第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题） (精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
角度2：椭圆中参数范围问题
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
角度2：双曲线中参数范围问题
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
角度2：抛物线中参数范围问题










题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值.

【答案】.
当直线斜率存在且不为0时，设方程为：，联立，
设,则，
由弦长公式可得；
因为,故，进而可得
所以四边形的面积为
,
因为，即，
，当且仅当时，等号成立，
当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为
∴四边形面积的最小值为.
例题2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，若的中点为，为原点，直线交直线于点，求取最大值时直线的方程.
【答案】(1)(2)
(1)解：将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
(2)解：设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)由题意可得，∴由题意可得且，解得，，
∴椭圆的方程为：．
(2)解法1：由（1）可得，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时，化简得： 又，解得 或（舍去），此时P到直线l的距离为
设直线l有斜率时，设，，设其方程为：，联立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，
若，则直线方程为：，∴直线恒过定点，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
解法2：公共点，左移1个单位，下移个单位，，
，，
，等式两边同时除以，，，，，
过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．

同类题型归类练
1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
(1)椭圆与抛物线有相同的焦点，
即且，
，
椭圆的方程为：.
(2)由（1）可知的坐标为.
显然的斜率不为0.
设直线的方程为：，设，.
联立,可得,
恒成立，
，,
,

.
当且仅当,即时取等号,
面积的最大值为.
2．（2022·江苏·高二）已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为椭圆的离心率为，
又点Q在椭圆C上，且满足，
所以，即，
则，，
所以椭圆方程为：；
(2)由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为．
联立得，消去x得，
，化简整理，得．
设，，则，．
∵PM⊥PN，
∴．
∵，，，得，
将，代入上式，得，
得，
解得或（舍去），
∴直线l的方程为，则直线l恒过点，
∴．
设，则，，
易知在上单调递增，
∴当时，取得最大值为．
又，
∴．
3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)(2)
(1)因为（），
所以点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，
所以，，，
所以轨迹方程为；
(2)当一条直线斜率不存在时，代入椭圆方程得，，因此弦长，另一直线斜率为0，，
；
当两条直线斜率都存在且不为0时，设直线方程为，，，
由，得，
所以，，
，
由于，所以直线斜率为，同理，
，
令，则，，
因为，所以，，
综上，，
的最小值为．
角度2：椭圆中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·四川遂宁·三模（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O，离心率，过且垂直于轴的直线与交于两点，；过且斜率为的直线与C交于，点．
(1)求的标准方程；
(2)令，的中点为，若存在点（），使得，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)由题意可得：过且垂直于轴的直线与交于两点，所以，所以.
又有，，解得：.
所以的标准方程为.
(2)由（1）可知：.可设直线PQ:.设，则
，消去y，可得：.
因为在椭圆内，所以直线PQ与椭圆恒有两个交点，.
.
设，则，即.
直线PQ的方向向量为，.
因为，所以.
所以.
因为，所以，解得：或.
即的取值范围为.
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆经过点，点为椭圆的右焦点，过点与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，.
(1)由题意，，解得，
所以椭圆方程为．
(2)设，，直线l为，
联立直线与椭圆得：，恒成立，
所以，，而，即，
化简得，又，且，
所以，化简得：且，
所以m的取值范围为．
例题3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，若为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(1)设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性可知，，
所以，所以，
又，，解得，所以椭圆的标准方程为：．
(2)设点，，则，，
联立直线与椭圆的方程整理得：，
所以，，，
因为为锐角，所以，
所以，
整理得：，解得：，或，
所以实数的取值范围为：或.
同类题型归类练
1．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆：，焦点为､，过x轴上的一点M（m，0）（）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形的周长；
②求的最小值的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)① ；②
(2)
（1）①由椭圆：知，，所以，根据椭圆的定义知，多边形的周长为：.②设，则=，其中，令，①当，即时，，②当即，，③当即，，综上：.
（2）存在直线l，使得成立.理由如下：设直线l的方程为，由得.，化简得.设，，则，.若成立，即，等价于.所以.，，，化简得，即，代入中，，恒成立，所以或，所以实数m的取值范围是.
2．（2022·北京东城·三模）已知椭圆的左焦点为，长轴长为.过右焦点的直线交椭圆C于两点，直线分别交直线于点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段中点为，当点位于轴异侧时，求到直线的距离的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由题可知解得.
故椭圆C的方程为.
(2)当直线l的斜率不存在时，T到直线的距离为1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为.
联立消y，得.
由及题意，可得.
设，则.
直线的方程为，
令，得，则.
同理，.
因为点M，N位于x轴异侧，所以.
即
，
解得.
线段中点T的横坐标为t，则.
T到直线的距离为.
由，得，故.
综上，T到直线的距离的取值范围为.
3．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知分别是长轴长为4的椭圆C：的左右焦点，是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于的一个动点，O为坐标原点，点M为线段的中点，且直线与OM的斜率的积恒为．
(1)求椭圆C的方程
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)由已知，，记，
因为，所以，
又点在椭圆上，故，
所以，
所以，即，
所以椭圆方程为.
(2)设直线，联立直线与椭圆方程，
得，设.
由韦达定理可得，
可得，
所以的中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，
所以，由已知条件得：，解得，
所以，
所以，
所以
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.
【答案】(1)(2)
(1)解：依题意可得，解得，所以双曲线方程为
(2)解：由（1）可知，依题意可知，设，，，，则有，，所以，，所以，，
作差得，又的方程为，所以过定点，所以，即的最大值为；
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，双曲线上除顶点外任一点满足直线与的斜率之积为4.
(1)求的方程；
(2)若直线过上的一点,且与的渐近线相交于，两点，点，分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
【答案】(1)(2)1
(1)由题意得，即，
整理得，
因为双曲线的顶点坐标满足上式，
所以C的方程为.
(2)由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，
设点，，，，，
由，得，
整理得，①，
把①代入，整理得②，
因为，
，
所以.由，得，
则，
当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.
例题3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.
①求证：点与点的横坐标的积为定值；
②求△周长的最小值.
【答案】(1)；(2)①证明见解析；②6.
(1)设双曲线的半焦距为，
由在圆上，得：，
由，得：，
所以，则双曲线的标准方程为.
(2)①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，
联立，消去得：，
由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且，
于是得，则，
双曲线的渐近线为，
联立，消去得：，
设，，则.
当直线的斜率不存在时，，故，
综上，点与点的横坐标的积为定值3.
②法1：由①，，
则，当且仅当时取等号，
所以△周长的最小值为6.
法2：由①，
则，，
在△中，由余弦定理，
所以△的周长为，当且仅当时取等号，
所以△的周长的最小值为6.
同类题型归类练
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
【答案】(1)(2)1
(1)由题意得．设双曲线C的焦距为2c，则，所以．
所以，
所以双曲线C的标准方程．
(2)设，则直线PA的方程为：．
由，得．
因为直线PA与C交于A，M，所以，所以．
因为，所以，
，
所以．
因为直线PB的方程为
由，得．
因为直线PB与C交于B，N，所以，所以．
因为，所以，
，
所以．
所以当时，直线MN的方程为
．
令，得．
所以直线MN过定点．
当时，，所以直线MN过定点．
所以当时，点B到直线MN的距离取得最大值为1．
2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知曲线上任意一点满足方程，
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线在轴左､右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
【答案】(1)(2)8
(1)解：设，
则，等价于，
曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，
故曲线的方程为：；
(2)解：由题意可得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，
则直线的方程为，由，得，
所以，
同理可得，，
所以，，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．
【答案】（1）； （2）；（3）．
（1）因为，所以，所以．
由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
因为，所以，所以．
故双曲线离心率的取值范围为．
（2）因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
所以联立方程组 ，
消去，，即得直线的方程为．
（3）由（2）知，直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
因为，
所以三角形的面积．
因为点在双曲线上，
所以，即．
设，
所以．
因为，
所以当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．

角度2：双曲线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求的值；
（2）当，与x轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3），．
（1）由，点A为曲线与曲线的交点，
联立，解得，；
（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，
由双曲线的定义可得，
又，，
所以，
因为，则，
所以，
在中，由余弦定理可得

，
由，可得；
（3）设直线，可得原点O到直线l的距离，
所以直线l是圆的切线，设切点为M，
所以，并设与圆联立，
可得，
可得，，即，
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，
由，可得，
所以有，解得或舍去，
因为为在上的投影可得，，
所以，
则．
例题2．（2022·全国·高二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线的左顶点，过右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，若的面积为．

（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，
所以，设双曲线的焦距为2c，，
故，即．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将代入，可得，故．
将的面积为，
所以，即，
所以，，故双曲线E的方程为．
（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组消去y可得，，
所以解得，且
所以


．
联立方程组得，同理，
所以．
所以，其中，
所以．
例题3．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；
（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）.
（1）由椭圆方程可得：，，即双曲线中，
又双曲线焦距为              
曲线的方程为：
（2）由题意可知，直线斜率存在，则可设
联立得：
       ，
椭圆与直线联立得：可得：
，即为定值
（3）由（2）可设，
则，       

又点在双曲线上              ，解得：
又位于第一象限       
，

令       
在上单调递减，在上单调递增
，
的取值范围为
同类题型归类练
1．（2022·上海普陀·二模）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，
所以，即，
则所求的双曲线的方程为.
(2)因为直线过点，所以，
由得：等腰三角形底边上的高的大小为，
又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，
即，则.
(3)设，，
由得：，
则，，又，即，
则，，即，则，
又关于坐标原点的对称点为，
则.
则所求的面积为.
2．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)设双曲线C的方程为，
代入点，得，
所以双曲线C的标准方程为.
(2)双曲线C的左焦点为，
设､，
①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，
此时的周长为.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由得，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以，
得
设的周长为z，



，
设，由，得，
，，
所以，
综上，由①②可得的周长的取值范围.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)或
(1)解：，，双曲线的渐近线方程为，
以为直径的圆过点，所以，，
不妨取点在上，设点，，，
因为，则，可得，则点,
，则，，则，
所以，双曲线的标准方程为.
(2)解：由题意可知，设、，
线段中点，联立得，
依题意，即①，
由韦达定理可得，，
则，，
，，，
所以，②，
又③，由①②③得：或.
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
（1）抛物线的焦点为，直线的方程为．
设、．由，得．
，，
故，所以，
因此抛物线的方程为；
（2）由（1）得的方程为.
到直线的距离为.
因，所以，
所以，
因此，所以面积的最大值为.
例题2．（2022·河南洛阳·三模（文））已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，且到点的距离的最小值为.直线与交于另一点，是上位于直线下方的动点.
(1)求的值；
(2)当，且面积最大时，求外接圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
(1)设，则，
整理得到：，
故当时，，故，
(2)由（1）可得且，故直线的斜率为，
设，
由可得，故或，
因为在轴下方，故，所以，故，
设，其中
又到直线的距离为，
因为，故的取值范围为，
故的最大值为，此时面积最大，
且面积最大时即，
因为，所以关于轴对称，故外接圆的圆心在轴上，
设外接圆的圆心为，设，
故即，解得，
故圆的半径为，
故外接圆的方程为：.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点作互相垂直的直线，，交抛物线于，两点（在轴上方），交抛物线于，两点，交其准线于点．

（1）求四边形的面积的最小值；
（2）若直线与轴的交点为，求面积的最小值．
【答案】（1）32；（2）．
（1）由已知可知直线的斜率必存在，
设直线的斜率为，抛物线的焦点，
则与抛物线相联立，
，
设，，则，
，
同理，，则四边形的面积为
，
当且仅当时，四边形的面积的最小值为32．
（2）解：由题意可得，
令，得.
由，，得，又，
所以
.
所以

.
记，
则，
解得，即，
所以在上递减，在上递增，
所以.
2．（2022·江西赣州·一模（文））已知点在曲线上.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
(1)解：由题意，点在曲线上，可得，
令，可得，
设，则，
即动点的轨迹的方程.
(2)解：由题意，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
要直线与曲线交于、两点，则方程在上有两解，
设，可得，解得，
设，则，且
又由，
因为，
又因为，所以的最小值为，最大值为.

角度2：抛物线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点．

(1)证明：直线直线;
(2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)不妨设且，而在上，则，
所以切线斜率为，，则切线为，
整理得，令得：，由题意，则．
所以，则直线直线，得证．
(2)由（1）知：，，
所以，则，
直线
将代入得：，
，即，
在中取得：，
所以，又，
化简得：，解得，
，故的横坐标的取值范围．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为3，
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)设过点且斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，．若，求斜率的取值范围．
【答案】(1)，(2)
(1)由题意知，得，
所以抛物线C的方程为．
将点代入，得，
所以点A的坐标为．
(2)直线与抛物线联立，消去y得，
，解得或．
设，则有，
则，即，又．
所以，则
因为，设，则，
因为，则
所以
因为或，所以k的取值范围是
例题3．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)求证：直线轴；
(3)以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
(1)设抛物线的方程为，
由题意可得，所以，所以抛物线方程.
(2)由（1），因为，设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立上述两直线方程，得点坐标，
又因为点为线段的中点，所以点坐标，
因为，所以直线轴：
(3)因为点，所以，则，圆心，
直线的斜率为，直线方程为，
，得，，，
圆心到直线的距离为，半径，
，令，
在时单调递减，．
同类题型归类练
1．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．

(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)解：设，
则，
由于A，F，B三点共线，则，整理得，
又，
则，同理可得
则，
，所以，即证；
(2)解：若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，
即，则，
化简得，，
即
可得，又因为，
，
可得，，，
，，即
2．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；
(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
(1)设，，，，，

，因为，
则，所以，即．
(2)设轨迹：上任一点为，所以，
所以，
令，对称轴为：，
当，即时，在区间单调递增，所以时，取得最小值，即，所以，
当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以时，取得最小值，即，
所以，所以
(3)当直线的斜率不存在时，此时：与轨迹不会有两个交点，故不满足题意；
当直线的斜率存在时，设：，、，代入，
得，即，所以，，，
因为直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，所以，得，
即；又、两点在轴上方，所以，，即，所以，
又，所以，所以中点，即，
所以垂直平分线为，
令，得，因为，所以，
所以在时单调递增，
所以，即，
所以点横坐标的取值范围为：.
3．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由已知条件可得，，
解得 ，所以，抛物线的方程为.
(2)由题意可知，过引圆的切线斜率存在，
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离，
整理得，.，
设切线的方程为,
同理可得.
所以，是方程的两根，
.       
设，，
由，得，
由韦达定理知，
所以，同理可得.
设点的横坐标为，则
.   
设，则，
所以，对称轴，则