人教版数学九年级上册专项培优练习十六《切线的性质与判定证明题专练》（含答案）

人教版数学九年级上册专项培优练习十六

《切线的性质与判定证明题专练》

1.已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.

(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：___________________或者__________________；

(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断.

2.已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°.

(1)求证：直线AD是⊙O的切线；

(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长.

3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E.

(1)求证：AD∥OC；

(2)若AE=2，CE=2.求⊙O的半径和线段BE的长.

4.如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与A、C重合)，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D.

(1)求证：DC=DP；

(2)若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A、O、C、F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由.

5.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是 弧DE的中点.
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA=6，求PB的长

6.如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F.

（1）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；

（2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积.

7.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.

（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；

（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.

8.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=10，求线段OG的长．

9.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.

11.如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA.

（1）求证：CD是⊙O的切线.

（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE.

12.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：

①            ；②           ；③           ．

（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．

（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE=∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．

13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP.

（1）BD=DC吗？说明理由；

（2）求∠BOP的度数；

（3）求证：CP是⊙O的切线.

14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线

BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；

（3）求证：CD=HF.

15.如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.已知重型运输卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18千米/时.

(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；

(2)求卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.

参考答案

1.解：(1) ∠BAE=90°；∠EAC=∠ABC

(2) (2)EF是⊙O的切线.证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM=90°，∠M=∠B，

∴∠M＋∠CAM=∠B＋∠CAM=90°，

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAM＋∠CAE=90°，

∴AE⊥AM，

∵AM为直径，

∴EF是⊙O的切线

2.解：(1)证明：∵∠AEC=30°，

∴∠ABC=30°.

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，∴∠BAD=120°，

连接OA，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=30°，

∴∠OAD=∠BAD－∠OAB=90°，

∴OA⊥AD.

∵点A在⊙O上，

∴直线AD是⊙O的切线.

(2)∵∠AEC=30°，

∴∠AOC=60°.

∵BC⊥AE于M，

∴AE=2AM，∠OMA=90°.

在Rt△AOM中，AM==2，

∴AE=2AM=4.

3.解：

4. (1)证明：连结OC.

∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，

∴∠APE=∠PCD.

∵∠APE=∠DPC，

∴∠DPC=∠PCD，

∴DC=DP.　

(2)解：以A、O、C、F为顶点的四边形是菱形.

理由：连结BC、OF、AF.

∵∠CAB=30°∴∠B=60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠AOC=120°.

∵F是的中点，

∴∠AOF=∠COF=60°，

∴△AOF与△COF均为等边三角形，

∴AF=AO=OC=CF，

∴四边形AOCF为菱形.

5.（1）证明： 连接DE，OA.

∵PD是直径， ∴∠DEP=90°，
∵PB⊥FB， ∴∠DEP=∠FBP， ∴DE∥BF，
∵ ， ∴OA⊥DE， ∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线.
（2）作OH⊥PA于H.
∵OA=OP，OH⊥PA， ∴AH=PH=3，
∵OA∥PB， ∴∠OAH=∠APB，
∵∠AHO=∠ABP=90°， ∴△AOH∽△PAB，

6.解：（1）如图1中，连接OD.

∵∠C=45°，

∴∠AOD=2∠C=90°，

∵ED∥AB，

∴∠AOD+∠EDO=180°，

∴∠EDO=90°，

∴ED⊥OD，

∴ED是⊙O切线.

（2）如图2中，连接BC，

∵CF=DF，

∴AF⊥CD，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∵AB∥ED，

∴ED⊥DC，

∴∠EDC=90°，

在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2，

∴BC=1，AC=，

∴CF=AC=，CD=2CF=，

在RT△ECD中，

∵∠EDC=90°，CD=，∠E=∠CAB=30°，

∴EC=2CD=2，ED=3，

∴S△ECD=•ED•CD=.

7.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，

∴AB⊥AP，

∴∠BAP=90°；

又∵∠P=35°，

∴∠AB=90°﹣35°=55°.

（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ACP=90°；

又∵D为AP的中点，

∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；

又∵AP是⊙O的切线，A是切点，

∴AB⊥AP，

∴∠OAD=90°，

∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.

8.解：（1）连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，

∴∠ODA=∠EAD，

∴OD∥AE，

∴∠E+∠ODE=180°，

∴∠ODE=90°，

∴DE与⊙O相切；

（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，

∴∠OAD=∠EAD=30°，

∴∠OAC=60°，

∵OA=OD，

∴△OAC是等边三角形，

∴∠AOG=60°，

∵∠OAD=30°，

∴∠AGO=90°，

∴OG=2.5．

9.（1）证明：连接OB，如图所示：

∵E是弦BD的中点，

∴BE=DE，OE⊥BD，=，

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠BOE=∠DBC，

∴∠OBE+∠DBC=90°，

∴∠OBC=90°，

即BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，

∴OC==10，

∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，

∴BE===4.8，

∴BD=2BE=9.6，

即弦BD的长为9.6．

10.解：(1)证明：如图，连接OD，CD.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，

∴∠BDC=90°.

又∵E为BC的中点，

∴DE=BC=CE，

∴∠EDC=∠ECD.

∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，

∴∠EDC＋∠ODC=∠ECD＋∠OCD=∠ACB=90°，

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE.

又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.

(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2=OF2，

即x2＋42=(x＋2)2，解得x=3.

∴⊙O的直径的长为6.

11.（1）证明：如图1，连结OC，

∵点O为直角三角形斜边AB的中点，

∴OC=OA=OB.

∴点C在⊙O上，

∵BD=OB，

∴AB=DO，

∵CD=CA，

∴∠A=∠D，

∴△ACB≌△DCO，

∴∠DCO=∠ACB=90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，

∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，

∴BE=BCcos60°=8×=4.

12.（1） 当AB⊥EF或∠BAE=90°可判断EF为⊙O的切线；

当∠ABC=∠EAC，∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∴∠EAC+∠CAB=90°，

∴AB⊥EF，

∴EF为⊙O的切线；

故答案为AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

（2）证明：如图2，作直径AD，连结CD，

∵AD为直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠CAD=90°，

∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠D，

∴∠EAC+∠CAD=90°，

∴AD⊥EF，

∴EF为⊙O的切线；

（3）如图3，作直径AD，连结CD，BD，

∵AD为直径，

∴∠ABD=90°，

∵∠CAE=∠ABC，

∴∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，

而∠DAC=∠DBC，

∴∠DAE=∠ABD=90°，

∴AD⊥EF，

∴EF为⊙O的切线．

13.解：（1）BD=DC.理由如下：连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC；

（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，

∴∠BAD=∠CAD，

∴，

∴BD=DE.

∴BD=DE=DC，

∴∠DEC=∠DCE，

△ABC中，AB=AC，∠A=30°，

∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，

∴∠DEC=75°，

∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，

∵BP∥DE，

∴∠PBC=∠EDC=30°，

∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，

∵OB=OP，

∴∠OBP=∠OPB=45°，

∴∠BOP=90°；

（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，

在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，

又∵==，∴=，∴=，

又∵∠AGO=∠CGP，

∴△AOG∽△CPG，

∴∠GPC=∠AOG=90°，

∴OP⊥PC，

∴CP是⊙O的切线；

14.（1）证明：（1）如图，连接OE.

∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，

∴BF是圆O的直径，

∴OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，

∴BEC=∠BEH，

∵BF是⊙O是直径，

∴∠BEF=90°，

∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠FEH=∠FEA，

∴FE平分∠AEH.

（3）证明：如图，连结DE.

∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH.

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE，

∵∠C=∠EHF=90°，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF，

15.解：(1)过点A作ON的垂线段，交ON于点P，如图①.

在Rt△AOP中，∠APO=90°，∠POA=30°，OA=80米，

所以AP=OA=80×=40(米)，

即对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离是40米.

(2)以点A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于点D，E，连接AD，AE，如图②.

在Rt△ADP中，∠APD=90°，AP=40米，AD=50米，

所以DP===30(米).同理可得EP=30米，所以DE=60米.

又因为18千米/时=5米/秒，=12(秒)，

所以卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒.