宁夏银川一中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

银川一中2018—2019学年度(上)高一期中考试

数  学  试  题

 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出．

【详解】∵，，

∴ ={﹣1，2}

∵，

∴

故选：A．

【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

2.函数的定义域是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．

【详解】由解，得x＞0且x≠1．

∴函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1）∪（1，+∞）．

故选：B．

【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．

3.函数在区间上的最小值是（   ）

A.     B.     C. -2    D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用函数的单调性，求出函数闭区间上的最小值即可．

【详解】函数f（x）=（）x在区间[﹣1，1]上是减函数，

所以函数的最小值为：f（1）=．

故选：B．

【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用，基本知识的考查．

4.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分析给定四个函数在区间（0，+∞）上的单调性，可得结论．

【详解】函数y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

函数y=在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

函数y=|x|在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

函数y=在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性是解答本题的关键．

5.已知函数，则（   ）

A. -1    B. 0    C. 1    D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用分段函数，通过函数的周期性，转化求解函数值即可．

【详解】函数f（x）=，则f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=log21=0．

故选：B．

【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

6.已知幂函数在上是增函数，则实数（   ）

A. 2    B. -1    C. -1或2    D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义与性质，列出方程组求出m的值．

【详解】幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上增函数，

则，

解得m=2．

故选：A．

【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．

7.已知，则函数与函数的图象可能是（   ）

A.     B.    C.     D.

【答案】D

【解析】

，，的函数与函数互为反函数，二者的单调性一至，且图象关于直线对称，故选D.

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

8.设是函数的零点，且，则的值为（   ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】B

【解析】

因为函数是单调递增函数，，故，所以，故选B.

9.函数的单调减区间是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得﹣x2+4x+5≥0，解不等式结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得答案．

【详解】由﹣x2+4x+5≥0可解得﹣1≤x≤5，

结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得：

函数y=的单调减区间是

故选：C．

【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．

10.函数的零点个数为（   ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时，可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．

【详解】由题意可知：

要研究函数f（x）的零点个数，

只需研究函数y=，y=x2的图象交点个数即可．

画出函数y=2x，y=x2的图象

由图象可得有3个交点，如第一象限的A（-2，4），B（-4，16）及第一象限的点C．

故选：C．

【点睛】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．

11.下列结论正确的是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数与对数函数单调性即可判断结论．

【详解】A．∵＜，∴log52＜log32，因此不正确．

B．∵0.93＜1＜30.9，因此不正确．

C．∵log0.32＜0＜0.32，因此不正确．

D．∵=﹣log32＞﹣1，=﹣log23＜﹣1，∴∵＞．因此正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了指数与对数函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

，为奇函数，函数化简得出：，，

，当时，，当时，，当时，，函数的值域为，故选D.

【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

令t=x-1，则x=t+1，代入可得f（t），即可得到f（x）的解析式

【详解】由函数，

令t=x-1，则x=t+1，

即有f（t）=2（t+1）+1=2t+3，

即f（x+1）=2x+5．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意运用换元法，考查运算能力，属于基础题．

14.函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．

【答案】9

【解析】

【分析】

由loga1=0得2x﹣3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的表达式即可得出答案．

【详解】∵loga1=0，

∴当2x﹣3=1，即x=2时，y=4，

∴点M的坐标是P（2，4）．

幂函数f（x）=xα的图象过点M（2，4），

所以4=2α，解得α=2；

所以幂函数为f（x）=x2

则f（3）=9．

故答案为：9．

【点睛】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．

15.已知，则_________．

【答案】2

【解析】

【分析】

由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.

【详解】∵

∴，

∴

故答案为：2

【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.

16.定义在上的偶函数满足：对任意的（），有，且，则不等式的解集是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式组，解出即可．

【详解】由题意：在区间（﹣∞，0]上，f（x）是减函数，又是偶函数，

则在区间（0，+∞）上，f（x） 是增函数．

由＜0⇒＜0，

则或，又f（2）=0，

所以或，

⇒x＜﹣2或0＜x＜2．

故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2），

故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．

【点睛】函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.计算：（1）；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）；（2）。

【解析】

【分析】

（1）利用指数运算性质即可得出．

（2）由已知可得：x+x﹣1=﹣2，x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2，即可得出．

【详解】（1）原式=﹣4﹣1+=+4﹣5+=﹣．

（2）由已知可得：x+x﹣1=﹣2==3．

x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．

原式==﹣．

【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18.已知.

（1）判断的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，判断函数在单调性，并证明你的判断.

【答案】（1）为奇函数，理由见解析；（2）减函数，证明见解析。

【解析】

【分析】

（1）f（x）为奇函数．求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较即可得到；

（2）f（x）在（0，1）为单调递减函数．运用定义法证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论．

【详解】（1）为奇函数。理由如下：

由题意得的定义域为，它关于原点对称，

对于任意，

，

∴是奇函数.

，，

，

∴，

∴不是偶函数，

∴是奇函数，不是偶函数；

（2）当时，函数在上是单调减函数.

证明：设，

则.

，

∴，，

∴.

∴.

∴，

∴在区间上是减函数.

【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.

19.已知函数

（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间；

（2）若函数有四个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）图象见解析，的单调递增区间为和，单调递减区间为和；（2）。

【解析】

【分析】

（1）画出函数的图象，然后写出函数的单调区间即可．

（2）利用函数的值域，结合函数的图象，写出结果即可．

【详解】（1）函数的图象如图所示，

由图象可得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；

（2）由函数的图象可知，当且仅当时，函数有四个零点，

∴实数的取值范围为.

【点睛】函数零点的求解与判断

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

20.已知集合，.

（1）求集合；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）。

【解析】

【分析】

（1）求解指数不等式，能求出集合A．

（2）由A={x|﹣4≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤3m﹣1}，B⊆A，当B=∅时，m+1＞3m﹣1，当B≠∅时，列出不等式组，由此能求出实数m的取值范围．

【详解】（1）∵，∴2﹣3≤2x+1≤24，

∴﹣3≤x+1≤4，解得﹣4≤x≤3，

∴集合A={x|≤2x+1≤16}={x|﹣4≤x≤3}．

（2）∵A={x|﹣4≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤3m﹣1}，B⊆A，

∴当B=∅时，m+1＞3m﹣1，解得m＜1，满足题意；

当B≠∅时，，解得1≤m≤．

综上，实数m的取值范围是（﹣∞，]．

【点睛】防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.

21.已知函数.

（1）判断函数在的单调性.（不需要证明）；

（2）探究是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，解不等式.

【答案】（1）增函数；（2）存在实数满足条件，且当时，是奇函数；（3）。

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式，利用作差法明确函数的单调性；

（2）根据奇函数的定义，我们令f（x）+f（﹣x）=0，由此构造关于a的方程，解方程可得a的值；

（3）根据（2）中条件可得函数的解析式，根据指数函数的性质及二次函数的性质及恒成立的实际意义，可得实数t的取值范围．

【详解】（1）任取x1，x2∈R且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，

∵y=3x在R上是增函数，且x1＜x2，

﹣＜0，+1＞0，+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在R上是增函数．

（2）f（x）=a﹣是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），

即a﹣=﹣（a﹣），

2a=+=+=1，

故a=，

∴当a=时，f（x）是奇函数．

（3）在（2）的条件下，f（x）是奇函数，

则由f（t2+1）+f（2t﹣4）≤0，

可得：f（t2+1）≤﹣f（2t﹣4）=f（4﹣2t），

又f（x）在R上是增函数，则得t2+1≤4﹣2t，﹣3≤t≤1，

故原不等式的解集为：{t|﹣3≤t≤1}．

【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，函数恒成立问题，其中熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义及证明方法是解答的关键．

22.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.

（1）直接写出函数的增区间（不需要证明）；

（2）求出函数，的解析式；

（3）若函数，，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由偶函数的性质结合二次函数的性质分析可得答案；

（2）设x＞0，结合函数的奇偶性，从而得到函数的解析式；

（3）先求出g（x）的表达式，求出对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数g（x）的最值

【详解】（1）根据题意，f（x）的增区间为（﹣1，0）、（1，+∞）；

（2）根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，

又由f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，

f（x）=f（﹣x）=x2+2x；

故函数的解析式为f（x）=；

（3）由（2）可得当x∈[1，2]，f（x）=x2﹣2x，

则g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2﹣2（a+1）x+2，

对称轴方程为：x=a+1，

①当a+1≤1时，g（x）min=g（1）=1﹣2a为最小；

②当1＜a+1≤2时，g（x）min=g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；

③当a+1＞2时，g（x）min=g（2）=2﹣4a为最小

故g（x）=．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意结合二次函数的性质分析函数的最值．