2022年福建省莆田市城厢区中山中学中考数学一模试卷（Word解析版）

2022年福建省莆田市城厢区中山中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在，，，四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在一个不透明的袋子中装有黑球个、白球个、红球个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图是由个大小相同的正方体组成的几何体，下列说法正确的是(    )

A. 主视图和左视图相同
B. 主视图和俯视图相同
C. 左视图和俯视图相同
D. 三种视图都不相同

5. 已知，下列式子不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，、分别是和的中点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下列判断正确的是(    )

A. 北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B. 一组数据，，，，的中位数是
C. 命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
D. 甲、乙两组学生身高的方差分别为，则甲组学生的身高较整齐

8. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，四边形内接于，连接若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组，的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的，的值满足(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若式子有意义，则实数的取值范围是______ ．
12. 因式分解：______．
13. 如图，正五边形中，对角线与相交于点，则______度．

14. 已知圆锥的底面圆的半径是，母线长是，其侧面展开图的面积为______．
15. 点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
16. ▱中，对角线、相交于点，是边上的一个动点不与、重合，连接并延长，交于点，连接，，下列四个结论中：
    对于动点，四边形始终是平行四边形；
    若，则至少存在一个点，使得四边形是矩形；
    若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形；
    若，则至少存在一个点，使得四边形是正方形．
    以上所有正确说法的序号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    化简：．
19. 本小题分
    如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点求证：是等腰三角形．

20. 本小题分
    某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
    求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
    该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用．
21. 本小题分
    如图，已知线段和点，利用直尺和圆规作，使点是的内心不写作法，保留作图痕迹；
    在所画的中，若，，，则的内切圆半径是______．

22. 本小题分
    如图，为的直径，四边形内接于点为的中点，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为．
    求证：；
    若，，求的值．

23. 本小题分
    为了防控新冠疫情，某市计划在体育中考时增设考生进入考点需进行体温检测的措施．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数人与时间分钟的变化情况，数据如下表：表中表示

根据这分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；
如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有个，每个检测点每分钟检测人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

24. 本小题分
    如图，正方形中，是对角线上的一个动点不与、重合，连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点，延长线与边交于点．
    连接，求证：；
    若，求：的值；
    求证：．

25. 本小题分
    已知抛物线，顶点为点，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
    若抛物线经过点，求此时抛物线解析式；
    若直线与抛物线交于、两点，若，求的取值范围：
    若直线与轴交于点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在，，，四个数中，，
最大的数是，
故选：．
根据正数大于，大于负数，再根据平方运算比较与的大小，即可解答．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：袋子中一共有个小球，其中红球有个，
任意摸出一个球是红球的概率是，
故选：．
用红球的个数除以球的总个数即可得．
本题主要考查概率公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图和俯视图相同，均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，俯视图是一个“田”字，
故选：．
根据三视图的定义求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】
解：、在不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，不等式的两边同时加上，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在不等式的两边同时乘以，当时，得到；当时，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：、分别是、边上的中点，
，，
∽，
，
：：，
即：：，
，
．
故选：．
先根据三角形中位线的性质，证得：，，进而得出∽，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
此题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

7.【答案】 

【解析】解：、北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择球面调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、一组数据，，，，的中位数是，故本选项说法错误，不符合题意；
C、命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，本选项说法正确，符合题意；
D、甲、乙两组学生身高的方差分别为，则乙组学生的身高较整齐，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据全面调查和抽样调查、中位数的概念、正方形的判定、方差的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：由数轴可知，，
，故A选项错误；
，
，
，故B选项错误；
，，，不是整数，且不确定，
的值不能确定为，故C选项错误；
，，
，故D选项正确；
故选：．
根据数轴可得：，再根据绝对值，有理数加减法逐项判定即可．
本题考查了实数与数轴，掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据得到，然后利用圆内接四边形的性质得到结果．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，，
；
图象的右侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向右平移，
；
故选：．
由图象可知，当时，，可知；图象的右侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向右平移，则；
本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使式子有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：分式中，分母．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【解答】
解：五边形是正五边形，
，
，
，
同理，
．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：这个圆锥侧面展开图的面积．
故答案为：．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
在图象的每一支上，随的增大而增大，
当点、在图象的同一支上，
，
，
解得：无解；
当点、在图象的两支上，
，
，，
解得：，
故答案为：．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点、在图象的同一支上时，当点、在图象的两支上时．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当时，在图象的每一支上，随的增大而增大．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形为平行四边形，对角线与交于点，
，，，，
，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，
即在上任意位置不与、重合时，四边形恒为平行四边形，
故选项正确；
如图，

当时，四边形为矩形，故选项正确．
如图，

当时，四边形为菱形，故选项正确．
如图，

当且时，四边形为正方形，故选项正确．
故答案为：．
由于经过平行四边形的中心，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．
本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的混合运算法则．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌，
，，
，
即，
在和中，，
≌，
，
是等腰三角形． 

【解析】先证≌，得出，，则，再证≌，得出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
所以，
答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位的占地面积为平方米；

设建摊位个，则建摊位个，
由题意得：，
解得，
，
建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元，
要想使建造这个摊位有最大费用，所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大，
此时最大费用为：元，
答：建造这个摊位的最大费用是元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．
设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，根据用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．
设建摊位个，则建摊位个，结合“类摊位的数量不少于类摊位数量的倍”列出不等式求出范围，根据要想使建造这个摊位有最大费用，所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大，据此列式解答．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．

 

【解析】解：如图，即为所求．

设内切圆的半径为．
，，，
，
，
，
故答案为．
作射线，，作，可得．
利用面积法求解即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：点为的中点，
，
，
为的直径，
，
，
是的切线，为的直径，
，
，
，
；
是的切线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
在中，
． 

【解析】由点为的中点，可得，根据为的直径，有，又是的切线，为的直径，有，即得，；
证明≌，得，，由勾股定理求得，由三角形面积公式求得，进而求得，，再证明∽，得，进而求得便可．
本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是证明三角形全等与相似．
 

23.【答案】解：由表格中数据的变化趋势可知，
当时，是的二次函数，
当时，，
二次函数的关系式可设为：，
由题意可得：，
解得：，
二次函数关系式为：，
当时，，
与之间的函数关系式为：；
设第分钟时的排队人数为人，
由题意可得：，
当时，，
当时，的最大值，
当时，，随的增大而减小，
，
排队人数最多时是人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得：，
解得：，
答：排队人数最多时有人，全部考生都完成体温检测需要分钟． 

【解析】分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式；
设第分钟时的排队人数为人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当时，的最大值，当时，，可得排队人数最多时是人，由全部考生都完成体温检测时间每分钟检测的人数总人数，可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出与之间的函数关系式是本题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，线段绕点顺时针旋转得到线段，
，．
四边形是正方形，
，．
．
，即．
在和中，
，
≌．
．
解：过点作于，过点作于．
，
可以假设，则，
四边形是正方形，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．

证明：如图，当在边上时，过作，交于，则，
，
，
，
，，
≌，
，
，
、、、四点共圆，
连接，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的基本性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
证明≌可得结论．
过点作于，过点作于由，可以假设，则，解直角三角形求出，，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
证明≌，推出，再证明是等腰直角三角形即可．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，
，即，
解得：不合题意，舍去，，
此时抛物线的解析式为．
设点的坐标为，点的坐标为
将代入中，
整理得：，
，，
，
，
．
，
．
又，
，
．
抛物线的顶点为点，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
解得：，
点的坐标为，
．
设点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
，，
，
，
为定值，该定值为． 

【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其符合题意的值代入原抛物线解析式中即可求出结论；
设点的坐标为，点的坐标为，将代入中可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出，，利用两点间的距离公式结合一次函数图象上点的坐标特征，可求出，由直线与抛物线有两个交点，利用根的判别式可得出，再结合，即可求出的取值范围；
利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可得出点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的长，设点的坐标为，点的坐标为，利用二次函数图象上点的坐标特征及根与系数的关系可得出，，进而可用含的代数式表示出的值，再将，代入中即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、根与系数的关系、根的判别式、两点间的距离公式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出的值；利用两点间的距离公式，找出；利用一次函数图象上点的坐标特征及根与系数的关系，用含的代数式表示出，的值．