专题49 与圆锥曲线相关的线段和（差）的最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题49 与圆锥曲线相关的线段和（差）的最值

【方法点拨】

1. 动点P到两个定点A、B距离之和的最小值为|AB|，当且仅当P、A、B三点共线时成立，即|PA|+|PB|≥|AB|；
2. －|AB|≤|PA|－|PB|≤|AB|.

【典型题示例】

例1   已知双曲线的右焦点为，P为双曲线左支上一点，点，则△APF周长的最小值为(        )

【答案】B

【分析】利用定义转化为（其中为双曲线的左焦点），再利用，当且仅当三点共线成立.

【解析】，△APF的周长为

设为双曲线的左焦点，则由双曲线定义得，故

又，当且仅当三点共线成立

所以，故△APF周长的最小值为.

例2   阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】逆用“啊圆”，将中系数2去掉化为“一条线段”， 从而将化为两条线段的和，再利用“三点共线”求解.

【解析】因为啊圆的圆心、两定点共线，且在该直线上的直径的端点分别是两定点构成线段分成定比的内外分点

所以另一定点必在x轴上，且内分该点与连结的线段的比为2

故该点的坐标为

设，则圆上任意一动点M都满足

所以

又因为，当且仅当共线时，等号成立

所以的最小值为.

点评：

1. 已知两定点、啊圆的圆心三点共线；
2. 啊圆的在已知两定点所在直线上的直径的两端点，分别是两定点构成线段分成定比的内、外分点.

例3    过抛物线的焦点F的直线l于C交于A，B两点，则|AF|+4|BF|取得最小值时，|AB|=(        )

【答案】A

【分析】将|AF|+4|BF|利用定义转化为到准线的距离，,抓住为定值，运用基本不等式解决.

【解析】设，

则由抛物线定义得，

故，

又因为

根据基本不等式有，当且仅当，即时，等号成立

故.

例4   已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题的关键点有二，一是利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，这也是遇到抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离的一种基本思路；二是发现在一个“隐圆”上，即利用定线段张直角确定隐圆，最终将所求转化为圆上的动点到直线上点的距离最小来解决.

【解析】由题可得抛物线焦点，准线方程为，

过点作与准线垂直，交于点，

直线整理得，

联立可得，即该直线过定点，

设，连接，取中点，则，，

若，则在以为直径的圆上，该圆方程为，

又由，得，

如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，

过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点’，

则即为的最小值，

即的最小值为．

故选D．

例5    已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（    ）

A．8 B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，设关于直线的对称点，，利用两点之间线段最短，可知的最小值等于，再利用两点之间的距离即可求解.

【解析】由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，

点在抛物线上，点为直线上的动点，

设关于直线的对称点，作图如下，

利用对称性质知：，则

即点在位置时，的值最小，等于，

利用两点之间距离知，则的最小值为

故选：D.

点评:

本题考查利用对称求最短距离，“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，常常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段转化为两点之间的距离问题.

【巩固训练】

1.已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，点在圆：上，则的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．7 D．8

2.已知F是双曲线的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

3.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

4.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

5.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

6.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．

7.已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离和得最小值为________．

8. 已知A（3，﹣1），B（5，﹣2），点P在直线x+y＝0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P的坐标是（　　）

A．        B．           C．     D．

9. 已知，，，点在抛物线上，则的最小值为　　

A．6 B． C．5 D．

10. 已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆x2＋(y－1)2＝上的动点，点N是圆(x－2)2＋y2＝上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　　)

A．－1       B．2         C．3 D．

11. 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么

点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小值是            ．

【答案或提示】

1.【答案】B

【解析】易知圆心为椭圆的右焦点，且，

由椭圆的定义知：，所以，

所以，

要求的最小值，只需求的最大值，显然三点共线时取最大值，且最大值为，所以的最小值为.

故选：B.

2.【答案】9

【解析】因为F是双曲线的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.

3.【答案】4

【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

4.【答案】2

【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝，

即|PB|＋|PF|的最小值为2.

5.【答案】

【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.

点评：

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

6.【答案】6＋　6－

【解析】椭圆方程化为，

设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，

∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，

又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，

∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.

7.【答案】2

8.【分析】求出A关于直线l：x+y＝0的对称点为C，则P为直线BC与直线l的交点时，满足条件，进而得到答案．

【解析】如下图所示：

点A（3，﹣1），关于直线l：x+y＝0的对称点为C（1，﹣3）点，

由BC的方程为：，即x﹣4y﹣13＝0，

可得直线BC与直线l的交点坐标为：（，﹣），

即P点坐标为：（，﹣）时，|PA|+|PB|最小．

故选：D．

9.【答案】D

【解析】根据题意，设，，，

，即，同时点在抛物线上，则有，

则，

设，因为．

所以，当且仅当且，，三点共时等号成立．

故的最小值为；

故选D．

10.【答案】2

【解析】易知圆x2＋(y－1)2＝的圆心为A(0,1)，圆(x－2)2＋y2＝的圆心为B(2,0)，P(t，t)在直线y＝x上，A(0,1)关于直线y＝x的对称点为A′(1,0)，则 |PN|－|PM|≤－＝|PB|－|PA|＋1＝|PB|－|PA′|＋1≤|A′B|＋1＝2.(此时|PN|最大，|PM|最小)

故选B．　

11. 【答案】

【提示】通过数形结合，转化为点Q到焦点F的距离最小值．