高中数学1.5 全称量词与存在量词精品教案及反思

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．

教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．

教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断．

教学过程

基础知识

知识点一 全称量词命题的否定

(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．

(2)对于全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定为∃x∈M，¬p(x)．

思考1：用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？

提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．

知识点二 存在量词命题的否定

(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．

(2)对于存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定为∀x∈M，¬p(x)．

思考2：一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定相同吗？

提示：(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．

(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词并按要求改变量词．

基础自测

1．写出下列命题的否定：

(1)∀n∈Z，n∈Q；

(2)任意奇数的平方还是奇数；

(3)每个平行四边形都是中心对称图形．

[解析]　(1)∃n∈Z，n∉Q；

(2)存在一个奇数的平方不是奇数；

(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形．

2．写出下列命题的否定：

(1)有些三角形是直角三角形；

(2)有些梯形是等腰梯形；

(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数．

[解析]　(1)任意三角形都不是直角三角形；

(2)所有的梯形都不是等腰梯形；

(3)任意一个实数，它的绝对值都是正数．

题型探究

题型一 全称量词命题的否定　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1写出下列全称量词命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

[分析]　把全称量词改为存在量词，然后否定结论．

[解]　(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．

(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)存在被5整除的整数，末位不是0.

[归纳提升]　1.全称量词命题的否定的两个关注点

(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．

(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．

2．常见词语的否定

【对点练习】❶ 写出下列全称量词的否定：

(1)∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；

(2)任何一个实数除以1，仍等于这个数；

(3)所有分数都是有理数；

(4)任意两个等边三角形都相似．

[解析]　(1)该命题的否定：∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.

(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数．

(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．

(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．

题型二 存在量词命题的否定　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．

(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；

(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；

(3)r：有些分数不是有理数．

[分析]　把存在量词改为全称量词，然后否定结论．

[解]　(1)任意x∈R,2x＋1<0，为假命题．

(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.

因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以是真命题．

[归纳提升]　1.存在量词命题否定的方法及关注点

(1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．

(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．

2．对省略量词的命题的否定

对于一个含有量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，可以直接写出其否定，而对省略量词的命题在写命题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称量词命题还是存在量词命题，先写成全称量词命题或存在量词命题的形式，再对其进行否定．

【对点练习】❷ 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)某些梯形的对角线互相平分；

(2)∃x∈{x|x是无理数}，是无理数；

(3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等；

(4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．

[解析]　(1)假命题．任意一个梯形的对角线都不互相平分．

(2)真命题．∀x∈{x|x是无理数}，是有理数．

(3)真命题．在同圆中，同弧所对的圆周角不相等．

(4)真命题．任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．

误区警示

写命题的否定时忽略隐含的量词

例3写出下列命题的否定：

(1)可以被5整除的数，末位是5；

(2)能被3整除的数，也能被4整除．

[错解]　(1)可以被5整除的数，末位不是5；(2)能被3整除的数，不能被4整除．

[错因分析]　对于(1)，原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定不正确，(2)的错误与(1)相仿．实际上，(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题，因此写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不改变量词．

[正解]　(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是5.

(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．

[方法点拨]　由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，¬p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．