资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩12页未读，
继续阅读
第11讲 全等三角形的概念和性质及判定（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）
展开
这是一份第11讲 全等三角形的概念和性质及判定（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第11讲全等三角形的概念和性质及判定讲义解析版docx、第11讲全等三角形的概念和性质及判定讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
第11讲 全等三角形的概念和性质及判定
本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．
模块一：全等三角形的概念和性质
知识精讲
全等形、全等三角形及其相关的概念
（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.
A
B
C
D
E
F
（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．
如下图所示：
已知：△ABC≌DFE，A与D，B与F是对应顶点，则：(C与E是对应顶点)
对应边有：AB与DF，AC与DE，BC与FE．
对应角有：．
全等三角形的数学语言：
三角形ABC与三角形A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作“三角形ABC全等于三角形A′B′C′”．
全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的面积相等，周长相等；
（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．
全等三角形中应注意的问题：
（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；
（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；
（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；
画三角形：
确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.
例题解析
例1．（2019·上海浦东新区·）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形
B．三个内角分别相等的两个三角形
C．两条边和其中一个角相等的两个三角形
D．面积相等的两个等腰三角形
【答案】A
【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择.
【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；
B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；
C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；
D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；
答案为：A.
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.
例2.下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形
C．全等三角形的周长和面积都相等 D．所有的等边三角形都全等
【难度】★
【答案】C
【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高
的三角形；D错，大小不一定相等．
【总结】本题主要考查全等三角形的概念．
例3.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）
A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等
【难度】★
【答案】C
【解析】等底同高，所以面积相等．
【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．
例4.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．AC＝BC
【难度】★
【答案】D
【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．
【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．
例5.下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
【难度】★
【答案】C
【解析】C选项是边边角，不能作为全等的判定条件．
【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．
例6.练习画出下列条件的三角形：
（1） 画使；
（2） 画使；
（3） 画使；
（4） 画使．
例7.下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等
三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则两个三角形的关系，可记作△ABC≌△DEF，其中说法正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对；
（4）对，故选B．
【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．
例8.下列说法中错误的是（ ）
A．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角
B．全等三角形的公共边也是对应边
C．全等三角形的公共顶点是对应顶点
D．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边
【难度】★★
【答案】C
【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三
角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．
【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．
例9.如图所示，分别沿着边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）
A．80° B．100° C．60° D．45°
【难度】★★
【答案】A
【解析】设，，，
则，解得：．
，，，
．
【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．
例10．（2022·安仁县思源实验学校七年级期末）若，，，点的对应点是，，那么的度数是_______．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质求解；
【详解】解：，，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解相关性质正确推理计算是解题关键．
例11．（2020·福建泉州市·七年级期末）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝_____．
【答案】150°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，
∵∠BHE＝∠DHA，∴∠BED＝∠DAB＝30°，
∴∠CED＝180°﹣∠BED＝150°.故答案为：150°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
例12．（2020·黑龙江省红光农场学校七年级期末）已知，的周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，则AB=_______， BC=______，CA=_____
【答案】9cm 12cm 11cm
【分析】作出图形，先求出DF，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△DEF的周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，∴DF=32-9-12=11cm，
∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=9cm，BC=EF=12cm，DF=AC=11cm．
故答案为：9cm；12cm；11cm．
【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
例13．（2020·河南周口市·七年级期末）如图，，，则__________°.
【答案】40
【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠B=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠D的度数即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=120°，
∵∠F=20°，∴∠D=180°-∠E-∠F=40°，
故答案为40．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
例14．（2019·海南七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2=_______度.
【答案】90
【分析】根据网格特点可知两个三角形全等，故可求解.
【详解】由网格的特点可知两个三角形全等
∴∠2=∠3
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，
故答案为：90°.
【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知全等三角形的性质及网格的特点.
例15．（2019·山东泰安市·七年级期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________．
【答案】11
【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可.
【详解】解：∵这两个三角形全等
∴x=6，y=5
∴x + y =11
故答案为11.
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.
例16．（2018·全国七年级课时练习）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出对应边和其他对应角．
【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠D与∠E是对应角．
【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角．
【详解】∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，
∴∠E与∠D是对应角，
AB与AC，BE与CD，AE与AD是对应边．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的，实际应用中，应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误．
例17．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积.
【答案】（1）24；（2）50
【分析】（1）根据三角形全等得到AC=CE，即可得出答案；
（2）根据三角形全等得到∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，进而求出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出答案.
【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24
（2）∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE
又∠B=90°
∴∠ACB+∠BAC=90°
∴∠ACB+∠DCE=90°
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°
∴△ACE的面积=
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需要熟记三角形的周长和面积公式.
例18.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.（1）∠DEF和∠CBE相等吗?请说明理由；
（2）请找出图中与ED相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.
【难度】★★
【答案】（1）相等；（2）．
【解析】（1），，
（同角的余角相等）
（2）平分， ，．
， ．
【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再
利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．
例19.如图所示，，．求：（1）的度数；（2）的长．
【难度】★★
【答案】（1）°；（2）．
【解析】（1），，，
；
（2），， ．
【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．
例20.如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠ACB=2:5:11，若将△ABC绕点C逆时针旋转，试旋转前后的△A’B’C’中的顶点B’在原三角形的边AC的延长线上，求∠BCA’的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，，，
则， 解得：，
，．
， ．
【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．
例21.如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交AE的延长线于G，∠ACB=1050，∠CAD=100，∠ADE=250，求∠DFB和∠AGB的度数．
【难度】★★
【答案】∠DFB =，∠AGB =．
【解析】证明：，
，，
，
．
【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合
运用．
例22.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
【难度】★★★
【答案】（1），，
，；
（2），；
（3）．
【解析】（3）证明：∵，，
．
【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和
定理的运用．
例23.如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．
【难度】★★★
【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换．
【解析】，，．
【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象．
模块二：全等三角形的判定
知识精讲
本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应
相等（SAS）”，“两角及夹边对应相等（ASA）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”“三边对应相等（SSS）”的两个三角形全等．
例题解析
例1.如图，已知∠B=∠D，∠1=∠2，AC=AE，说明△ABC≌△ADE的理由．
【难度】★★
【解析】证明：，
，即．
在和中，
， △ABC≌△ADE（A.A.S）．
【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．
例2.如图，已知∠C=∠E，BE=CD，说明△ABE与△ADC全等的理由，AB与AD
相等吗?为什么?
【难度】★
【解析】证明：在和中，
，（A.A.S）， ．
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例3.如图，已知AD=BC，AE=BE．说明AC=BD，∠C=∠D的理由．
【难度】★
【解析】证明：，，．
在和中，
，
（S.A.S）
，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例4如图，已知AB=CD，AD=BC，说明∠A=∠C的理由．
【难度】★
【解析】证明：连接
在和中，
，
（全等三角形的对应角相等）
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例5.如图，已知BD是△ABC的中线，B、D、E、F在一条直线上，且AE∥CF，
说明△ADE与△CDF全等的理由．
【难度】★★
【解析】， ．
∵BD是△ABC的中线， ∴．
在和中，
， （A.A.S）．
【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．
例6.如图，已知AC∥BD，AC=BD，（1）说明△AOC与△BOD全等的理由；（2）说明EO=FO的理由．
【难度】★★
【解析】证明：（1），．
在和中，
， （A.A.S）；
（2）， ．
在和中，
， ，
．
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例7.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，OD=OE，说明AB=AC的理由．
【难度】★★
【解析】， ．
在和中，
， ．
，， ， ．
在和中，
， ∴≌（A.S.A），
（全等三角形的对应边相等）
【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等．
例8.如图，已知AD∥BC，BF∥DE，AE=CF．
（1） △ADE与△CBF全等吗，为什么?
（2） 说明AB=CD的理由；
（3） 图中有哪几对全等三角形?
【难度】★★
【解析】证明：（1）全等，
， ．
，， ．
在和中，
， ；
（2）， ．
在和中
，，
（全等三角形的对应边相等）；
（3）；；．
【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．
例9.如图，已知AB=CD，BM=CM，AC=BD，说明AM=DM的理由．
【难度】★★
【解析】在和中，
， ， ，
在和中，
，， ．
【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明．
例10.如图，∠1=∠2，AC=BD，E、A、B、F在同一条直线上，
说明：∠CAD=∠DBC的理由．
【难度】★★
【解析】， ．
在和中，
， ，
，又，．
【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．
例11.如图所示，AB=AC，CE=BE，连结AE并延长交BC于D，说明AD⊥BC的理由．
【难度】★★
【解析】证明：在和中，
，，
．
在和中，
， ，
， ．
【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直．
例12.如图所示，BE、CD相交于O，AB=AC，AD=AE，说明OD=OE的理由．
【难度】★★
【解析】证明：在和中，
，
（全等三角形的对应角相等）
，，．
在和中，
， （全等三角形的对应边相等）
【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用．
例13．（2019·上海奉贤区·七年级期末）阅读并填空：
如图，是等腰三角形，，是边延长线上的一点，在边上且联接交于，如果，那么，为什么？
解：过点作交于
所以（两直线平行，同位角相等）
（________）
在与中
所以，（________）
所以（________）
因为（已知）
所以（________）
所以（等量代换）
所以（________）
所以
【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明，写出证明过程和依据即可．
【详解】解：过点作交于，
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（两直线平行，内错角相等），
在与中
，
∴，（）
∴（全等三角形对应边相等）
∵（已知）
∴（等边对等角）
∴（等量代换）
∴（等角对等边）
∴；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
例14．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG，EF.
（1）说明：BG=CF；
（2）BE，CF与EF这三条线段能否组成一个三角形？
【分析】（1）由BG∥AC得出∠DBG=∠DCF,从而利用ASA得出△BGD与△CFD全等，进一步证得结论
（2）根据△BGD与△CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因为DE⊥GF，从而得出EG=EF,从而进一步得出结论
【详解】（1）∵BG∥AC
∴∠DBG=∠DCF
又∵D为BC中点
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF
∴△BGD△CFD（ASA）
∴BG=CF
（2）能
证明如下：
∵△BGD△CFD
∴BG=CF，GD=DF
又∵DE⊥GF
∴GE=EF
∵BE,BG,GE组成了△BGE
∴BE,BG,GE三边满足三角形三边的关系
同理，与BG,GE相等的两边CF,EF与BE三条线段亦满足三角形三边关系
∴BE,CF,EF这三条线段可以组成三角形
【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判断及性质是关键
例15．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B,请说明∠B=∠C
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠B+∠DFB，再根据∠FDE=∠B，证明∠DFB=∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路进行解答即可.
【详解】证明：∵∠FDC=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB
又∵∠FDE=∠B（已知）
∴∠DFB=∠EDC
在△DFB与△EDC中
FB=ED（已知），∠DFB=∠EDC，BF=CD（已知）
∴△DFB≌△EDC（SAS）
∴∠B=∠C.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键.
例16．（2019·上海浦东新区·）公园里有一条“”字形道路，如图所示，其中，在，，三段路旁各有一只小石凳，，，且，是的中点，试说明三只石凳，，恰好在一条直线上.（提示：可通过证明）
【分析】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出∠BME=∠CMF.通过角之间的转换可得到E，M，F在一条直线上.
【详解】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
在与中，
∴
∴（全等三角形的对应角相等）
∵（平角的意义）
∴（等量代换）
∴，，三点共线（平角的意义）
【点睛】本题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，关键是共线的证明方法.
例17．（2019·上海浦东新区·）如图，已知中，，是内一点，且，试说明的理由.
【分析】先证明，再利用全等三角形的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明.
【详解】证明：在与中，
∴
∴（全等三角形的对应角相等）
∵（已知）
∴（等腰三角形的三线合一）
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用.
例18．（2018·上海市第八中学七年级月考）如图，点E、F位于线段AC上，且 AF=CE， AB∥CD， BE∥DF。试说明 △ABE 和△CDF全等的理由。
【分析】根据两组平行线的内错角相等形成两组对应角相等，然后再利用公用线段和线段的和差确定对应边相等，即可说明利由。
【详解】解：理由如下：
∵AB∥CD
∴∠A=∠C
同理可得：∠DFC=∠AEB
由∵AF=EC
∴AF+FE=FE+EC,即AE=FC
在△ABE 和△CDF中
∴△ABE ≌△CDF（ASA）
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，利用平行线的性质和线段的和差确定判定条件是解答的关键。
例19．（2019·上海七年级期中）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；
（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．
【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．
例20．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们的运动时间为．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，；（2）存在，使得与全等．
【分析】(1)根据SAS证明△ACP≌△BPQ，利用全等三角形的性质即可得到；
(2)分两种情况：①若△ACP≌△BPQ，②若△ACP≌△BQP，利用全等三角形的性质得到对应线段相等，由此求出答案.
【详解】（1）当时，，，
又∠A=∠B=90°，
在与中
，
∴△ACP≌△BPQ(SAS)，
，
，
，
即；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则，，
，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则，，
，
解得，
综上所述，存在，使得与全等.
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质定理，（2）中利用分类思想分别利用全等三角形的性质求出未知数的值，熟练掌握三角形全等的判定及性质定理是解题的关键.
随堂检测
1.下列命题中正确的是 （ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
【难度】★
【答案】D
【解析】A错，全等三角形对应边上的高相等；B错，全等三角形对应边上的中线相等；
C错，全等三角形对应角的平分线相等；D对．
【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解．
2.如图，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC
【难度】★
【答案】C
【解析】C错，正确答案是∠A+∠ABD=∠C+∠CDB ，A，B，D均对．
【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解．
3.如图，折叠长方形ABCD，使顶点D与BC边上的N点重合，如果AD=7厘米，DM=5厘米，∠DAM=390，则AN=______厘米，NM=___________厘米，∠NAB=_______．
【难度】★
【答案】7；5；12°．
【解析】由翻折的性质，可得：，
则厘米，厘米，
， 故．
【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用．
4.尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【难度】★
【答案】D
【解析】∵，，，
【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握．
5.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据_________；
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据_________；
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据_________；
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF．则△ACE≌△BDF，根据_________．
【难度】★★
【答案】（1）A.A.S；（2）A.S.A；（3）S.A.S；（4）S.S.S．
【解析】，，，
则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证．
【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握．
6.如图，已知△ABC≌△ADE, ∠CAD=150，∠DFB=900，∠B=250．求∠E和∠DGB的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】，（垂直的意义）
，（互余的意义）
（邻补角的意义）
，，
（互余的意义）
【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌
握并应用．
7.如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、DF⊥AC，且AB∥CD，AB=CD．试说明：BD平分EF．
【难度】★★
【解析】，，
在和中，， ，
，， ，平分．
【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用．
8.如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°，
（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上?（原△ABC是指开始位置）
（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上?
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性．
9.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．
试说明：△AGE≌△DAC．
【难度】★★
【解析】是等边三角形．
，（等边三角形的性质）
，
°，°，
．
，又，
，
即．
，．
在和中，，
．
【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用．
10.在∠O的两边上分别取点A、D和B、C，连接AC、BD相交于P．
（1）若∠A＝∠B，PA＝PB，试说明OA＝OB的理由；
（2）若OA＝OB，PA＝PB，试说明PC＝PD的理由．
【难度】★★★
【解析】（1）在和中，
，
，
（全等三角形对应边相等）．
， （等式性质）．
在和中，，
，
（全等三角形的对应边相等）；
（2）连接OP
在和中，，
，
，AP = BP（全等三角形的对应角相等、对应边相等）．
在和中，
，
（全等三角形的对应边相等）．
【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用．
11.如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，绕着顶点A旋转后位置如下：
（1） 当C、A、D在同一直线上，说明CE与BD有何关系?为什么?
（2） 当△ADE再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE与BD又有何关系．
【难度】★★★
【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）证明：△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
，，（等边三角形的性质）
在和中，，，
，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）
， ，
．
（2），，证明过程同上．
【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用，
注意认真分析题目中的条件．
第11讲 全等三角形的概念和性质及判定
本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．
模块一：全等三角形的概念和性质
知识精讲
全等形、全等三角形及其相关的概念
（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.
A
B
C
D
E
F
（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．
如下图所示：
已知：△ABC≌DFE，A与D，B与F是对应顶点，则：(C与E是对应顶点)
对应边有：AB与DF，AC与DE，BC与FE．
对应角有：．
全等三角形的数学语言：
三角形ABC与三角形A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作“三角形ABC全等于三角形A′B′C′”．
全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的面积相等，周长相等；
（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．
全等三角形中应注意的问题：
（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；
（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；
（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；
画三角形：
确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.
例题解析
例1．（2019·上海浦东新区·）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形
B．三个内角分别相等的两个三角形
C．两条边和其中一个角相等的两个三角形
D．面积相等的两个等腰三角形
【答案】A
【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择.
【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；
B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；
C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；
D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；
答案为：A.
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.
例2.下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形
C．全等三角形的周长和面积都相等 D．所有的等边三角形都全等
【难度】★
【答案】C
【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高
的三角形；D错，大小不一定相等．
【总结】本题主要考查全等三角形的概念．
例3.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）
A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等
【难度】★
【答案】C
【解析】等底同高，所以面积相等．
【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．
例4.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．AC＝BC
【难度】★
【答案】D
【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．
【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．
例5.下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边
【难度】★
【答案】C
【解析】C选项是边边角，不能作为全等的判定条件．
【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．
例6.练习画出下列条件的三角形：
（1） 画使；
（2） 画使；
（3） 画使；
（4） 画使．
例7.下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等
三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则两个三角形的关系，可记作△ABC≌△DEF，其中说法正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对；
（4）对，故选B．
【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．
例8.下列说法中错误的是（ ）
A．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角
B．全等三角形的公共边也是对应边
C．全等三角形的公共顶点是对应顶点
D．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边
【难度】★★
【答案】C
【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三
角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．
【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．
例9.如图所示，分别沿着边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）
A．80° B．100° C．60° D．45°
【难度】★★
【答案】A
【解析】设，，，
则，解得：．
，，，
．
【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．
例10．（2022·安仁县思源实验学校七年级期末）若，，，点的对应点是，，那么的度数是_______．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质求解；
【详解】解：，，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解相关性质正确推理计算是解题关键．
例11．（2020·福建泉州市·七年级期末）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝_____．
【答案】150°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，
∵∠BHE＝∠DHA，∴∠BED＝∠DAB＝30°，
∴∠CED＝180°﹣∠BED＝150°.故答案为：150°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
例12．（2020·黑龙江省红光农场学校七年级期末）已知，的周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，则AB=_______， BC=______，CA=_____
【答案】9cm 12cm 11cm
【分析】作出图形，先求出DF，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△DEF的周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，∴DF=32-9-12=11cm，
∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=9cm，BC=EF=12cm，DF=AC=11cm．
故答案为：9cm；12cm；11cm．
【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
例13．（2020·河南周口市·七年级期末）如图，，，则__________°.
【答案】40
【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠B=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠D的度数即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=120°，
∵∠F=20°，∴∠D=180°-∠E-∠F=40°，
故答案为40．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
例14．（2019·海南七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2=_______度.
【答案】90
【分析】根据网格特点可知两个三角形全等，故可求解.
【详解】由网格的特点可知两个三角形全等
∴∠2=∠3
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，
故答案为：90°.
【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知全等三角形的性质及网格的特点.
例15．（2019·山东泰安市·七年级期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________．
【答案】11
【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可.
【详解】解：∵这两个三角形全等
∴x=6，y=5
∴x + y =11
故答案为11.
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.
例16．（2018·全国七年级课时练习）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出对应边和其他对应角．
【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠D与∠E是对应角．
【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角．
【详解】∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，
∴∠E与∠D是对应角，
AB与AC，BE与CD，AE与AD是对应边．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的，实际应用中，应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误．
例17．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积.
【答案】（1）24；（2）50
【分析】（1）根据三角形全等得到AC=CE，即可得出答案；
（2）根据三角形全等得到∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，进而求出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出答案.
【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24
（2）∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE
又∠B=90°
∴∠ACB+∠BAC=90°
∴∠ACB+∠DCE=90°
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°
∴△ACE的面积=
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需要熟记三角形的周长和面积公式.
例18.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.（1）∠DEF和∠CBE相等吗?请说明理由；
（2）请找出图中与ED相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.
【难度】★★
【答案】（1）相等；（2）．
【解析】（1），，
（同角的余角相等）
（2）平分， ，．
， ．
【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再
利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．
例19.如图所示，，．求：（1）的度数；（2）的长．
【难度】★★
【答案】（1）°；（2）．
【解析】（1），，，
；
（2），， ．
【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．
例20.如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠ACB=2:5:11，若将△ABC绕点C逆时针旋转，试旋转前后的△A’B’C’中的顶点B’在原三角形的边AC的延长线上，求∠BCA’的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，，，
则， 解得：，
，．
， ．
【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．
例21.如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交AE的延长线于G，∠ACB=1050，∠CAD=100，∠ADE=250，求∠DFB和∠AGB的度数．
【难度】★★
【答案】∠DFB =，∠AGB =．
【解析】证明：，
，，
，
．
【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合
运用．
例22.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
【难度】★★★
【答案】（1），，
，；
（2），；
（3）．
【解析】（3）证明：∵，，
．
【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和
定理的运用．
例23.如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．
【难度】★★★
【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换．
【解析】，，．
【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象．
模块二：全等三角形的判定
知识精讲
本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应
相等（SAS）”，“两角及夹边对应相等（ASA）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”“三边对应相等（SSS）”的两个三角形全等．
例题解析
例1.如图，已知∠B=∠D，∠1=∠2，AC=AE，说明△ABC≌△ADE的理由．
【难度】★★
【解析】证明：，
，即．
在和中，
， △ABC≌△ADE（A.A.S）．
【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．
例2.如图，已知∠C=∠E，BE=CD，说明△ABE与△ADC全等的理由，AB与AD
相等吗?为什么?
【难度】★
【解析】证明：在和中，
，（A.A.S）， ．
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例3.如图，已知AD=BC，AE=BE．说明AC=BD，∠C=∠D的理由．
【难度】★
【解析】证明：，，．
在和中，
，
（S.A.S）
，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例4如图，已知AB=CD，AD=BC，说明∠A=∠C的理由．
【难度】★
【解析】证明：连接
在和中，
，
（全等三角形的对应角相等）
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例5.如图，已知BD是△ABC的中线，B、D、E、F在一条直线上，且AE∥CF，
说明△ADE与△CDF全等的理由．
【难度】★★
【解析】， ．
∵BD是△ABC的中线， ∴．
在和中，
， （A.A.S）．
【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．
例6.如图，已知AC∥BD，AC=BD，（1）说明△AOC与△BOD全等的理由；（2）说明EO=FO的理由．
【难度】★★
【解析】证明：（1），．
在和中，
， （A.A.S）；
（2）， ．
在和中，
， ，
．
【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．
例7.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，OD=OE，说明AB=AC的理由．
【难度】★★
【解析】， ．
在和中，
， ．
，， ， ．
在和中，
， ∴≌（A.S.A），
（全等三角形的对应边相等）
【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等．
例8.如图，已知AD∥BC，BF∥DE，AE=CF．
（1） △ADE与△CBF全等吗，为什么?
（2） 说明AB=CD的理由；
（3） 图中有哪几对全等三角形?
【难度】★★
【解析】证明：（1）全等，
， ．
，， ．
在和中，
， ；
（2）， ．
在和中
，，
（全等三角形的对应边相等）；
（3）；；．
【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．
例9.如图，已知AB=CD，BM=CM，AC=BD，说明AM=DM的理由．
【难度】★★
【解析】在和中，
， ， ，
在和中，
，， ．
【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明．
例10.如图，∠1=∠2，AC=BD，E、A、B、F在同一条直线上，
说明：∠CAD=∠DBC的理由．
【难度】★★
【解析】， ．
在和中，
， ，
，又，．
【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．
例11.如图所示，AB=AC，CE=BE，连结AE并延长交BC于D，说明AD⊥BC的理由．
【难度】★★
【解析】证明：在和中，
，，
．
在和中，
， ，
， ．
【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直．
例12.如图所示，BE、CD相交于O，AB=AC，AD=AE，说明OD=OE的理由．
【难度】★★
【解析】证明：在和中，
，
（全等三角形的对应角相等）
，，．
在和中，
， （全等三角形的对应边相等）
【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用．
例13．（2019·上海奉贤区·七年级期末）阅读并填空：
如图，是等腰三角形，，是边延长线上的一点，在边上且联接交于，如果，那么，为什么？
解：过点作交于
所以（两直线平行，同位角相等）
（________）
在与中
所以，（________）
所以（________）
因为（已知）
所以（________）
所以（等量代换）
所以（________）
所以
【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明，写出证明过程和依据即可．
【详解】解：过点作交于，
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（两直线平行，内错角相等），
在与中
，
∴，（）
∴（全等三角形对应边相等）
∵（已知）
∴（等边对等角）
∴（等量代换）
∴（等角对等边）
∴；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
例14．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG，EF.
（1）说明：BG=CF；
（2）BE，CF与EF这三条线段能否组成一个三角形？
【分析】（1）由BG∥AC得出∠DBG=∠DCF,从而利用ASA得出△BGD与△CFD全等，进一步证得结论
（2）根据△BGD与△CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因为DE⊥GF，从而得出EG=EF,从而进一步得出结论
【详解】（1）∵BG∥AC
∴∠DBG=∠DCF
又∵D为BC中点
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF
∴△BGD△CFD（ASA）
∴BG=CF
（2）能
证明如下：
∵△BGD△CFD
∴BG=CF，GD=DF
又∵DE⊥GF
∴GE=EF
∵BE,BG,GE组成了△BGE
∴BE,BG,GE三边满足三角形三边的关系
同理，与BG,GE相等的两边CF,EF与BE三条线段亦满足三角形三边关系
∴BE,CF,EF这三条线段可以组成三角形
【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判断及性质是关键
例15．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B,请说明∠B=∠C
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠B+∠DFB，再根据∠FDE=∠B，证明∠DFB=∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路进行解答即可.
【详解】证明：∵∠FDC=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB
又∵∠FDE=∠B（已知）
∴∠DFB=∠EDC
在△DFB与△EDC中
FB=ED（已知），∠DFB=∠EDC，BF=CD（已知）
∴△DFB≌△EDC（SAS）
∴∠B=∠C.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键.
例16．（2019·上海浦东新区·）公园里有一条“”字形道路，如图所示，其中，在，，三段路旁各有一只小石凳，，，且，是的中点，试说明三只石凳，，恰好在一条直线上.（提示：可通过证明）
【分析】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出∠BME=∠CMF.通过角之间的转换可得到E，M，F在一条直线上.
【详解】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
在与中，
∴
∴（全等三角形的对应角相等）
∵（平角的意义）
∴（等量代换）
∴，，三点共线（平角的意义）
【点睛】本题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，关键是共线的证明方法.
例17．（2019·上海浦东新区·）如图，已知中，，是内一点，且，试说明的理由.
【分析】先证明，再利用全等三角形的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明.
【详解】证明：在与中，
∴
∴（全等三角形的对应角相等）
∵（已知）
∴（等腰三角形的三线合一）
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用.
例18．（2018·上海市第八中学七年级月考）如图，点E、F位于线段AC上，且 AF=CE， AB∥CD， BE∥DF。试说明 △ABE 和△CDF全等的理由。
【分析】根据两组平行线的内错角相等形成两组对应角相等，然后再利用公用线段和线段的和差确定对应边相等，即可说明利由。
【详解】解：理由如下：
∵AB∥CD
∴∠A=∠C
同理可得：∠DFC=∠AEB
由∵AF=EC
∴AF+FE=FE+EC,即AE=FC
在△ABE 和△CDF中
∴△ABE ≌△CDF（ASA）
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，利用平行线的性质和线段的和差确定判定条件是解答的关键。
例19．（2019·上海七年级期中）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；
（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．
【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．
例20．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们的运动时间为．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，；（2）存在，使得与全等．
【分析】(1)根据SAS证明△ACP≌△BPQ，利用全等三角形的性质即可得到；
(2)分两种情况：①若△ACP≌△BPQ，②若△ACP≌△BQP，利用全等三角形的性质得到对应线段相等，由此求出答案.
【详解】（1）当时，，，
又∠A=∠B=90°，
在与中
，
∴△ACP≌△BPQ(SAS)，
，
，
，
即；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则，，
，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则，，
，
解得，
综上所述，存在，使得与全等.
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质定理，（2）中利用分类思想分别利用全等三角形的性质求出未知数的值，熟练掌握三角形全等的判定及性质定理是解题的关键.
随堂检测
1.下列命题中正确的是 （ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
【难度】★
【答案】D
【解析】A错，全等三角形对应边上的高相等；B错，全等三角形对应边上的中线相等；
C错，全等三角形对应角的平分线相等；D对．
【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解．
2.如图，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC
【难度】★
【答案】C
【解析】C错，正确答案是∠A+∠ABD=∠C+∠CDB ，A，B，D均对．
【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解．
3.如图，折叠长方形ABCD，使顶点D与BC边上的N点重合，如果AD=7厘米，DM=5厘米，∠DAM=390，则AN=______厘米，NM=___________厘米，∠NAB=_______．
【难度】★
【答案】7；5；12°．
【解析】由翻折的性质，可得：，
则厘米，厘米，
， 故．
【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用．
4.尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【难度】★
【答案】D
【解析】∵，，，
【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握．
5.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据_________；
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据_________；
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据_________；
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF．则△ACE≌△BDF，根据_________．
【难度】★★
【答案】（1）A.A.S；（2）A.S.A；（3）S.A.S；（4）S.S.S．
【解析】，，，
则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证．
【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握．
6.如图，已知△ABC≌△ADE, ∠CAD=150，∠DFB=900，∠B=250．求∠E和∠DGB的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】，（垂直的意义）
，（互余的意义）
（邻补角的意义）
，，
（互余的意义）
【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌
握并应用．
7.如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、DF⊥AC，且AB∥CD，AB=CD．试说明：BD平分EF．
【难度】★★
【解析】，，
在和中，， ，
，， ，平分．
【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用．
8.如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°，
（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上?（原△ABC是指开始位置）
（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上?
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性．
9.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．
试说明：△AGE≌△DAC．
【难度】★★
【解析】是等边三角形．
，（等边三角形的性质）
，
°，°，
．
，又，
，
即．
，．
在和中，，
．
【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用．
10.在∠O的两边上分别取点A、D和B、C，连接AC、BD相交于P．
（1）若∠A＝∠B，PA＝PB，试说明OA＝OB的理由；
（2）若OA＝OB，PA＝PB，试说明PC＝PD的理由．
【难度】★★★
【解析】（1）在和中，
，
，
（全等三角形对应边相等）．
， （等式性质）．
在和中，，
，
（全等三角形的对应边相等）；
（2）连接OP
在和中，，
，
，AP = BP（全等三角形的对应角相等、对应边相等）．
在和中，
，
（全等三角形的对应边相等）．
【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用．
11.如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，绕着顶点A旋转后位置如下：
（1） 当C、A、D在同一直线上，说明CE与BD有何关系?为什么?
（2） 当△ADE再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE与BD又有何关系．
【难度】★★★
【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）证明：△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
，，（等边三角形的性质）
在和中，，，
，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）
， ，
．
（2），，证明过程同上．
【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用，
注意认真分析题目中的条件．
相关试卷
第12讲全等三角形的综合（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）： 这是一份第12讲全等三角形的综合（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第12讲全等三角形的综合讲义解析版docx、第12讲全等三角形的综合讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
第11讲 全等三角形的概念和性质及判定（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）： 这是一份第11讲 全等三角形的概念和性质及判定（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第11讲全等三角形的概念和性质及判定练习解析版docx、第11讲全等三角形的概念和性质及判定练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
第9讲 三角形的概念、性质及内角和（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）： 这是一份第9讲 三角形的概念、性质及内角和（练习）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版），文件包含第9讲三角形的概念性质及内角和练习解析版docx、第9讲三角形的概念性质及内角和练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
