2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题含解析

2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交集运算求解.

【详解】因为集合，，

所以，

故选：C

2．复数所对应的点位于复平面的（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】找出复数所对应的点即可求解.

【详解】复数所对应的点的坐标为，

所以位于第一象限，

故选：A.

3．已知向量，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量的坐标运算，即可求解.

【详解】由向量，，可得.

故选：B.

4．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出3，5，7，11，13这5个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．

【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有钟可能，

其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，

所以概率.

故选：B.

5．已知，且为第四象限角，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：因为，，所以，因为为第四象限角，所以，所以

故选：D

6．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据常见幂函数的图像即可得出答案.

【详解】解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.

故选：C.

7．已知，，下列不等式中成立的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质判断.

【详解】A. 若，，则，故错误；

B.因为，所以，又因为，所以，故正确；

C.若，，则，故错误；

D.若，，则，故错误；

故选：B

8．已知，，则是的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.

【详解】由，可得出，

由，得不出，

所以是的充分而不必要条件，

故选：A.

9．现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为（   ）

A．34 B．67 C．340 D．670

【答案】D

【分析】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率即可.

【详解】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率为：，

所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.

故选：D

10．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案.

【详解】A选项，因为是偶函数，且在上递减，故A错误；

B选项，因为是奇函数，在R上是增函数，故B正确；

C选项，因为是非奇非偶函数，故C错误；

D选项，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故D错误.

故选：B.

11．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（   ）

A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度

D．向右平行移动个单位长度

【答案】D

【分析】由结合的取值范围可求得的值，利用三角函数图象变换可得出结论.

【详解】由图可知，，

所以，，故，，故，

所以，，

所以，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平移个单位长度.

故选：D.

12．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（   ）

A．三次都中靶 B．只有两次中靶

C．只有一次中靶 D．三次均未中靶

【答案】D

【分析】利用互斥事件的定义判断.

【详解】因为连续射击三次的结果有四种：三次都中靶，只有两次中靶，只有一次中靶，三次均未中靶，

而打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”是三次都中靶，只有两次中靶或只有一次中靶，

所以打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是三次均未中靶，

故选：D

13．已知两个单位向量，满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，利用向量的数量积的运算律即可得出答案.

【详解】解：.

故选：A.

14．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道 两端的两点，到某一点的距离，再测出的大小．现已测得约为2km，约为3km，且（如图所示），则，两点之间的距离约为（   ）

A．1.414km B．1.732km

C．2.646km D．3.162km

【答案】C

【分析】结合余弦定理计算即可.

【详解】在中，由余弦定理，得

，

所以，

故答案为：C

15．已知函数，则不等式的解集是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．

【详解】解：，

当时，，所以或；

当时，，所以，

所以不等式的解集是，，，

故选：A．

二、多选题

16．已知向量，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】求出与即可判断A，B，C正误，根据向量共线的坐标表示即可判断D的对错.

【详解】解：，，所以，

因为，所以.

故选：CD.

17．已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（   ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BC

【分析】利用线线、线面的平行关系，以及线线、线面的垂直关系，即可求解.

【详解】解：对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，

对于B, ，假设，，又，故，则，故B对,

对于C, 因为，，又，则，故C对,

对于D, 直线可以与平面平行，故D错.

故选：BC.

18．下列函数中最大值为1的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据基本初等函数的性质判断可得；

【详解】解：对于A：函数值域为，故A正确；

对于B：函数的值域为，故B正确；

对于C：函数的值域为，故C错误；

对于D：函数的值域为，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

19．已知两个非零向量，满足，则与的夹角为_______.

【答案】

【分析】根据向量的数量积即可求得与的夹角.

【详解】解：因为，

所以，即与的夹角为.

故答案为：.

20．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则球的体积为_______.

【答案】

【分析】根据图形可以得出球的半径；代入球的体积公式即可得到结论．

【详解】解：设球半径为，

根据题意可得：，

所以球的体积.

故答案为：.

四、双空题

21．某校足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，为了了解运动员的身体素质，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则应抽取的（1）男运动员人数为_______；（2）女运动员人数为_______.

【答案】       

【分析】先由已知计算出抽样比，进而可得答案．

【详解】解：足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则抽样比为，

故抽取的男运动员人数人，抽取的女运动员人数人，

故答案为：；

22．设，为正整数，若，则（1）的一个可能的值为_______；（2）与（1）中的值相对应的的值为_______.

【答案】3(或9)    4(或2)   

【分析】根据指数幂，即可求解.

【详解】因为，为正整数，又，当时，，当时，，

故答案为：3(或9)，4(或2)

五、解答题

23．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若的最小值为0，求常数的值．

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解；

（2）由（1）得到当时取得最小值，列出方程，即可求解.

【详解】（1）由函数，

所以函数的最小正周期为.

（2）由（1）知函数，

因为的最小值为0，可得当时，取得最小值，

即，解得.

24．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点．求证：

（1）平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接BD与AC交于点O，连接OE，易得，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）利用等体积法由求解.

【详解】（1）如图所示：

，

连接BD与AC交于点O，连接OE，

因为E，O为中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2），

，

.

25．关于函数有以下三个结论:

（1）是偶函数；

（2）在上是增函数；

（3）有两个零点．试分别判断这三个结论是否正确，并说明理由．

【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；理由解析.

【分析】（1）由函数的奇偶性定义判断；

（2）利用导数法判断；

（3）令求解判断.

【详解】（1）由，解得，

所以函数的定义域为，不关于原点对称，

所以不是偶函数；

（2）因为，在上成立，

所以在上是增函数，故正确；

（3）令，则或，解得，

所以有一个零点，故错误．