2022年山东省东营市中考数学试卷（Word解析版）

2022年山东省东营市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 植树节当天，七年级班植树棵，正好占这批树苗总数的，七年级班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级班植树的棵数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一元二次方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点为边上任一点，交于点，连接、相交于点，则下列等式中不成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为，则不等式的解集是(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D.

9. 用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面接缝忽略不计，则圆锥的母线长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知菱形的边长为，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，连接、以下四个结论正确的是(    )
    是等边三角形；
    的最小值是；
    当最小时；
    当时，．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共28分）

11. 年月日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超亿．亿用科学记数法表示为______．
12. 因式分解：______．
13. 为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是______分钟．

14. 如图，在中，弦半径，，则的度数为______．

15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
16. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数表达式为______．

17. 如图，在中，点、在上，点、分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为______．

18. 如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：；
    先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
    中国共产党的助手和后备军中国共背团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：背年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
    
    请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    在这次调查中，一共抽取了______名学生；
    补全条形统计图；
    若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
    小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
21. 本小题分
    如图，为的直径，点为上一点，于点，平分．
    求证：直线是的切线；
    若，的半径为，求图中阴影部分的面积．

22. 本小题分
    胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”已知主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度结果保留整数，参考数据：，
     

23. 本小题分
    为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
    求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
    若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
    求抛物线的表达式；
    在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
    点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．

25. 本小题分
    和均为等边三角形，点、分别从点，同时出发，以相同的速度沿、运动，运动到点、停止．
    
    如图，当点、分别与点、重合时，请判断：线段、的数量关系是______，位置关系是______；
    如图，当点、不与点，重合时，中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
    当点运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
根据绝对值的定义，可直接得出的绝对值．
【解答】
解：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、算术平方根，解题的关键是掌握合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：

，，，
，
直线，
．
故选：．
先由已知直角三角板得，然后由，求出的度数，再由直线，根据平行线的性质，得出．
此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：七年级班植树棵数：棵，
故选：．
根据题目当中信息列式计算即可．
本题考查有理数的混合运算，准确的约分是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，
则，
，，
故选：．
根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，当涂黑或或或区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，
则是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念、概率公式计算即可．
本题考查的是概率的计算、轴对称图形的概念，正确理解轴对称图形的概念、掌握概率公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故A正确；
∽，
，
故B正确；
∽，
，
故C错误；
，，
，
故D正确，
故选：．
由根据平行线分线段成比例定理得，可判断A正确；
由∽根据相似三角形的对应边成比例得，可判断B正确；
由∽得，可判断C错误；
由，，得，可判断D正确．
此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，找到相似三角形的对应线段是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
不等式的解集为：或，
故选：．
根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式的解集，此题得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设半圆形铁皮的半径为，
根据题意得：，
解得：，
所以围成的圆锥的母线长为，
故选：．
求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
和都是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
是等边三角形，
故正确；
当时，的值最小，此时的值也最小，
，，，
，
的最小值是，
故正确；
时，的值最小，此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故正确；
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故正确，
故选：．
由四边形是菱形得，，，，而，则和都是等边三角形，再证明≌，得，而，则是等边三角形，可判断正确；
当时，的值最小，此时的值也最小，由，，可求得，可判断正确；
当的值最小，则，可证明，根据三角形的中位线定理得，则∽，可求得，可判断正确；
由，得，再证明∽，得，所以，即，可判断正确．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
 

11.【答案】 

【解析】解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．
 

13.【答案】 

【解析】解：分钟出现了次，它的次数最多，
众数是分钟．
故答案为：．
根据众数的定义即可解决问题．
本题考查了确定一组数据的众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

14.【答案】 

【解析】解：半径，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
本题考查了三角形内角和：三角形内角和是也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．
 

15.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于，轴于，
，

，
，
，
，
，
≌，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
经过点的反比例函数解析式为．
故答案为：．
作轴于，轴于，根据是等腰直角三角形，可证明≌，利用反比例函数的几何意义得到，则，所以，然后求出得到经过点的反比例函数解析式．
此题考查了全等三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

17.【答案】 

【解析】解：设交于点，
矩形的边在上，
，，
∽，
于点，
，
，
，
，，，
，
，，，
，
解得，
的长为，
故答案为：．
设交于点，由矩形的边在上证明，，则∽，得，其中，，，可以列出方程，解方程求出的值即可．
此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图：

直线，令，则，
令，则，
解得，
，，
，，
，
，，，是等边三角形，
、，，

C、C、是含角的直角三角形，
，，，
，，
，，

，
点的横坐标是，
故答案为：．
求出直线与轴、轴的交点坐标，由题意可得，，则C、C、是含角的直角三角形，可得出，，，可得，，由此得出规律，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

，
当，时，原式． 

【解析】根据平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则计算；
根据分式的混合运算法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
本题考查的是实数的混合运算、分式的化简求值，掌握平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：在这次调查中，一共抽取的学生为：名，
故答案为：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于，
则，
在中，，，
，，
，
，
，
，


． 

【解析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据垂径定理得到，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正弦的定义求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
．
答：主塔的高约为． 

【解析】根据锐角三角函数的定义可求出的长度，然后即可求出的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义．
 

23.【答案】解：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价为元，则乙种水果的进价为元；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
；
连接交对称轴于点，
，
抛物线的对称轴为直线，
、关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
当时，，
点与点重合，
； 
当时，，
过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于，
，
，
，
，
，
≌，
，，
设，则，
，
解得或，
或，
点在对称轴的左侧，
点坐标为；
综上所述：点的坐标为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
连接交对称轴于点，当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，再求点坐标即可；
分两种情况讨论：当时，，点与点重合，则；当时，，过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于，可证明≌，设，则，求出点坐标为．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：，都是等边三角形，
，，
，
故答案为：，；

结论成立．
理由：如图中，连接．

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
；

当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．
理由：如图中，连接．

由可知，是等边三角形，，
，
，
∽，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
利用等边三角形的性质解决问题即可；
证明≌，推出，，再证明是等边三角形，可得结论；
当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．