初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.2 二次函数的图象和性质综合训练题

这是一份初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.2 二次函数的图象和性质综合训练题，共25页。试卷主要包含了2）．，如图，抛物线y＝a．等内容，欢迎下载使用。

二次函数性质拔尖练习整理
性质一：
1.如图，已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．

（1）求点A、点B的坐标；
（2）连接，，求的面积．


2.已知 a≠0，在同一坐标系中，y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．

（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

性质二：
1.已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．




2.用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：

…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…

…
-0.4
-0.5

-1

0

0
-2
…
其中，______，______，_____；
（2）在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．
（3）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质：_____________；
（4）已知函数的图象如图所示，结合你画的函数图象，直接写出不等式的解集为______________（保留一位小数，误差小于0.2）．

性质三：
1.已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．



2.已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3

3.正在建设的北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平行于地面向前运动了米至点，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？
（3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？









性质四：
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．
2.把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象
（1）求a，h，k的值；
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）当时，求函数y的取值范围．


3.二次函数的图象的对称轴为直线，最小值为，且函数的图象与抛物线的形状相同、方向相反．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如果函数图象与x轴交于A，B（A在B的左边）两点，交y轴于C点，你能求出的面积吗？
（3）利用二次函数的图象，写出x为何值时，．






4.如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点，和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线于点Q，则图中阴影部分的面积为__________．

5.如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．



性质五：
1.如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点．
（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．



2.已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
3.某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数的图象和性质．
（1）如表是该函数与自变量的几组对应值：



0
1
2
3
4
6





3.5
3

3


其中，的值为 　　，的值为 　　；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：　　．





参考答案：
性质一：
1.如图，已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．

（1）求点A、点B的坐标；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）交点A，B的坐标分别为；（2）．
【解析】
（1）由题意得
解得或
即交点A，B的坐标分别为．
（2）如图

设直线与y轴交于点，即．
．



2.已知 a≠0，在同一坐标系中，y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
3.如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．

（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）符合条件的点P的坐标为．
【解析】（1）设直线的解析式为．
把代入得解得
所以直线的解析式为．
把代入得，
所以抛物线的解析式为．
（2）依题意得解得或
即直线与抛物线的两个交点的坐标是．
．
设．
∵，∴，解得或（舍去），∴．
（3）．
①当时，；
②当时，；
③当时，点P是线段的垂直平分线与x轴负半轴的交点．
过点C作轴于点F．设．
在中，，
∵，∴，解得，∴
综上所述，符合条件的点P的坐标为．





性质二：
1.已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】解：（1）设A点坐标为（3，m）；B点坐标为（-1，n）．
∵A、B两点在y=x2的图象上，∴m=×9=3，n=×1=．
∴A（3，3），B（-1，）．
∵A、B两点又在y=ax+b的图象上，可得，
，解得
∴一次函数的表达式是．
（2）如下图，设直线AB与x轴的交点为D，则D点坐标为（,0）,
S△ABC=S△ADC-S△BDC=××3-××1=2．

2.用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

由图知，显然，
当时，将其分别代入与计算得；
，
，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，

故选：D．
3.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：

…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…

…
-0.4
-0.5

-1

0

0
-2
…
其中，______，______，_____；
（2）在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象．
（3）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质：_____________；
（4）已知函数的图象如图所示，结合你画的函数图象，直接写出不等式的解集为______________（保留一位小数，误差小于0.2）．

【答案】（1），-2，2；（2）见解析；（3）时，该函数取得最大值2；（4）或或．
【解析】解：（1）当x=-2时，m=y==-，
当x=0时，n=y==-2，
当x=2时，同理可得y=2，
故答案为：-，-2，2；
（2）通过描点连线绘制函数图象如下：

（3）从图象看，时，该函数取得最大值2；
（4）两个函数的位置关系如下：

从图象看，两个函数交点的横坐标分别为：-1.4、0、2.4，
观察函数图象，y1≤y2的解集为x≤-1.4或x=0或x≥2.4，
故答案为：x≤-1.4或x=0或x≥2.4．



性质三：
1.已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．

【答案】（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．
【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S△AMP=3求出M的坐标，最后求出解析式.
解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得解得
解析式为y=﹣x+4．
（2）设M点的坐标为（m，n），
∵S△AMP=3，∴（4﹣1）n=3，解得，n=2，
把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，M（2，2），
∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），可得y=a（x﹣1）2，
把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．



2.已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
【答案】B
【解析】解：函数的对称轴为：x=h，
①当时，x=3时，函数取得最小值1，即，解得h=4或h=2（舍去）；
②当时，x=1时，函数取得最小值1，即，解得h=0或h=2（舍去）；
③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立，
综上，h=4或h=0，
故选：B．
3.正在建设的北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平行于地面向前运动了米至点，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？
（3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？

【答案】（1）；（2）米；（3）当支架米，米，米，米时，总造价最低，最低造价为53000元
【解析】（1）解：由题意知：,且点为抛物线的顶点，
设抛物线函数关系式为，将点代入其中，解得：，
抛物线的函数关系式：
（2）由图像可设抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线与抛物线完全一样，
∴抛物线解析式为，
又∵抛物线表达式为，当时，得：
，解得：，∴，
∵过山车运动到处时，平行于地面向前运动了米至点，∴，
将代入，得：，
∵，∴，
∴抛物线解析式为
当时，，解得，
∴当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有米．
（3）设米，则米，米，米，支架的总长为米，由题意可得：



∵∴此抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，∴当时，存在最小值，
∴最低造价为（元）
即当支架米，米，米，米时，总造价最低，最低造价为53000元．


性质四：
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；
将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．
【答案】y=2（x+1）2+1 y=2（x﹣1）2﹣1
【解析】解：（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方向变了，
∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为：；
（2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称，开口方向和原来开口方向相反，
∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为：.
2.把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象
（1）求a，h，k的值；
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）当时，求函数y的取值范围．
【答案】（1）；（2）向上，；（3）
【解析】解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（−1，3），把点（−1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2，−1），
所以原二次函数的解析式为
所以；
（2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）．
（3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∴当x=2时，y的最小值为-1，
∵x=1时，；x=5时，
∴当时，求函数y的取值范围为．
3.二次函数的图象的对称轴为直线，最小值为，且函数的图象与抛物线的形状相同、方向相反．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如果函数图象与x轴交于A，B（A在B的左边）两点，交y轴于C点，你能求出的面积吗？
（3）利用二次函数的图象，写出x为何值时，．
【答案】（1）（2）5；（3）或
【解析】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，最小值为，
∴，
又∵二次函数的图象与抛物线的形状相同、方向相反
∴ ，∴二次函数的表达式为
（2）对于
当时，， 解得，
当时， ，∴
∴ ，∴
（3）二次函数的图象如图，

根据函数图象可得，当或时，．
4.如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点，和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线于点Q，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】解：如图，连接，
∵把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点和原点，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴点坐标为，∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，∴点的坐标为，
由于抛物线向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，
∴．
故答案为：．

5.如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】解：（1）把代入中，
抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：


整理得：

∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，
∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得： ∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，
当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，
解得m=±，∴m=-，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，∴=3，∴m=，
综上所述，m的值为-或．

性质五:
1.如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点．
（1）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．

【答案】(1) ﹣4≤y＜0;(2) P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）
【解析】 解：（1）∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=-1 x2=3
∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5．
①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
2.已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】解：∵二次函数（为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x==m，
当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=；
当-1＜m＜2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,函数有最小值，
∴当x=m时，y取得最小值，即=-2，
解得m= 或m=-（不在范围内，舍去）；
当m＞2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范围内，舍去）
综上所述，m的值为或，
故选D．
3.某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数的图象和性质．
（1）如表是该函数与自变量的几组对应值：



0
1
2
3
4
6





3.5
3

3


其中，的值为 　　，的值为 　　；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：　　．

【答案】（1）3，3.5；（2）见解析；（3）图象关于直线对称．
【解析】解（1）当时，，即，
当时，，即
故答案为：3，3.5；
（2）图象如图所示：

（3）观察图象可知，图象关于直线对称，
故答案为：图象关于直线对称．