高考数学(理数)一轮复习13《参数方程与极坐标、不等式选讲》单元测试 (含详解)

解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(10分)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝     cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－)＝.

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：ρsin(θ－)＝，

即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.

(2)由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，)．

2．(10分)()以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．

解：(1)因为ρ＝，ρsinθ＝y，

所以ρ＝变形为ρ－ρsinθ＝2，

所以曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.

(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，

根据题意＝3·，

解得θ0＝或θ0＝，

直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．

3．(10分)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．

解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0)．直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1，0)关于直线y＝x对称的点为(0，1)，所以圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝x对称的曲线为x2＋(y－1)2＝1.

所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

4．(10分)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为(3，)，半径r＝3.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．

解：(1)在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，圆C的方程为(x－)2＋(y－)2＝9，即x2＋y2－3x－3y＝0，化为极坐标方程为ρ＝6cos(θ－)．

(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，

由＝2，得＝，

所以ρ1＝ρ，θ1＝θ，

因为点Q在圆C上，所以ρ1＝6cos(θ1－)，

即ρ＝6cos(θ－)，即ρ＝9cos(θ－)．

5．(10分)()已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．

解：(1)曲线C1化为ρcosθ＋ρsinθ＝.

所以ρsin(θ＋)＝.

曲线C2化为＋＝1.(*)

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(*)式

得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.

所以曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.

(2)因为M(，0)，N(0，1)，所以P(，)，

所以OP的极坐标方程为θ＝，

把θ＝代入ρsin(θ＋)＝，得ρ1＝1，P(1，)．

把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，Q(2，)．

所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.

6．(10分)()在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ＋ρcosθ＝m.

(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；

(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．

解：(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；直线l的直角坐标方程为x＋y＝0.

圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，

所以直线l与圆C相切．

(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5.

所以实数m的取值范围为[－1，5]．

7．(10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

解：(1)由ρsin2θ＝4cosθ得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，

所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.

(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到

t2sin2α－4tcosα－4＝0.

设A，B两点对应的参数分别是t1，t2，则

t1＋t2＝，t1t2＝－.

所以|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当且仅当α＝时取等号．

所以|AB|的最小值为4.

8．(10分)()在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝.

(1)求C的普通方程和l的倾斜角；

(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

解：(1)由消去参数α，得＋y2＝1，

即C的普通方程为＋y2＝1.

由ρsin(θ－)＝，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)

将代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为.

(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，

代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，

所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.

9．(10分)设函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|.

(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；

(2)如果对∀x∈R，f(x)≥1，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|＝|x－1|＋|x－4|＝

作出函数f(x)的图象，如图所示，

由图象可得函数f(x)的最小值等于3.

(2)如果对∀x∈R，f(x)≥1，即|x－a|＋|x－4|≥1对任意实数x都成立，

由绝对值的几何意义可得|x－a|＋|x－4|≥|a－4|，所以|a－4|≥1，

所以a－4≥1或a－4≤－1，解得a≥5或a≤3，

故实数a的取值范围为(－∞，3]∪[5，＋∞)．

10．(10分)()设函数f(x)＝|2x－|＋|2x＋m|(m≠0)．

(1)证明：f(x)≥2；

(2)若当m＝2时，关于实数x的不等式f(x)≥t2－t恒成立，求实数t的取值范围．

解：(1)证明：f(x)＝|2x－|＋|2x＋m|≥|＋m|＝||＋|m|≥2，当且仅当||＝|m|，即m＝±时取等号．

(2)当m＝2时，f(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，则f(x)min＝3.

若不等式f(x)≥t2－t恒成立，则只需f(x)min＝3≥t2－t⇒2t2－t－6≤0⇒－≤t≤2.故实数t的取值范围是[－，2]．

11．(10分)()设函数f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值为m.

(1)作出函数y＝f(x)的图象；

(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．

解：(1)因为f(x)＝|x－1|－|2x＋1|，

所以f(x)＝

画出图象如图．

(2)由(1)可知m＝.

因为＝m＝a2＋2c2＋3b2＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，所以ab＋2bc≤，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立．

所以ab＋2bc的最大值为.

12．(10分)设函数f(x)＝|x－a|.

(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；

(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋4n≥2＋3.

解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，所以或或所以x≤－2或x≥5，

所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．

(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0，2]，

所以解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)，

所以m＋4n＝(m＋4n)(＋)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当m＝＋1，n＝时取等号)．

13．(10分)()已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；

(2)若x∈(0，1)时，不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

即f(x)＝

故不等式f(x)＞1的解集为.

(2)当x∈(0，1)时，|x＋1|－|ax－1|＞x成立，等价于当x∈(0，1)时，|ax－1|＜1成立．

若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1.

若a＞0，|ax－1|＜1的解集为0＜x＜，所以≥1，故0＜a≤2.

综上，a的取值范围为(0，2]．

14．(10分)()设α，β，γ均为实数．

(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cosα|＋|sinβ|；

|sin(α＋β)|≤|cosα|＋|cosβ|；

(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.

证明：(1)|cos(α＋β)|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；

|sin(α＋β)|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋|cosαsinβ|≤|cosα|＋|cosβ|.

(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cosα|＋|sin(β＋γ)|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.

15．(10分)()已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，g(x)＝x2－2x－4＋.

(1)若f(2a2－1)≥4|a－1|，求实数a的取值范围；

(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(2a2－1)≥4|a－1|，

所以|2a2－2a|＋|a2－1|≥4|a－1|，

所以|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)≥0，当a＝1时，满足，当a≠1时，2|a|＋|a＋1|≥4，

①若a≤－1，则－2a－a－1≥4，所以a≤－；

②若－1<a<0，则－2a＋a＋1≥4，所以a≤－3，无解；

③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1≥4，所以a>1，

综上所述，a的取值范围为∪[1，＋∞)．

(2)因为g(x)＝(x－1)2＋－5≥

－5＝－1，显然可取等号，

所以g(x)min＝－1，

于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需使f(x)min≤1，

又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2.

所以(a－1)2≤1，所以－1≤a－1≤1，所以0≤a≤2，即a的取值范围为[0，2]．