人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)评课课件ppt
展开第四章 指数函数与对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
课标要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具.2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.
素养要求
通过本节内容的学习,使学生体会常见函数的变化异同,提升学生数学抽象、数学建模等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、一次函数与指数函数增长的差异1.问题 在同一直角坐标系中画出函数y=2x,y=2x的图象,观察图象思考下列问题: (1)这两个函数在区间(0,+∞)内的单调性是怎样的? 提示 都是单调递增函数. (2)当x趋于无穷大时,在这两个函数中,哪一个函数的增长速度快?哪一个慢? 提示 函数y=2x增长速度快,y=2x增长速度慢.
2.填空 一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长速度不同,即使k的值远大于a的值,y=ax(a>1)的增长速度最终会大大______y=kx(k>0)的增长速度.
超过
二、一次函数与对数函数增长的差异1.问题 在同一直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x的图象,观察图象思考下列问题: (1)这两个函数在区间(0,+∞)内的单调性是怎样的? 提示 均是单调递增函数. (2)当x趋于无穷大时,在这两个函数中,哪一个函数的增长速度快?哪一个慢? 提示 函数y=2x增长速度快 ,y=log2x增长速度慢.
2.填空 一般地,虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)内都单调递增,但它们的增长速度______.随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=logax(a>1)的增长速度__________.不论a的值比k的值大多少,在一定范围内,logax可能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,恒有__________________.
不同
越来越慢
logax
C
D
(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )A.一次函数 B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数解析 对数函数的增长速度是先快后慢,故D符合题意.
√
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
√
×
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1(1)下列函数中,增长速度最快的是( ) A.y=2 022x B.y=x2 022 C.y=log2 022x D.y=2 022x 解析 比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快.
A
题型一 几类函数模型的增长差异
(2)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:
C
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2解析 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较,指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数.
常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大 ,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,增长速度平缓.
训练1 (多选)下列函数中,在(0,+∞)内增长速度越来越快的是( ) A.y=6x B.y=log6x C.y=x2 D.y=6x 解析 D中一次函数的增长速度不变;A,C中函数的增长速度越来越快;B中对数函数的增长速度越来越慢,不符合题意.
AC
例2 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;解 (1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 022),g(2 022)的大小.解 因为f(1)>g(1),f(2)
迁移 在例2中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)问呢? 解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
训练2 已知函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数; (2)比较这两个函数的增长差异(以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).解 (1)由题图知,C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);当x∈(x1,x2)时,g(x)
题型三 函数模型的选择
例3 在2022年年初公告:公司计划2022年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:
如果我们分别将2019,2020,2021,2022定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?
解 建立年产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1万辆.
(2)构造指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
由(1)(2)可得,二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
1.不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.2.建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能.因此需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
训练3 某学校为了实现100万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y随生源利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求? 解 作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略). 观察图象可知,在区间[5,100]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.
课堂小结
1.三种常见函数模型的增长差异
2.几种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型. (3)当要求增长速度比较均匀,常常选用一次函数模型.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A
解析 指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且a值越大,增长速度越快,应选A.
2.在某试验中,测得变量x和变量y之间的对应数据如下表:
D
则下列函数中,最能反映变量x和y之间的变化关系的是( )A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2x解析 将x=0.50,y=-1.01代入计算,可以排除A;将x=2.01,y=0.98代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意,ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),∴y=f(x)的图象大致为D中图象.
A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
C
解析 在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示,
由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.
5.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2
B
6.函数y=x2与函数y=ln x在区间(0,+∞)上增长较快的是________. 解析 作出y=x2与y=ln x的图象,通过比较图象可得.
y=x2
7.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案.甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,则投资500元,1 000元,1 500元时,应选择的方案分别是________________. 解析 将投资数分别代入甲、乙、丙的解析式,计算比较y值的大小可求得结果.
乙,甲,丙
8.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.
②③
以下四种说法:①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是________.解析 由图可知,前三年产量增长的速度越来越慢,故①错误,②正确;第三年后这种产品的总产量保持不变,即第三年后停产,故④错误,③正确.
9.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好?解 方案一:5年后树木面积为10+1×5=15(万平方米).方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米),因为15.386>15,所以方案二较好.
10.某公司对营销人员有如下规定: ①年销售额x(万元)在8万元以下,没有奖金;②年销售额x(万元)在[8,64]内时,奖金为y(万元),且y=logax,y∈[3,6],a>0且a≠1,且年销售额越大,奖金越多;③年销售额x(万元)超过64万元,按年销售额的10%发奖金.(1)求y关于x的函数解析式;解 由题意知y=logax是增函数,∴a>1,又当x∈[8,64],y∈[3,6],
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元),求年销售额x所在的范围.
解得16≤x≤100,∴年奖金y∈[4,10]时,年销售额x的取值范围为[16,100].
B
解析 在选项B中,y=lg x+1在区间[4,10]上是单调递增函数,当x=10时,ymax=2.
12.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意是________. ①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y=30+lg(x-1);④y=50. 解析 由于指数型函数的底数大于1,其增长速度随着时间的推移是越来越快,所以y=10×1.05x是更为有前途的生意.
①
13.我国的烟花名目繁多,花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂,通过研究,发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)存在函数关系,并得到相关数据如下表:
(1)根据上表数据,从下列函数中,选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系:y1=kt+b,y2=at2+bt+c,y3=abt,确定此函数解析式,并简单说明理由;
解 由表中数据分析可知,烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势,则在给定的三类函数中,只有y2可能满足,故选取该函数.设h(t)=y2=at2+bt+c,
∴h(t)=-4t2+20t+1(t≥0).
(2)利用你选取的函数,判断烟花爆裂的最佳时刻,并求出此时烟花距地面的高度.
∴当烟花冲出后2.5秒时是爆裂的最佳时刻,此时烟花距地面的高度为26米.
14.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论:①当x>1时,甲走在最前面;②当x>1时,乙走在最前面;③当0
③④⑤
解析 四个函数的大致图象如图所示,根据图象易知,③④⑤正确.
数学人教A版 (2019)4.4 对数函数图文ppt课件: 这是一份数学人教A版 (2019)<a href="/sx/tb_c4000276_t3/?tag_id=26" target="_blank">4.4 对数函数图文ppt课件</a>,共15页。PPT课件主要包含了y轴平行,x轴平行,越来越快,越来越慢等内容,欢迎下载使用。
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