人教版九年级上册期末复习：第11讲 旋转图形的性质-解题技巧训练 （含解析）

第11讲  旋转图形的性质

【板块一】利用旋转图形的性质求角度

方法技巧

1．利用等腰求角度；

2．通过旋转“化散为聚”求角度．

题型一  利用旋转角求角度

【例1】如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△的位置，使得//AB，则∠的度数是（    ）

A．70° B．35° C．40° D．50°

答案：C

【解析】由//AB得∠＝∠CAB＝70°，又＝AC，故∠＝∠＝70°，可得∠＝40°；由∠＝∠CAB得∠＝∠＝40°，故选C．

题型二   利用旋转的位置关系求角度

【例2】如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△，点恰好落在边AB上，连接，则∠＝      ．

答案：【解析】＝AB，∠＝＝70°，∠＝90°－∠＝20°．

【例3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B，C，D在一条直线上，点C，F重合），将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n 的值为      ．

答案：

【解析】当//AB时，∠＝∠BAC＝45°，n＝45．

题型三   利用旋转构造全等求角度

【例4】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，，求∠BPQ的度数．

答案：

【解析】将△APD绕点A顺时针旋转90°，得△；结合边的隐含关系()＋()＝()，利用勾股定理逆定理可得到△是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°．

【例5】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．

答案：

【解析】将△CDM绕点M旋转180°得△FEM，则△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，证△AEF≌△ABC，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，

又MF＝MC＝AM，∴△ACF为等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，

又∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．

【点评】这一类题型具有的特点是：等线段、共端点以及特殊角．通过旋转“使相等的边重合，得出特殊图形”．

【例6】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．

答案：

【解析】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB，连接DP，

得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°，从而可证△ADP为等边三角形，

所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°，在△DPB中，

利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°，从而可得∠APB＝120°．

针对练习1

1．如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△．

（1）求点P与点之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

答案：

解：（1）连接，由题意可知＝AP，∠PAC＝∠，PC＝，

又∵∠PAC＋∠BAP＝60°，∴∠＝60°．∴△为等边三角形，∴＝AP＝＝6．

（2）∵＋BP＝，∴△为直角三角形，且∠＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°．

2．如图，点P为等边△ABC内一点，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求证：以AP，BP，CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．

答案：

解：将△APC绕点C逆时针旋转60°，得△BCP1，∴AP＝BP1，∠BP1C＝∠APC＝123°，

由CP＝CP1，∠PCP1＝60°得△PCP1为等边三角形，∴PP1＝CP，∠CPP1＝∠CP1P＝60°，

这时，△BPP1就是以BP，AP，CP为三边构成的三角形，∠BP1P＝∠BP1C－∠CP1P＝∠APC－60°＝63°，又∠BPC＝360°－113°－123°＝124°，

∴∠BPP1＝∠BPC－∠CPP1＝64°，∠PBP1＝180°－63°－64°＝53°．

3．如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．

答案：

解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得△，易证△为等腰直角三角形，∴＝，＝PC＝，在△中，AP＋＝，∴∠＝90°，∴∠APB＝45°．

【板块二】利用旋转图形的性质求线段长或面积

题型一   利用旋转图形性质求线段长

【例1】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，AE，DC交于点F，当F为CD的中点时，求AF的长．

答案：

【解析】过点D作DM⊥AE于点M，过点C作CN⊥AE于点N，DM＝AE＝4，

由△DMF≌△CNF得CN＝DM＝4，

在Rt△ANC中，AN＝＝，AM＝DM＝4，MN＝－4，MF＝MN＝－2，

故AF＝AM＋MF＝4＋－2＝＋2．

题型二   利用旋转图形性质求面积

【例2】如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，求四边形AB1OD的面积．

答案：

【解析】AC＝，AB1＝1，故B1C＝－1，在Rt△OB1C中，∠OCB1＝45°，

故OB1＝CB1＝－1，＝OB1·B1C＝，S△ADC＝DA·DC＝，

故S＝S△ADC－＝－＝＝－1．

【例3】在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转90°后得到线段DE，连接PE，点C关于直线PE的对称点是，连接，，，若四边形是平行四边形，PC＝2，则平行四边形的面积是            ．

答案：

【解析】过点P作PQ⊥CD于点Q，延长交AD于点G，设交DC于点H，则△PQD≌△DHE，∵PC＝2，∴PQ＝GD＝DH＝＝，

∵点与点C关于PE对称，∴＝PC＝QH＝2，∴CD＝AD＝2＋2，

∴＝AD·DH＝4＋2．

针对练习2

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，连接，且点A，，在同一条直线上，则的长为（    ）

A．6 B．4 C．3 D．3

答案：

解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝2，故AB＝4，AC＝＝2，＝AC，∠＝∠＝30°，故∠＝120°，过点C作CH⊥于点H，则HC＝AC＝，＝＝3，＝2＝6，故选A．

2．如图．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E为线段BC上的两点，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，则BD的长为         ．

答案：

解：将△ABC沿BA向上翻折至△BAF，连接AF，EF，FC，可得∠BAF＝∠BAC＝150°，∠FAC＝60°，△AFC为等边三角形，可证△ADC≌△AEF，∠AFE＝∠ACD，可得∠FEC＝∠FAC＝60°，

过点F作FH⊥BC于点H，EH＝EF＝8×＝4，HC＝1，FH＝4，设BD＝x，

则BF＝BC＝x＋8，在Rt△BFH中，BF2－BH2＝FH2

即(x＋8)2－(x＋7)2＝48，x＝，故BD＝．

3．如图，P为等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求S△ABC．

答案：

解：在AC右侧取点D，使∠DAP＝60°且DA＝PA，连接PD，则△APD为等边三角形，

可证△ABP≌△ACD（SAS），DC＝BP＝4，PD＝3，PC＝5，PC2＝PD2＋DC2，∠PDC＝90°，

过点A作AE⊥DC于点E，AE＝AD＝，DE＝，EC＝4＋，

AC2＝AE2＋EC2＝＋16＋＋12＝25＋12，

过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△AFC中，FC＝AC，AF＝＝AC，

S△ABC＝×BC×AF＝AC2＝＋9．

【板块三】旋转图形中线段关系的探究

方法技巧

利用旋转“化散为聚”解决线段关系．

题型一   旋转图形中线段数量关系的探究

【例1】如图，在等边△ABC内有一点O，试证明：OA＋OB＞OC．

答案：

【解析】把△AOC以点A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△的位置，则△AOC≌△，∴AO＝，OC＝，∠OAC＝∠，∴∠＝60°，∴△为等边三角形，∴AO＝，在△中，＋OB＞，即OA＋OB＞OC．

【例2】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转．

（1）求证：BD＝CE；

（2）如图2，若∠ADB＝90°，DE的延长线交BC于点F，交AB于点G．

①求证：点F是BC中点；

②若DA＝DB，BF＝，直接写出AG的长为           ．

答案：

【解析】（1）证△ABD≌△ACE即可；

（2）连EC，在DF上截取DN＝EF，连BN，由（1）知BD＝CE，可证∠BDN＝∠CEF＝30°，

∴△DNB≌△EFC，∴BN＝FC，∠DNB＝∠EFC，

∴∠BNF＝∠BFN，∴BN＝BF，∴BF＝FC，即F为BC的中点；

（3）AG＝－，由题知BC＝2BF＝，∴AB＝，∴DA＝DB＝2，

过G作GH⊥AD于H，∵∠GDH＝60°，∴设DH＝a，则GH＝AH＝a，AG＝a，

又AD＝a＋a，∴a＝－1，∴AG＝(－1)＝ －．

题型二 旋转图形中图形形状的确定

【例3】如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90后，得到△ABQ连接EQ

(1)求证:EA是∠QED的平分线;

(2)探求以EF，BE，DF为三边的三角形的形状

【解析】(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ

∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，由∠EAF＝45，得∠DAF＋∠BAE＝45°，故∠QAE＝45°.

故∠QAE＝∠FAE可证△AQE≌△AFE(SAS)

∴∠AEQ＝∠AEF ∴EA是∠QED的平分线

(2)由(1)得△AQE≌△AFE，QE＝EF.

又∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，故∠QBE＝90°

在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2

∴EF2＝BE2＋DF2，即以EF，BE，DF为三边的三角形是直角三角形

针对练习3

1.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.

(1)求证:△BDE≌△BCE;

(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由

解:(1)∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°

∵AB⊥BC，;∠ABC＝90.∴∠DBE＝∠CBE＝30，∴△BDE≌△BCE(SAS)

(2)四边形ABED为菱形，理由如下:由(1)得△BDE≌△BCE

∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC

∴BA＝BE，AD＝EC＝ED又BE＝EC，故AB＝BE＝ED＝AD，故四边形ABED为菱形

2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称;

(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE.已知∠DCB＝30°

①求证:△BCE是等边三角形;

②求证:DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.

解:(1)正方形、矩形、直角梯形(任写两个);

(2)①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形;

②∵∠ABC≌△DBE，∴AC＝DE.∵△BCE是等边三角形，BC＝CE，∠BCE＝60°

∵∠DCB＝30°，∴DCE＝90°

∴在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形

板块四 旋转图形中的多解问题

方法技巧 当运动的点或线的位置不确定时，要注意分类讨论

题型一 旋转图形中角度的多解问题

【例1】如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转角度m(0°＜m＜180°)后点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝80°或120°

【解析】m＝80°或120°注意分为点B落在斜边AB上或落在直角边AC上两种情况讨论

【例2】将一副三角板按如图所示的方式重叠在一起，若△ABC不动，将△DCE绕着C点顺时针旋转，旋转角为a(0°＜a＜180°)，旋转过程中，若两个三角形有一组边平行，

则a＝15°或60°或105°或135°

【解析】a＝15°或60°或105°或135°四种情况的图如下：

题型二 旋转图形中画图的多样性问题

【例3】如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(2，0)在图中画出点P，使△PAB为等边三角形，求出满足条件的点P的坐标

【解析】可作等边△ABP1和等边△ABP2，因P1A＝P1B，OA＝OB，故点O，点P均在AB的

垂直平分线y＝x上，过点P1作P1H⊥x轴于点H，因OB＝OA＝2，故AB＝.

设OP1交AB于点C，在Rt△P1CB中，BC＝＝OC，P1C＝＝＝，

OP1＝，在Rt△OP1H中，∠POH＝45°，故P1H＝OH＝，P1

同理可求P2，故点P的坐标为或

针对练习4

1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD.

若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD，DC，直接写出△BDC为等腰三角形时，m所有可能的取值30°，120°，210°，300°

2.如图，点A，B的坐标为(2，3)，(4，0)，将线段AB绕点P(m，n)旋转180°得到线段CD(点A的对应点为C，点B的对应点为D)，若点C，D都落在坐标轴上，则m＝2或1

解:由中心对称图形性质得C'D∥AB，有如图两种情况，当D1在y轴上，C在x轴上时，D(0，3)，

此时点P1为DB的中点，其坐标为(2，)，m＝2;

当D2在x轴负半轴时，D2(－2，0)，此时点P2为D2B中点P2(1，0)，m＝1，故m＝2或1