2023届河南省洛阳市一高强基联盟新高三摸底大联考数学（文科）试题含解析

这是一份2023届河南省洛阳市一高强基联盟新高三摸底大联考数学（文科）试题含解析

河南省洛阳市一高强基联盟2023届新高三摸底大联考 数学（文科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关指数，则线性相关程度最高的是（       ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．已知命题p：，使得，则为（       ） A．， B．， C．， D．， 3．若复数：（i是虚数单位），则（       ） A． B． C． D． 4．下面几种推理是类比推理的是（       ） A．由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大” B．三角形中大角对大边，若中，，则 C．由，，…，得到 D．一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除 5．在等差数列中，，则（       ） A． B． C． D． 6．“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．曲线在处的切线方程是（       ） A． B． C． D． 8．已知i为虚数单位，若是实数，则（       ） A．2 B．-2 C． D． 9．在平面直角坐标系中，已知直线，，若，则.类比可得在空间直角坐标系中，平面与平面垂直，则实数的值为（       ） A．-2 B． C． D．-5 10．已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 11．对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：，，，，…，根据上述规律，的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（       ） A．325 B．323 C．649 D．647 12．已知椭圆：和双曲线：有共同的焦点，，是它们在第一象限的交点，当时，与的离心率互为倒数，则双曲线的离心率是（       ） A． B． C．2 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若函数，则的值为________． 14．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是______． 15．在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为______． 16．关于x的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根异号；丁：该方程两根之和为4．若四个命题中只有一个假命题，则假命题是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答 17．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司280名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”．为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下： (1)请补充完列联表； (2)根据列联表判断是否有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？ 参考公式：，其中． 临界值表： 18．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，． (1)求的值； (2)求AD的长度． 19．已知函数在处取得极值4． (1)求a，b的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围． 20．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据： (1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） (2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额． 附：， ，． 参考数据：，，，． 21．已知抛物线C：的焦点为F，直线被抛物线C截得的弦长为5． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点A，B是抛物线C上异于原点O的不同动点，且直线OA和直线OB的斜率之和为，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，是否存在定点P，使得线段PH的长度为定值？若存在，求出点P的坐标及线段PH的长；若不存在，请说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C的普通方程； (2)已知点P的直角坐标为，过点P作C的切线，求切线的极坐标方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 甲乙丙丁0.870.910.580.83运动达人参与者合计男员工120160女员工40合计2800.150.100.050.012.0722.7063.8416.635123452.63.14.56.88.0参考答案： 1．B 【解析】 【分析】 利用相关指数的性质，通过比较四位同学的，即可得到线性相关程度最高的同学 【详解】 越接近于1，两个变量的线性相关程度越高． ，则线性相关程度最高的是乙 故选：B． 2．A 【解析】 【分析】 根据命题的否定即可求解. 【详解】 解：根据命题的否定可知，为，． 故选：A． 3．B 【解析】 【分析】 根据复数的乘法，可直接得出结果. 【详解】 故选：B 4．A 【解析】 【分析】 由类比推理、演绎推理、归纳推理的定义依次判断即可. 【详解】 对于A，由平面图形的性质推测出空间几何体的性质，为类比推理，A正确； 对于B，为演绎推理，B错误；对于C，为归纳推理，C错误；对于D，为演绎推理，D错误． 故选：A. 5．C 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式结合已知条件可求得的值. 【详解】 设等差数列的公差为， 则， 因此，. 故选：C. 6．B 【解析】 【分析】 根据必要不充分条件的定义及对数的定义即可判断. 【详解】 解：由，可得，所以时，所以必要性成立； 当时，在的情况下，不成立，所以充分性不成立． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 7．D 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程 【详解】 ，则， 当时，，， 所以切线方程为，即． 故选：D． 8．C 【解析】 【分析】 先对复数化简，然后由其为实数可求出，从而可求出 【详解】 ． 因为是实数，所以，解得， 所以． 故选：C 9．A 【解析】 【分析】 根据平面线线垂直性质类比空间面面垂直的性质进行求解即可. 【详解】 类比可得，若平面与平面垂直， 则， 所以由平面与平面垂直可得， 解得. 故选：A 10．B 【解析】 【分析】 由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得， 由于点P在第一象限，所以点P坐标为， 双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为． Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为． 故选：B． 11．C 【解析】 【分析】 直接由题目所给数据总结规律，按照规律即可求解. 【详解】 观察可知，等号右边的所有数中最大的数依次为1，5，11，19，满足， 由规律可知，的分解式中等号右边的所有数中最大的数为． 故选：C． 12．B 【解析】 【分析】 由椭圆的定义和双曲线的定义结合余弦定理得，化简后两边同除以，得，再由可求出 【详解】 设，的离心率分别为，，焦距为， 因为，， 所以，， 由余弦定理，得， 即， 化简，得，两边同除以，得. 又，所以. 又，所以. 故选：B 13． 【解析】 【分析】 由赋值法求解 【详解】 ，令得，得， 故答案为： 14． 【解析】 【分析】 作出不等式组的可行域,再令，得到，做出直线，向上平移到点，即可得出的最小值. 【详解】 作出满足约束条件，的可行域如图阴影部分所示： 令，得到，做出直线， 向上平移到点，即解得：， 所以有最小值为． 故答案为：. 15． 【解析】 【分析】 由题意得，根据等比数列的性质和基本不等式即得. 【详解】 由题意得，是等比数列，， 又，当且仅当时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 16．乙 【解析】 【分析】 因为四个命题中只有一个假命题，所以分别分析甲、乙、丙、丁其中一个是假命题的情况即可得出答案. 【详解】 若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则是方程的一个根，由于两根之和为4，则另一根为1，两根同号，与丙是真命题矛盾，不满足题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一个根，由于两根之和为4，则该方程的另一根为-1，两根异号，满足题意； 若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则方程的两根为3和5，两根之和为8，与丁是真命题矛盾，不满足题意； 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则方程的两根为3和5，两根同号，与丙是真命题矛盾，不满足题意． 综上所述，乙命题为假命题． 故答案为：乙. 17．(1)表格见解析 (2)没有90%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关 【解析】 【分析】 （1）根据题干所给数据完善列联表； （2）计算出卡方，即可判断； (1) 解：依题意可得列联表如下： (2) 解：由列联表可得， 所以没有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关． 18．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再根据二倍角公式求解即可得； （2）结合（1）得，进而在中，根据余弦定理得. (1) 解：在中，因为，，， 由余弦定理，可得， 所以． 又由正弦定理可得， 所以． 所以． (2) 解：由（1），因为为锐角，可得． 在中，根据余弦定理，可得 ， 所以． 19．(1)， (2) 【解析】 【分析】 （1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值； （2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围． (1) ，则． 因为函数在处取得极值4， 所以，解得 此时． 易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则是函数的极大值点，符合题意．故，． (2) 若存在，使成立，则． 由（1）得，， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是． 20．(1)，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合． (2)，万元． 【解析】 【分析】 （1）先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较，进而得到结果； （2）先利用公式求得，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当时的利润额． (1) 由题表，， 因为，，， 所以． 故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合． (2) ，， 所以．当时，． 预测该专营店在时的利润为万元． 21．(1) (2)存在，， 【解析】 【分析】 （1）设直线与抛物线交于，两点，两方程联立，得 利用韦达定理代入，可得答案； （2）设直线AB的方程为，，，直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入可得，从而得到 直线AB恒过定点，利用得点H在以线段DF为直径的圆上，取DF的中点P，得，可得存在定点P，求得线段PH的长度． (1) 设直线与抛物线C：交于，两点． 联立，得， 因为，所以恒成立， ，， 所以， 解得（舍去）． 所以抛物线C的方程为． (2) 由题意分析可知，直线AB的斜率不为0， 不妨设直线AB的方程为，，， 联立得， ，即， ，， ， 所以，所以直线AB的方程为，即， 所以直线AB恒过定点， 因为，，即， 所以点H在以线段DF为直径的圆上， 取DF的中点P，则， ， 所以存在定点P，使得线段PH的长度为定值，点P的坐标为， 线段PH的长度为． 22．(1) (2)或 【解析】 【分析】 （1）直接根据圆的参数方程求解即可得答案； （2）由题设切线方程为，进而结合直线与圆的位置关系得，再将切线的直角方程化为极坐标方程即可得答案. (1) 解：曲线C的参数方程为（为参数）， 所以C的普通方程是． (2) 解：由题意，切线的斜率一定存在， 设切线方程为，即， 所以，解得． 所以切线方程是或， 将，代入， 化简得或． 所以切线的极坐标方程为或 23．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可； （2）由绝对值三角不等式得恒成立，进而分和两种情况求解即可. (1) 解：若，． 当时，，解得，所以； 当时，，无解； 当时，，解得，所以． 综上，不等式的解集是． (2) 解：因为，当且仅当时等号成立， 若，不等式恒成立，只需． 当时，，解得； 当时，，此时满足条件的a不存在． 综上，实数a的取值范围是． 运动达人参与者合计男员工12040160女员工8040120合计20080280