第03讲 三角形一边的平行线- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

第3讲   三角形一边的平行线

1、三角形一边的平行线性质定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．

如图，直线DE // BC，那么．

2、三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

如图，点、分别在的边、上，

DE // BC，那么．

3、三角形的重心

定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．

性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．

4、三角形一边的平行线判定定理

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

5、三角形一边的平行线判定定理推论

如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

6、平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．

如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．

7、平行线等分线段定理

两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．

题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等

【例1】如图，在中，，，，，求．

【例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延长线于点F，AB=2,BE=3EC,那么DF的长为               .

【例3】如图,在中，平分，，厘米，，

 求的长．

【例4】如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF=4，那么BE=                  .

【例5】如图，已知在中，，，，，，

 求四边形的周长．

【例6】如图，在中，，于点，点是中点，过点作的垂线交于点，，则        ．

【例7】如图，在等腰中，AB=AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE=6，FD=3,则的面积              ．

题型二、利用平行线判定证明线段平行

【例8】如图，中，点在边上，点在边上，下列命题中不正确的是（  ）

 （A）若//，则

 （B）若，则//

 （C）若//，则

 （D）若，则//

【例9】如图，点、在的边上，点在边上，且//，．

 求证：//．

【例10】点、分别在的边、上，且//，以为一边作平行四边 形，延长、交于点，连接，求证：//．

题型三、利用平行线分线段成比例求线段长

【例11】如图，////，，，， 求、的长．

【例12】如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、， 且////．已知，，，求、的长．

题型四、构造“A”与“8”字型

【例13】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4.

若EF∥BC，且EF=7，求AE和DF的长.（用两种方法解决）

【例14】如图，是线段上一点，且，交于点，，求的值．

举一反三

1.中，直线交于点，交于点，以下能推出//的条件是（    ）

A．，    B．，

C．，    D．，

2.（2021•醴陵市模拟）如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是　　

A．2 B． C．1 D．

3.（2021•松北区模拟）如图，中，，，下列式子错误的是　　

A． B． C． D．

4.（2021•温岭市模拟）如图，，与相交于点，且，，，则　　

A． B． C． D．

5.在中，点、分别在边和上，，，，要 使//，则       ．

6.如图，中，//，，求证：//．

7.如图，已知////，它们依次交直线、于点、、和点、、．

（1）如果，，，求的长；

（2）如果，，求、的长．

8.如图，在平行四边形中，点在边上，若，则       ．

9.如图，中，在BC上取一点P，CA上取一点Q，使得BP : PC = 2 : 5，CQ : QA = 3 : 4，AP与BQ交于点R，则AR : RP =______．

10.如图，在梯形中，，，，、是两腰上的点， ，，求的长．

课后作业

1.（2020年•黄浦区一模）如图1，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（    ）．

（A）；             （B）；

  （C）；         （D）．

 2.如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(   )

A.               B.                C.                D.                

3.（2020年•浦东新区一模）]如图,已知直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，若AB=4，AC=，,DF=9，则DE的长为 (　 　)

A.5  B.6  C.7  D.8

4.（2020年•徐汇区一模）如图，，，，，那么下列结论正确的是（     ）

（A）；                  （B）；

（C）；                   （D）．

5.(2021•洪泽区二模）如图，，交、、分别于、、，且，，交、、分别于、、，则　　．

6.（2020年•吉林中考）如图，AB∥CD∥EF．若，BD＝5，则DF＝　    　．

7.（2020年•虹口区一模）如图4，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB=6，EF=10，点C、D分别在边AE、BF上且CD∥AB，如果AC=3CE，那么CD长为       ．

8.（2020年•静安区一模）在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD=6，那么AG=     ．

9.如图,在△ABC中,若BD∶DC=CE∶EA=2∶1,AD与BE交于F,则AF∶FD=        . 

10.（2019年•长宁区月考）如图，平行四边形ABCD中，点E在CD上，点F在CD的延长线上，AF交BD于点O，交BC于点G，且DF:CD=DE:EC,

求:OE∥BC

11.（2020秋•浦东新区期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．

（1）如果，，，求的长；

（2）如果，，，求的长．

12．（2019秋•黄浦区期中）如图，已知在中，，，，．

（1）求的长；

（2）当时，求证：．

13.（2019年•上海课时练习）梯形中，点在上，点在上，且，．

（1）如图（a），如果点、分别为、的中点，求证：//且；

（2）如图（b），如果，判断和是否平行，并证明你的结论，并用、、、的代数式表示．