通用版高考数学(文数)一轮复习第02单元《函数的概念及其性质》学案(含详解)

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第二单元 函数的概念及其性质
教材复习课“函数”相关基础知识一课过

函数的基本概念
[过双基]
1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合A，B
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
3．表示函数的常用方法
列表法、图象法和解析法．
4．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数称为分段函数．
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
　
1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案：B
2．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是(　　)
A．y＝　　　　　　　 B．y＝()
C．y＝lg 10x D．y＝2log2x
解析：选C　A．y＝＝x(x≠0)与y＝x的定义域不同，故不是相同的函数；
B．y＝()＝|x|与y＝x的对应关系不相同，故不是相同的函数；
C．y＝lg 10x＝x与y＝x的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数；
D．y＝2log2x与y＝x的对应关系不相同，故不是相同的函数．
3．已知函数f(x)＝则f＝(　　)
A．－2 B．4
C．2 D．－1
解析：选A　因为函数f(x)＝
所以f＝2＋16＝4，
则f＝f(4)＝log4＝－2.
4．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
[清易错]
1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．
1．(合肥八中模拟)已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则(　　)
A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)
B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)
C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)
D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)
解析：选B　因为f(x)＝2x＋1，所以f(x－1)＝2x－1.因为函数f(x)的定义域为[1,3]，所以1≤x－1≤3，即2≤x≤4，故f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)．
2．下列对应关系：
①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；
②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；
③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；
④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．
其中是A到B的映射的是(　　)
A．①③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：选C　由映射的概念知①中集合B中有两个元素对应，②中集合A中的0元素在集合B中没有对应，③④是映射．故选C.

函数定义域的求法
[过双基]
函数y＝f(x)的定义域


1.函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为________．
解析：由⇒⇒0＜x≤2，
故所求函数的定义域为(0,2]．
答案：(0,2]
2．函数y＝lg(1－2x)＋的定义域为________．
解析：由题意可知求解可得－3≤x<0，
所以函数y＝lg(1－2x)＋的定义域为[－3,0)．
答案：[－3,0)
[清易错]
1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.
2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围.
1．(辽宁锦州模拟)已知函数f(x2－3)＝lg，则f(x)的定义域为________．
解析：设t＝x2－3(t≥－3)，则x2＝t＋3，所以f(t)＝lg＝lg，由>0，得t>1或t<－3，因为t≥－3，所以t>1，即f(x)＝lg的定义域为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
2．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为________．
解析：因为函数f(x)的定义域为[0,2]，
所以对于函数f(2x)，0≤2x≤2，即0≤x≤1，
又因为8－2x≥0，所以x≤3，
所以函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为[0,1]．
答案：[0,1]

函数的单调性与最值
[过双基]
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值


1．(珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝2－x　　　　　　　 B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝－
解析：选B　由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A　由于f(x)＝|x－2|x＝
作出函数f(x)的图象如图，
则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．(长春质量检测)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A　因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.
4．若函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，
∴即∴∴a＋b＝6.
答案：6
5．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
[清易错]
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
1．函数f(x)＝在(　　)
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：选C　函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7]

函数的奇偶性
[过双基]
1．定义及图象特征
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

1．下列函数中的偶函数是(　　)
A．y＝2x－ B．y＝xsin x
C．y＝excos x D．y＝x2＋sin x
解析：选B　因为f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，故选B.
2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝3x－1，则f(9)＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选D　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x∈[0,2]时，f(x)＝－f(－x)＝－3－x＋1；设x－2＝t，则x＝t＋2，则f(x－2)＝f(x＋2)可化为f(t)＝f(t＋4)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(9)＝f(1)＝.
3．(绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) A. B.
C. D.
解析：选A　∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，
∴f(|2x－1|) 4．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则(　　)
A．函数f(x)－g(x)是奇函数
B．函数f(x)·g(x)是奇函数
C．函数f[g(x)]是奇函数
D．函数g[f(x)]是奇函数
解析：选B　因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
所以f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，故f(x)·g(x)是奇函数．
[清易错]
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断分段函数奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
1．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则(　　)
A．f(m)f(1)
C．f(m)＝f(1) D．f(m)与f(1)大小不能确定
解析：选A　由题意可知－3－m＋m2－m＝0，
所以m＝3或m＝－1，
又因为函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，
所以2－m是奇数，且2－m>0，
所以m＝－1，则f(x)＝x3，定义域为[－2,2]且在[－2,2]上是增函数，
所以f(m) 2．函数f(x)＝的奇偶性为________．
解析：∵x≠0，故f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝log2x＝f(x)．
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝log2(－x)＝f(x)．
故f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
答案：偶函数

函数的周期性
[过双基]
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
3．重要结论
周期函数的定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.
若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
4．对称性与周期的关系
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．

1．已知函数f(x)＝则f(－5)的值为(　　)
A．0 B.
C．1 D.
解析：选B　由f(x)＝可得f(－5)＝f(1)＝sin ＝.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：选C　由f(－x)＝－f(x)可得函数f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)．
令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t＋2)＝－f(t)，
则f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，
即函数f(x)的最小正周期为4.
又因为当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，
所以f(31)＝f(31－4×8)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.
3．(晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________.
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
∴当x＝－3时，
有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，
∴f(－3)＝0，f(3)＝0，
∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.
故f(2 017)＝f(1)＝2.
答案：2
[清易错]
在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的使用而致误.
　已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
解析：由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．
故函数f(x)的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，
∴f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答案：2.5

一、选择题
1．函数f(x)＝lg(x－1)－的定义域为(　　)
A．(－∞，4]　　　　　　 B．(1,2)∪(2,4]
C．(1,4] D．(2,4]
解析：选C　由题意可得解得1 2．(唐山期末)已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝(　　)
A．－4 B．－2
C．－1 D．－3
解析：选A　∵f(a)＝a＋－1＝2，
∴a＋＝3.
f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
3．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a的值为(　　)
A．－3 B．±3
C．－1 D．±1
解析：选D　当a≥0时，f(a)＝，由已知得＋1＝2，得a＝1；当a<0时，f(a)＝，由已知得＋1＝2，得a＝－1，综上，a＝±1.故选D.
4．下列几个命题正确的个数是(　　)
(1)若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正根，一个负根，则a<0；
(2)函数y＝＋是偶函数，但不是奇函数；
(3)函数f(x＋1)的定义域是[－1,3]，则f(x2)的定义域是[0,2]；
(4)若曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　(1)由根与系数的关系可知，(1)正确；
(2)函数y＝＋的定义域为{－1,1}，值域为{0}，显然该函数既是奇函数也是偶函数，(2)错误；
(3)函数f(x＋1)的定义域是[－1,3]，所以0≤x＋1≤4，则函数f(x)的定义域是[0,4]，对于函数f(x2)可得0≤x2≤4，则－2≤x≤2，即f(x2)的定义域是[－2,2]，(3)错误；
(4)由二次函数的图象，易知曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数可能是0,2,3,4，(4)正确．故选B.
5．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则(　　)
A．a＝－2 B．a＝2
C．a≤－2 D．a≥2
解析：选C　函数f(x)的对称轴方程为x＝－，
由题意知－≥1，即a≤－2.
6．(天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C　根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；
对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；
对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确；
对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.
7．已知函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C. D.
解析：选D　令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知y＝logt在其定义域上单调递减，要使f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即所以即－ 8．(长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C　f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.
二、填空题
9．f(x)＝asin x－blog3(－x)＋1(a，b∈R)，若f(lg(log310))＝5，则f(lg(lg 3))＝________.
解析：令g(x)＝asin x－blog3(－x)，
因为g(－x)＝－asin x－blog3(＋x)
＝－asin x－blog3
＝－asin x＋blog3(－x)＝－g(x)，
所以函数g(x)是奇函数，因为lg(log310)＋lg(lg 3)＝lg ＋lg(lg 3)＝0，即lg(log310)与lg(lg 3)互为相反数，f(lg(lg 3))＝g(lg(lg 3))＋1＝－g(lg(log310))＋1＝－[f(lg(log310))－1]＋1＝－3.
答案：－3
10．设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝9x＋＋7，若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________．
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0，则0≥a＋1，所以a≤－1，又设x>0，则－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝－＝9x＋－7.由基本不等式得9x＋－7≥2－7＝－6a－7，由f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，只需－6a－7≥a＋1，即a≤－，结合a≤－1，所求a的取值范围是.
答案：
11．设f(x)＝x3＋log2(x＋)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．
解析：因为f(－x)＝－x3＋log2(－x＋)＝－x3＋log2＝－x3－log2(x＋)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，易知函数f(x)在R上是增函数，
因为a＋b≥0，所以a≥－b，
所以f(a)≥f(－b)＝－f(b)，即f(a)＋f(b)≥0，反之亦成立，
因此，对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的充要条件．
答案：充要
12．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋0＋f＋f(0)＋f
＝f－f＋f(0)＋f
＝f＋f(0)
＝2－1＋20－1
＝－1.
答案：－1
三、解答题
13．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得
解得a＝－1，b＝1，
所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图所示：
14．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
高考研究课(一)函数的定义域、解析式及分段函数
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
函数的概念
5年1考
函数定义问题
分段函数
5年4考
分段函数求值及不等式恒成立问题


函数的定义域问题
[典例]　(1)(长沙模拟)函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1，＋∞)　　　　　 B．[－1，＋∞)
C．(－1,2)∪(2，＋∞) D．[－1,2)∪(2，＋∞)
(2)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
[解析]　(1)由题意知，要使函数有意义，需即－12，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.
(2)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
[答案]　(1)C　(2)[－1,0]
[方法技巧]
函数定义域问题的3种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．　　
[即时演练]
1．函数f(x)＝＋lg 的定义域为(　　)
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
解析：选C　由题意得解得2 2．已知函数f(2－x)＝，则函数f()的定义域为(　　)
A．[0，＋∞) B．[0,16]
C．[0,4] D．[0,2]
解析：选B　由4－x2≥0可得－2≤x≤2，令2－x＝t，则0≤t≤4，函数f(2－x)＝可化为函数f(t)＝，0≤t≤4，所以函数f()满足0≤≤4，则0≤x≤16，即函数f()的定义域为[0,16]．

函数解析式的求法
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现.
[典例]　(1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)

A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)(合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．
[解析]　(1)用“待定系数法”解题
设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
(2)用“代入法”解题
∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，
∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)＝－x2－x.
(3)用“函数方程法”解题
令代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，
得3f＋5f(x)＝3x＋1，
∴
①×3－②×5得f(x)＝x－＋.
[答案]　(1)A　(2)－x2－x
(3)f(x)＝x－＋
[方法技巧]
求函数解析式的常见方法
待定系数法
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可
换元法
已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可
构造法
已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理构造成只含h(x)的式子，用x将h(x)替换
函数方程法
已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(－x)，f，则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
[即时演练]
1．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
解析：选B　令＝t，得x＝(t≠1)，
∴f(t)＝＝，∴f(x)＝.
2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得∴f(x)＝2x＋7.
答案：2x＋7

分段函数
分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题或中档题.
常见的命题角度有：
(1)分段函数求值问题；
(2)求参数值或自变量的取值范围；
(3)研究分段函数的性质.
角度一：分段函数求值问题
1．已知函数f(x)＝则f[f(ln 2)]＝________.
解析：由题意知，f(ln 2)＝eln 2－1＝1，所以f[f(ln 2)]＝log22＝1.
答案：1
角度二：求参数或自变量的取值范围
2．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝所以f(x)≤2等价于或即或即0≤x≤1或x>1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
3．(厦门模拟)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a<.
答案：
角度三：研究分段函数的性质
4．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x) 在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x＞0时，f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.
5．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A　当x≤0时，f(x)＝2－x－1，
当0 f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x>0时，f(x)是周期函数，
如图所示．

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
[方法技巧]
分段函数问题的3种类型及求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
(3)研究分段函数的性质
可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断．　　

1．(全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D　函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3　　　　B．6　　　　　C．9　　　　　D．12
解析：选C　∵－2<1，
∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A　由于f(a)＝－3，
①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.
由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；
②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，
解得a＋1＝8，a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.
综上所述，f(6－a)＝－.
4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
解析：选D　当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选D.

一、选择题
1．(广东模拟)设函数f(x)满足f＝1＋x，则f(x)的表达式为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　令＝t，则x＝，代入f＝1＋x，得f(t)＝1＋＝，即f(x)＝，故选A.
2．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A. B.∪(0，＋∞)
C. D．[0，＋∞)
解析：选B　由题意，得解得－0.
3．(福建调研)设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 017)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 017 D．2 018
解析：选D　令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 017)＝2 018.
4．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝(　　)
A．2 B．0
C．1 D．－1
解析：选A　令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，　　 　②
联立①②得f(1)＝2.
5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B　设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g(x)＝3x2－2x.
6．(青岛模拟)已知函数f(x)＝则使f(x)＝2的x的集合是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知，f(x)＝2，即或解得x＝或4，故选A.
7．(莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　要使函数y＝有意义，需满足⇒⇒≤x<2.故选B.
8．(武汉调研)函数f(x)＝满足f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值为(　　)
A．1或－ B．－
C．1 D．1或
解析：选A　∵f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，
∴f(a)＝1，
当－1 ∵0 ∴πa2＝⇒a＝－；
当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1⇒a＝1.
故a＝－或1.
二、填空题
9．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，
∴x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，
∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
10．已知函数y＝lg(kx2＋4x＋k＋3)的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
解析：∵函数y＝lg(kx2＋4x＋k＋3)的定义域为R，
∴kx2＋4x＋k＋3>0对任意实数x恒成立，
若k＝0，不等式化为4x＋3>0，即x>－，不合题意；
若k≠0，则解得k>1.
∴实数k的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
11．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；
对于②，f＝＋x＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；
对于③，f＝
即f＝故f＝－f(x)，满足题意．
答案：①③
12．(北京高考)设函数f(x)＝
①若a＝0，则f(x)的最大值为________；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≤a时，由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.
如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．
①若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.
②当a≥－1时，f(x)有最大值；
当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a<－1.
答案：①2　②(－∞，－1)
三、解答题
13．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，g(x)＝x－1，
故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，g(x)＝2－x，
故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
当x>1或x<－1时，f(x)>0，
故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；
当－1 故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.
所以g(f(x))＝
14．水库的储水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为：
v(t)＝
(1)该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内哪几个月份是枯水期？
(2)求一年内该水库的最大储水量．
(取的值为4.6计算，e3的值为20计算)
解：(1)当00.
解得t>或t<，
从而0 当9 即(t－9)(3t－41)<0，解得9 综上，0 (2)由(1)知，水库的最大蓄水量只能在6～9月份．
v′(t)＝(－t2＋13t－36)et＝－et(t－4)(t－9)，
令v′(t)＝0，解得t＝9或t＝4(舍去)，
又当t∈(6,9)时，v′(t)>0，v(t)单调递增；
当t∈(9,10)时，v′(t)<0，v(t)单调递减．
所以当t＝9时，v(t)的最大值v(9)＝×3×e9＋50＝150(亿立方米)，
故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．

1．已知函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零点的和为(　　)
A. B．22n－1＋2n－1
C. D．2n－1
解析：选B　因为函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以m≥1.
又因为对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，且函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，所以m＝1.
如图所示，函数g(x)＝f(x)－x在区间
[0,2n](n∈N*)上的所有零点分别为0,1,2,3，…，2n，
所以所有的零点的和等于＝22n－1＋2n－1.
2．设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直线y＝k(x－1)(k<0)与函数y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，则k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　作出函数f(x)＝的图象如图所示．

因为直线y＝k(x－1)(k<0)与函数y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，
所以解得－1 高考研究课(二)函数的单调性、奇偶性及周期性
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
函数的单调性
5年3考
利用单调性解不等式、比较大小、求最值
函数的奇偶性
5年6考
奇偶性的判断及应用求值
函数的周期性
未考查



函数的单调性
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.,常见的命题角度有：
(1)确定函数的单调性；
(2)求函数的值域或最值；
(3)比较两个函数值；
(4)解函数不等式；
(5)利用单调性求参数的取值范围.
角度一：确定函数的单调性
1．(昆明调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A．y＝－x　　　　　　 B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex－x
解析：选A　对于选项A，y＝在(0，＋∞)内是减函数，y＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B、C选项中的函数在(0，＋∞)内的单调性不确定；对于选项D，y′＝ex－1>0在(0，＋∞)内恒成立，故y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，故选A.
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5x
解析：选A　y＝在区间(0，＋∞)上为增函数，A项符合题意；y＝(x－1)2在(0,1)上为减函数，y＝2－x，y＝log0.5x在(0，＋∞)上都是减函数，故B、C、D选项都不符合题意．
3．(广东佛山联考)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的单调性．
解：法一：(定义法)
设－1 则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
法二：(导数法)
f′(x)＝
＝＝＝－.
∵a>0，x∈(－1,1)，
∴f′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上是减函数．
[方法技巧]
确定函数单调性的常用方法
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法
先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
[提醒]　复合函数y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．
角度二：求函数的值域或最值
4．函数y＝2x2＋2x的值域为(　　)
A. B．[2，＋∞)
C. D．(0,2]
解析：选A　因为x2＋2x≥－1，且y＝2t是增函数，
所以y＝2x2＋2x≥，
因此函数y＝2x2＋2x的值域是.
5．(北京高考)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
解析：f′(x)＝＝－，
当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，故f(x)max＝f(2)＝＝2.
答案：2
[方法技巧]
利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数法．　　
角度三：比较两个函数值
6．(天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．b 解析：选C　由f(x)为奇函数，知g(x)＝xf(x)为偶函数．
因为f(x)在R上单调递增，f(0)＝0，
所以当x>0时，f(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0.
又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，
20．8<2＝log24 所以b 7．(哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选D　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)，
∴b>a>c.
[方法技巧]
比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．　　
角度四：解函数不等式
8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1) A．(－2,3) B．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
C．[－2,3] D．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
解析：选B　因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且f(2x－1)5，即x<－2或x>3.
9．已知函数f(x)＝若f(a)>f(2－a)，则a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)＝的图象，如图所示，显然函数f(x)是增函数，所以不等式f(a)>f(2－a)等价于a>2－a，则a>1.
答案：(1，＋∞)
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　
角度五：利用单调性求参数的取值范围
10．(济宁模拟)函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为____________．
解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得a∈[4,8)．
答案：[4,8)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．　　


函数的奇偶性
[典例]　(1)(重庆适应性测试)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝x3＋3x2 B．y＝
C．y＝xsin x D．y＝log2
(2)(湖北武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
(3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[解析]　(1)依题意，对于选项A，注意到当x＝－1时，y＝2；当x＝1时，y＝4，因此函数y＝x3＋3x2不是奇函数．对于选项B，注意到当x＝0时，y＝1≠0，因此函数y＝不是奇函数．对于选项C，注意到当x＝－时，y＝；当x＝时，y＝，因此函数y＝xsin x不是奇函数．对于选项D，由>0得－3 (2)∵f(x)＋g(x)＝ex，①
∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，
又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)－g(x)＝e－x，②
由①②可解得g(x)＝.故选D.
(3)函数f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln (e－3x＋1)－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，化简得ln＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e2ax＋3x＝1，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
[答案]　(1)D　(2)D　(3)－
[方法技巧]
应用函数奇偶性可解决的4类问题
(1)判定函数奇偶性
①定义法：
　　
②图象法：

③性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)利用函数的奇偶性求值
首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值．
[即时演练]
1．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：选C　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，化简可得a＝1，
则>3，即>0，
∴<0，∴1<2x<2，解得0 2．已知函数f(x)＝asin x－btan x＋4cos ，且f(－1)＝1，则f(1)＝(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．4－1
解析：选A　f(x)＝asin x－btan x＋2，易知函数g(x)＝asin x－btan x是奇函数，
因为f(－1)＝asin (－1)－btan (－1)＋2＝1，
所以asin 1－btan 1＝1，
则f(1)＝asin 1－btan 1＋2＝3.
3．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝(　　)
A. B．－1
C．1 D．7
解析：选A　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝.

函数的周期性
[典例]　(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝________.
(2)(烟台模拟)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
[解析]　(1)∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 016)＝f(2 018)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝f(2 017)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝1 009.
(2)由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋＝.
[答案]　(1)1 009　(2)
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　　
[即时演练]
1．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x，设a＝f(－)，b＝f(3)，c＝f(8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
解析：选C　由f(x－1)＝f(x＋1)可知，函数的最小正周期为2，由f(x＋1)＝f(1－x)可知，函数的图象关于直线x＝1对称，又因为当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x，所以a＝f(－)＝f(2＋)＝f(－2)＝e2－，b＝f(3)＝f(－1)＝e，c＝f(8)＝f(0)＝1，则b>a>c.
2．(江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．
解析：因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得
f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
由f＝f，得－＋a＝，解得a＝.
所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案：－

函数性质的综合应用
高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.
常见的命题角度有：
(1)单调性与奇偶性结合；
(2)周期性与奇偶性结合；
(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
角度一：单调性与奇偶性结合
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有(　　)
A．f B．f C．f D．f 解析：选B　由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，
由于函数f(x)在[0,1]上是增函数，故f(x)在[－1,0]上也是增函数，
综上函数f(x)在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数．
又f＝f＝f，
所以f 2．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围为________．
解析：∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，
解得－2 综合①②可知，－1≤m<1.
即实数m的取值范围是[－1,1)．
答案：[－1,1)
角度二：周期性与奇偶性结合
3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选D　因为f(x)是周期为2的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－.
角度三：单调性、奇偶性与周期性结合
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80) 解析：选D　∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，
即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
[方法技巧]
函数性质综合应用问题的3种常见类型及求解策略
(1)单调性与奇偶性结合
注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合
此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合
解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．　　

1．(全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：选D　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.
3．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln (－x＋)－xln (x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，
∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
4．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
解析：由题可知，当－20.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1 答案：(－1,3)
5．(2014·全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3

一、选择题
1．(北京高考)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：选A　因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，
所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．
2．(辽宁阶段测试)设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln (1－x)是偶函数，则(　　)
A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数
B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数
C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数
D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数
解析：选B　因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f＝f，则(m－1)ln3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，因为x∈(0,1)时，y＝1－x2是减函数，故f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.
3．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)
A.－>0　　　　　　 B．sin x－sin y>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
解析：选C　A项，考查的是反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，因为x>y>0，所以－<0，所以A错误；B项，考查的是三角函数y＝sin x在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x>sin y，所以B错误；C项，考查的是指数函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，因为x>y>0，所以有xy>0时，xy>0，不一定有ln xy>0，所以D错误．
4．(山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D　由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x>时，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.
5．(湖南联考)已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b C．b 解析：选B　∵<<，∴tan<－10，∴tan 6．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
解析：选B　由函数f(x)为R上的偶函数知，只需考虑f(x)在(0，＋∞)上的单调性，由题意可知f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，则只需函数y＝x2＋ax＋2的对称轴x＝－∈[2,3]即可，故a∈[－6，－4]，选B.
7．设函数f(x)＝ln (1＋|x|)－，则使f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
解析：选A　由题意知，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，当x≥0时，易得函数f(x)＝ln(1＋x)－是增函数，所以不等式f(x)>f(2x－1)等价于|2x－1|<|x|，解得 8．(广州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝(　　)
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：选C　因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，因为f(x)＝f(x＋4)，所以函数的周期为4.
所以f(log220)＝f(log220－4)＝f
＝－f＝－f＝－
＝－＝－1，故选C.
二、填空题
9．(天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
10．(四川高考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，周期为2，
∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.
∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，
∴f＝f＝f＝－f＝－4＝－2.
∴f＋f(1)＝－2.
答案：－2
11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且对于任意x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有>0.若f＝，2f<1，则x的取值范围为________．
解析：由f(－x)＝f(x)可知，函数f(x)是偶函数，
因为对于任意x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有>0，即<0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
又因为f＝，所以2f<1＝2f，
所以|logx|>，即logx>或logx<－，
所以02，
即x的取值范围为∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
12．(江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－，
得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，
所以f(x)是R上的奇函数．
又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，
所以f(x)在其定义域内单调递增．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，
所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，
故实数a的取值范围是.
答案：
三、解答题
13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－ 即不等式的解集为(－，)．
14．(湖南长郡中学测试)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
解：(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－.
由f(0)＝f(－0)＝－f(0)，且f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0.
∴在区间[－1,1]上，有f(x)＝
(2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)＝，设0 则f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵00,2x1＋x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(0,1)上是减函数．

1．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：
①D＝[－1,1]；②对∀x∈D，|f(x)|≤2；③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.
其中所有正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A　由奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　当x≥0时，f(x)＝作出函数图象，再根据函数为奇函数画出x<0时的图象如图所示，由题意，要满足∀x∈R，f(x－1)≤f(x)恒成立，所以应满足2a2－(－4a2)≤1，解得a∈.