易错点15 直线和圆 高考数学易错题精编（word版含答案解析）

易错点15   直线和圆

易错点1： 直线的方程

若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。

易错点2：圆的方程

    (1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；   

(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.  

易错点3：直线与圆相离

直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.

易错点4：直线与圆相切

直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. 

易错点5：直线与圆相交  

直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. 

题组一：直线的方程

1.【2016·上海文科】已知平行直线，则的距离_______________．

【答案】

【解析】利用两平行线间距离公式得

2.【2014四川】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是

A．    B．   C．   D．

【答案】B

【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂直，故点在以为直径的圆上运动，故

．故选B．

【叮嘱】对于直线过定点，有以下常用结论：

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点；

若直线：（其中为常数），则直线必过定点。

3.【2012浙江】设，则“”是“直线：与直线：平行”的

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件

C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。故选：.

题组二：圆的方程

4.【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】A.

【解析】设圆心，则，化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.

5．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

【答案】

【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），

则，解得，则圆的方程为．

6．【2015北京文】圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是

A．             B．

C．             D．

【答案】D

【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为．

题组三：直线与圆相交

7.【2021北京卷9】曲线，直线，变化时，直线截曲线的最小弦长为2，则的值为

 A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由圆的性质知，当时，圆心到直线的距离最大，弦长最小，故此时有，所以.

8．【2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）】已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1    B．2     C．3     D．4

【答案】B

【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

9.【2015全国1卷文】已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.

（I）求k的取值范围；

（II），其中O为坐标原点，求.

【答案】（I）（II）2

【解析】(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.

因为l与C交于两点，所以<1，解得<k<，

所以k的取值范围为.

（II）设.

将代入方程,整理得,

所以

,

由题设可得，解得，所以l的方程为.

故圆心在直线l上，所以.

题组四：直线与圆相切

10．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D.

11．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

12.【2020•全国2卷】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.

由题意可得，可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.

故选：B.

题组五：直线与圆相离

13.【2020年全国1卷】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，

当直线时，，，此时最小．

∴即，由解得，．

所以以为直径的圆的方程为，即，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D.

14．【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上,圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

15．【2016年全国普通高等学校招生统一考试】圆的圆心到直线的距离为1，则(    )

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（    ）

A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0

【答案】C

【解析】AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，

圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为，圆x2＋y2－6x＝0的圆心为，

则两圆圆心所在直线的方程为，即3x－y－9＝0.

故选：C.

2．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】可化为，∴直线过定点，

故选：D.

3．圆的圆心到直线的距离为

A．1          B．2           C．         D．2

【答案】C

【解析】圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.

4．已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是

A．内切           B．相交          C．外切        D．相离

【答案】B

【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．

5．圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=

A．−          B．−             C．            D．2

【答案】A

【解析】由题意知圆心为，由距离公式有，解得，故选A．

6．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是

A．             B．

C．             D．

【答案】D

【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为．

7．直线与圆相切，则的值是

A．－2或12     B．2或－12         C．－2或－12       D．2或12

【答案】D

【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离，所以或．

8．已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为

A．       B．       C．        D．

【答案】B

【解析】由题意可得，，∴为等边三角形，故的外接圆圆心时的中心，又等边的高为，故中心为，故外接圆的圆心到原点的距离为．

9．设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是

A．     B．     C．      D．

【答案】A

【解析】当点的坐标为时，圆上存在点，使得，所以符合题意，排除B、D；当点的坐标为时，，过点作圆的一条切线，连接，则在中，，

则，故此时在圆上不存在点，使得，

即不符合题意，排除C，故选A．

10．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．