＋2y－6≥0,x≤2))，则z＝eq \f(y,x＋1)的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，\f(16,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(5,6)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(16,3)))
听课笔记：
悟·技法
1.求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，通过求直线的截距eq \f(z,b)的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝eq \f(y－b,x－a).
[提醒] 注意转化的等价性及几何意义.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．[2021·湖北省部分重点中学高三起点考试]已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≥0,x＋y－1≥0,x<2))，则z＝2x－y的取值范围是________．
4．[2021·安徽省部分重点校高三联考试题]已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0,x＋y－1≥0,x≤0))，则z＝x＋3y的最小值为________．



[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·黑龙江鹤岗一中月考]设实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,y－x≤2，,y≥1，))则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4]
C．[eq \r(2)，3] D．[2,4]
6．[2021·石家庄市高三年级阶段性训练题]已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0,2x＋y－5≤0,y≥1))，则z＝eq \f(y,x＋3)的最大值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)



[拓展练]——(着眼于迁移应用)
7．[2021·山西晋中月考]已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4≤0，,y≥2，,x－4y＋k≥0，))且z＝3x＋y的最小值为－1，则常数k＝________.
8．[2021·湖南师大附中月考]已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，))若ax＋y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2)或－1 B．2或eq \f(1,2)
C．－2或1 D．2或－1


考点三 线性规划的实际应用[互动讲练型]
[例5] [2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
悟·技法
1.解线性规划应用题3步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．求解线性规划应用题的3个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.
[变式练]——(着眼于举一反三)
9．[2021·河北省“五个一名校联盟”考试]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )
A.15万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
(5)×
2．解析：x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．
故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．故选C.
答案：C
3．解析：将四个点的坐标分别代入不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0，))满足条件的是(0，－2)．故选C.
答案：C
4．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，易知A(2，－2)，作出直线2x＋y＝0，并平移，数形结合可知，当经过点A(2，－2)时，z＝2x＋y取得最大值，所以zmax＝2×2－2＝2.
答案：2
5．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，向上平移基准直线x－3y＝0到可行域边界B(2,3)的位置时，z取得最小值，此时z＝2－3×3＝－7.故选A.
答案：A
6．解析：作出可行域如图，由z＝x＋7y得y＝－eq \f(x,7)＋eq \f(z,7)，易知当直线y＝－eq \f(x,7)＋eq \f(z,7)经过点A(1,0)时，z取得最大值，zmax＝1＋7×0＝1.
答案：1
课堂考点突破
考点一
例1 解析：由不等式组画出平面区域D，如图阴影部分所示，
在图中画出直线2x＋y＝9，可知命题p正确，
作出直线2x＋y＝12,2x＋y≤12表示直线及其下方区域，易知命题q错误．
∴綈p为假，綈q为真，
∴p∨q为真，綈p∨q为假，p∧綈q为真，綈p∧綈q为假.
故真命题的编号为①③，故选A.
答案：A
变式练
1．解析：
如图所示，阴影区域△ABC为不等式组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1≥0,x－y＋1≥0,2x－y－2≤0))表示的平面区域M，因为直线l：kx－y＋1＝0(k∈R)过定点(0,1)，所以直线l过点B(0,1)．又直线l将区域M，即△ABC的面积分为相等的两部分，所以直线l需过AC的中点D(2,2)，代入kx－y＋1＝0，得k＝eq \f(1,2)，故选B.
答案：B
2．解析：先作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y≤4))
对应的平面区域，如图：
要使阴影部分为直角三角形，
当k＝0时，此三角形的面积为eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2)≠1，所以不成立．当k＝1时，此三角形面积为eq \f(1,2)×2×1＝1，故选A.
答案：A
考点二
例2 解析：如图所示，x，y满足的可行域为△AOB及其内部．
由目标函数z＝3x＋2y得y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(z,2).
当直线y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(z,2)过点A(1,2)时，z取最大值，最大值为7.
答案：7
例3 解析：作出可行域D如图中阴影部分所示(不含边界AB)，其中A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)．z＝(x－1)2＋(y－2)2表示可行域D内的点到点(1,2)的距离的平方，数形结合知点C(－2，－2)与点(1,2)间的距离最大，故zmax＝(－2－1)2＋(－2－2)2＝25；点(1,2)到直线x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(1,\r(2))，故z>d2＝eq \f(1,2).因此z的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，25)).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，25))
例4 解析：解法一 作出可行域如图中阴影部分所示．z＝eq \f(y,x＋1)表示可行域中的点与点(－1,0)连线的斜率．易知在A(2,2)点处z取得最小值eq \f(2,3)，在Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，\f(16,5)))点处z取得最大值eq \f(16,3)，所以z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(16,3))).故选D.
解法二 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,x＋2y－6＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝2))，此时z＝eq \f(2,3)；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,2x－y＋4＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝8))，此时z＝eq \f(8,3)；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋4＝0,x＋2y－6＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2,5),y＝\f(16,5)))，此时z＝eq \f(16,3).综上所述，z的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(16,3)))，故选D.
答案：D
同类练
3．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，平移可知过点C时z最小，联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0,x＋y－1＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3),y＝\f(2,3)))，即Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，所以zmin＝2×eq \f(1,3)－eq \f(2,3)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0,x＝2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝－1))，即B(2，－1)，将直线2x－y＝0往右下方平移的过程中，z的值逐渐增大，所以zmax<2×2－(－1)＝5.
所以z的取值范围是[0,5)．
答案：[0,5)
4．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋3y＝0并平移，可知当直线过点A(0,1)时，z取得最小值，最小值为3.
答案：3
变式练
5．解析：作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,y－x≤2，,y≥1))表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知x2＋y2的几何意义为平面区域内(包括边界)点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，所以|OA|为最大距离，|OA|＝2，|OB|为最小距离，|OB|＝1，所以x2＋y2∈[1,4]．故选B.
答案：B
6．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝eq \f(y,x＋3)的几何意义是可行域内的任一点P(x，y)与点C(－3,0)连线的斜率，由图可知，当点P与点A(1,3)重合时，z取得最大值，最大值为eq \f(3,4)，故选C.
答案：C
拓展练
7．解析：根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋y＝0，并平移，结合图象可知，当平移后的直线过点A(x,2)时，z＝3x＋y取得最小值－1，故3x＋2＝－1，解得x＝－1，故A(－1,2)，故－1＝4×2－k，故k＝9.
答案：9
8．解析：由题中约束条件作可行域如图所示：
令z＝ax＋y，化为y＝－ax＋z，由题意知使直线y＝－ax＋z的纵截距取得最大值的最优解不唯一．当－a>2时，直线y＝－ax＋z经过点A(－2，－2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a＝2时，直线y＝－ax＋z与y＝2x＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当－1<－a<2时，直线y＝－ax＋z经过点B(0,2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a＝－1时，直线y＝－ax＋z与y＝－x＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当－a<－1时，直线y＝－ax＋z经过点C(2,0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意．综上，当a＝－2或a＝1时最优解不唯一，符合题意. 故选C.
答案：C
考点三
例5 解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，则总利润z＝2 100x＋900y，约束条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x∈N，,y∈N，))作出不等式组表示的可行域如图阴影部分(包括边界)中的整数点所示．
由x∈N，y∈N，可知z取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
变式练
9．解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝12，,x＋2y＝8，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))∴M(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.
答案：D
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8