2021-2022学年高二物理竞赛课件：晶格热容的量子理论

这是一份2021-2022学年高二物理竞赛课件：晶格热容的量子理论，共14页。PPT课件主要包含了晶格热容的量子理论，平均能量为，1高温时，２低温时，q+dq，纵波的数目为为，横波的数目为为，相加得总的频率分布为等内容，欢迎下载使用。

　固体中讨论的热容一般指定容热容Cv，在热力学中　　是固体的平均内能，包括平衡时的内能，即结合能，但它只是体积的函数，因此对Cv没有贡献；另外还包括晶格振动的能量和电子运动的能量。电子热容只有在温度很低的情况下才有必要考虑，本章只考虑晶格热容。　根据经典统计理论的能量均分定理，每一个自由度的平均能量为　　。　　　　为平均动能，　　　　为平均势能，若固体有N个原子，则总的平均能量为　　　　，　　　　　　是一个与温度和材料性质无关的常数（杜隆－珀替定律）。
　　在高温时定理与实验符合得很好，但在低温时，热容不再是常数，而是随着温度的下降Cv很快趋向于零，绝缘体按T3趋向于零，金属按T趋向于零。表明低温时能量均分定理不再适用，需要建立新的理论来解释实验结果。为此，爱因斯坦在普朗克量子假说的基础上提出了量子的热容理论。　　根据量子理论，简谐振子的能量是量子化的
随着温度的降低，Cv迅速减小，T 0 Cv 0
晶体中有3N个简谐振子
如果认为振子的频率为连续分布，则求和就变为积分
而振动的频率分布函数满足
　　可见用量子理论求热容，关键是要求出分布函数，对于具体的晶体计算是非常复杂的，一般讨论中，常采用爱因斯坦模型和德拜模型。一、爱因斯坦模型　　爱因斯坦模型对晶格振动采用了很简单的假设，假设晶格中原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有同一频率ω0，考虑到每个原子可以沿三个方向振动，共有3N个频率为ω0的振动。
通过选择适当的ω0，可以使理论值与实验值尽可能符合．与经典理论相比，爱因斯坦理论的改进是十分显著的，反映出Cv在低温时下降的基本趋势，但在低温时爱因斯坦理论值下降很陡，与实验值不符。
通常定义爱因斯坦温度ΘE，通过选择爱因斯坦温度使理论值与实验值符合，一般在100~300k
二、德拜模型　在晶格热容量理论的发展中，德拜提出的理论获得了很大的成功。爱因斯坦把晶格中各原子的振动看成是相互独立的，因而3N个振动频率是相同的，显然是一个过于简单的假设。固体中各原子间存在相互作用，前面讨论的一维单原子链、一维双原子链以及三维晶格的振动，都显示晶格振动的频率不是一个而是有很多个，三维晶格中有３N个振动频率。德拜理论考虑了频率的分布，但他不是从原子理论分析的，而是从宏观力学来考虑，把晶体当作弹性介质来处理，考虑的是各向同性的弹性介质，在这种情况下，对于一定的波数矢量q有一个纵波和两个独立的横波。
纵波和横波具有不同的波速
在q空间中，q的取值不是任意的，只能是满足周期性边界条件的一系列数值
q的不同取值代表q空间均匀分布的点子，每个点子占据q空间的体积为
允许的q值在q空间均匀分布的密度为
先考虑纵波，频率在ω到ω+dω内的纵波,波数为
在q空间占据着半径为q厚度为dq的球壳，体积为
积分必然是发散的，显然不符合实际情况(ω可以取0到∞的任意值，对应于无限长的波和无限短的波)。原因是连续介质可以认为包含无限的自由度。而实际晶体是由原子组成的，如果包含N个原子，自由度只有3N个，振动模也只有3N个。要用弹性力学的结果处理晶格振动问题，必须对ω有一定的限制。德拜假定大于ωm的短波实际上是不存在的，而对于ωm以下的振动都可以应用弹性波近似。 ωm则根据自由度确定