2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（六）含解析

2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（六）

一、单选题

1．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ）

A．圆柱 B．圆锥

C．圆台 D．棱锥

【答案】C

【解析】由几何体的三视图可得则该几何体为圆台，得解.

【详解】

解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，即选项A错误，

由俯视图可知，该几何体不可能是棱锥、圆锥，即选项B、D错误，

因此该几何体为圆台，即选项C正确，

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体的三视图，属基础题.

2．集合的所有子集的个数为（    ）

A．5个 B．6个

C．7个 D．8个

【答案】D

【解析】用列举法求出集合的子集即可得解.

【详解】

解：因为集合，则集合的子集为： 、、、、

、、共8个，

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合子集的概念，属基础题.

3．若，是第三象限的角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.

【详解】

是第三象限角，，且，

因此，，

故选B.

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.

4．如图所示的程序框图，其输出的结果是（    ）

A．1 B．

C． D．

【答案】C

【解析】分析程序框图的功能求解即可.

【详解】

解：由程序框图的功能可得：输出的结果是，

故选：C.

【点睛】

本题考查了程序框图，重点考查了识图能力，属基础题.

5．已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A．-2 B．-3

C．-4 D．-1

【答案】C

【解析】由，，若，则，代入求解即可.

【详解】

解：因为向量，，

所以，，

又，

则，解得：，

故选：C.

【点睛】

本题考查了向量加减法的坐标运算，重点考查了向量共线的坐标运算，属基础题.

6．要得到的图象需要将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移等个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【解析】由图像的平移变换，利用左加右减的法则判断即可得解.

【详解】

解：将函数的图象向右平移个单位可得到的图象，

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题.

7．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为(   )

A．40 B．48 C．50 D．80

【答案】C

【解析】先求出各年级学生数的比例，再根据比例确定高三年级应抽取的学生数．

【详解】

各年级学生数的比例为，则从高三抽取的人数应为：人

故选：．

【点睛】

本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数．属基本题．

8．函数f(x)=的零点所在的一个区间是

A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）

【答案】B

【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．

【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用．

点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．

9．已知，取值如下表：

从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．

【详解】

依题意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.

又直线y=0.95x+a必过中心点(),即点(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.

故选B.

【点睛】

本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键．

10．若，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．2 B．3

C．1 D．-1

【答案】A

【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可.

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，

由的几何意义为区域内的点与点的斜率，

由图可知直线的斜率最大，

联立 ，解得：，即，

则，

即的最大值为2，

故选：A.

【点睛】

本题考查了斜率的几何意义，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

二、填空题

11．设，为两个不共线的向量，若与共线，则______.

【答案】

【解析】由与共线，则，可得，再结合，为两个不共线的向量，可得，然后求解即可.

【详解】

解：因为与共线，

则，

所以，

即，

又，为两个不共线的向量，

所以，

即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量共线的运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题.

12．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．

【答案】(2，－2)

【解析】直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，一定经过x+y=0和-2x+y+6=0的交点，联立方程组即可求得定点坐标.

【详解】

直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，

由解得x＝2，y＝－2，

所以直线l恒过定点(2，－2)．

故答案为：(2，－2).

【点睛】

本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线 表示过和的交点的一组相交直线，但不包括这一条．

13．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，，则______.

【答案】

【解析】由余弦定理，代入运算即可得解.

【详解】

解：因为，，，

由余弦定理可得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了余弦定理，属基础题.

14．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点则该两点间的距离为的概率是___________．

【答案】

【解析】从这5个点中任取2个点共有10种取法；而该两点间的距离为的点只有四个顶点分别和中心的距离符合条件，即事件A有4种，于是两点间的距离为的概率为

【考点定位】本题主要考察随机事件的概率，分两步做即可

15．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　　．

【答案】

【解析】试题分析：球的直径为长方体的对角线，即,因此球的表面积为

【考点】球的表面积

三、解答题

16．已知函数.

（1）求的单调减区间.

（2）若是锐角，，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由三角函数单调区间的求法，令求解即可；

（2）由两角和的正弦公式及二倍角的余弦公式展开可得，再化简即可得解.

【详解】

解：（1）由函数，

令，，

得：，

所以的单调减区间为，.

（2）由，

即，

则，

，

因为是锐角，

所以.

所以，

故得.

【点睛】

本题考查了三角函数单调区间的求法，重点考查了两角和的正弦公式及二倍角的余弦公式，属基础题.

17．从高三抽出名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图.试利用频率分布直方图求：

（1）这名学生成绩的众数与中位数；

（2）这名学生的平均成绩.

【答案】（1）众数是75，中位数约为76．7；（2）平均成绩约为74．

【解析】试题分析：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．

试题解析：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为.

由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求.

∵.

∴前三个小矩形面积的和为，而第四个小矩形面积为，

∴中位数应位于第四个小矩形内.

设其底边为，高为，∴令得，故中位数约为.

（2）样本平均值应是频率粉绿分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可，

∴平均成绩为

【考点】众数、中位数、平均数

18．如图，已知是平行四边形所在平面外一点， 分别是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）若， ，求异面直线与所成的角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）取PD的中点H，连接AH，NH，

∵N是PC的中点，

∴NHDC.

∵M是AB的中点，且DCAB，

∴NHAM，即四边形AMNH为平行四边形．

∴MN∥AH.

又MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

（2）连接AC并取其中点O，连接OM、ON，

则OMBC，ONPA.

∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，

由MN＝BC＝4，PA＝，得OM＝2，ON＝.

∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，

即异面直线PA与MN成30°的角．

【考点】线面平行的判定，异面直线所成的角.

19．从含有两件正品，和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两次产品中恰有一件次品的概率.

【答案】

【解析】先求出从含有两件正品，和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次的不同取法个数，再求出取出的两次产品中恰有一件次品的取法个数，再结合古典概型概率的求法求解即可.

【详解】

解：每次取出一个， 取后不放回地连续取两次， 其一切可能的结果组成的基本事件有6个， 即，，，，，.

其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，

用表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，

则，

即事件由4个基本事件组成，

所以.

【点睛】

本题考查了古典概型概率的求法，属基础题.

20．已知数列的前n项和.求：

（I）求数列的通项公式；

（II）求数列的前n项和.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】（）当时，，当时，，即可求得数列的通项公式；

（）当时，，当时，，

利用裂项法，即可求解数列的前项和.

【详解】

（）当时，，

当时，，，

两式相减得，

经验证不满足上式．

故．

（）当时，，

当时，，

∴

．

经检验满足上式，故．

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解、及数列求和的“裂项法”，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.