第31讲 平面向量基本定理及坐标表示-2023年高考数学一轮总复习核心考点分层训练（新高考专用）

第31讲　平面向量基本定理及坐标表示　

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

【基础巩固】

1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

2．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到，，结合，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量，，

可得，，

因为，可得，解得.

故选：A.

3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为，所以，

所以.

故选：C.

4．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得，再分析求解即可.

【详解】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，

所以为三角形的重心，所以.

故选：B.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（       ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】C

【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．

【详解】由得，即，，

，

，

，

与同向的单位向量为，反向的单位向量为．

故选：C．

6．（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【详解】

作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，

设，则，

∵BC//EF，∴设，则

∴，

∴

∴

故选：A.

7．（2023·全国·高三专题练习）已知在中， ，，，则（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据，，得到，再根据求解.

【详解】解：因为，

所以，

因为，

所以，

又，

所以，

又，

所以，

得．

故选：A

8．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.

【详解】解：因为在平行四边形中，点、分别满足，，

所以，，

所以．

故选：A

9．（多选）（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C．的值为2 D．

【答案】BD

【分析】先根据向量加法，可直接求出.

对选项，直接求出向量和的模，然后验证即可；

对选项，直接求出余弦值；

对选项，直接求出向量的模；

对选项，直接求出正弦值.

【详解】根据向量的加法可得：

根据诱导公式及同角三角函数的关系，且，解得：.

对选项，，则有：，故选项错误；

对选项，则有：，故选项正确；

对选项，，则有：

故有：，故选项错误；

对选项，则有：，故选项正确.

故选：BD.

10．（多选）（2022·福建·三明一中模拟预测）已知向量，，其中，下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影为

【答案】ABD

【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直结合向量的模长公式可判断B选项；由已知且、不共线，求出的取值范围，可判断C选项；利用平面向量的几何意义可判断D选项.

【详解】对于A选项，若，则，解得，A对；

对于B选项，若，则，

所以，，B对；

对于C选项，若与的夹角为钝角，则，可得，

且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错；

对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对.

故选：ABD.

11．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在中，为中点，且，则（       ）

A． B．

C．∥ D．

【答案】BC

【分析】由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可

【详解】因为，则三点共线，且，

又因为为中线，所以点为的重心，

连接并延长交于，则为的中点，

所以，

所以∥

故选：BC．

12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设向量，，若，则__________．

【答案】

【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程,即可求得答案.

【详解】因为，所以，解得，

故答案为：．

13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，向量，，若，则实数______.

【答案】

【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算．

【详解】根据题意可知，不共线

若，则，使得，即

则可得，解得

故答案为：．

14．（2022·全国·高三专题练习）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.

【答案】

【分析】根据题意得，求出，所以，即，求解即可.

【详解】因为，所以，又，

即，因为点在线段上，

所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，

所以，又是边长为的等边三角形，

所以

，故.

故答案为：.

15．（2022·浙江大学附属中学高三阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为___________．

【答案】

【分析】构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设且()，由向量线性关系的坐标表示列方程得到关于的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.

【详解】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，

构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示：

所以，，，令且()，

所以，，，

又，即，

所以，而，

则，

故当时，有最大值.

故答案为：

16．（2022·全国·高三专题练习）平面内给定两个向量，.

(1)求；

(2)若，求实数的值.

解：(1)由已知，因此，.

(2)由已知，，

因为，则，解得.

17．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知，，.

(1)若，求D点的坐标；

(2)设向量，，若与平行，求实数k的值.

解：(1)设，又因为，

所以，

因为，

所以，得，

所以.

(2)由题意得，，，

所以，，

因为与平行，

所以，解得.

所以实数的值为.

18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E．

(1)若，求和的值；

(2)用向量表示．

解：(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，

所以

所以，

所以

解得

(2)设，

因为，

所以．解得，

即，所以，

又因为M，E，N三点共线，所以，

所以﹒

【素养提升】

1．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.

【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．

故选：B．

2．（2023·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.

【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，

设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为

可知，，，

则，，即

又，

即，即，化简得

故答案为：

3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．

(1)试用向量，表示；

(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．

解：(1)设，

由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，

则，

因为，所以，

由平面向量基本定理得，即，①

同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，

则，

又，所以，

由平面向量基本定理得 即，②

由①②得，，

故；

(2)由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，

于是，

又，，

所以，

由平面向量基本定理得，消去，

得，

故为定值，该定值为5.