阶段测评(三) 直线的方程（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段测评(三)　直线的方程

[对应学生用书P110]

(时间：60分钟　满分：75分)

一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知A(3，2)，B(－2，3)，C(4，5)，则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为(　　)

A．x＋y＋1＝0　　　　　 B．x＋y－1＝0

C．x＋y－5＝0     D．x－y－5＝0

C　[设BC的中点为D，由B(－2，3)，C(4，5)，知D的坐标为(1，4)，又A(3，2)，则kAD＝－1，所以△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为y－2＝－(x－3)，即x＋y－5＝0.]

2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．2　　　B．6　　　C．3　　　D．2

A　[由题意知点P关于直线AB的对称点D(4，2)，关于y轴的对称点C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2.]

3．已知l1：2x＋m2y＋2m＝0与l2：y＝－3x＋，若两直线平行，则实数m的值为(　　)

A．     B．

C．或－     D．或－

B　[直线l2：y＝－3x＋可化为3x＋y－＝0.

由直线l1：2x＋m2y＋2m＝0与l2平行，

得3m2－2×1＝0，解得m＝±.

当m＝时，l1的方程为3x＋y＋＝0，两直线平行；

当m＝－时，l1的方程为3x＋y－＝0，两直线重合．

综上知，m的值为.]

4．“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分又不必要条件

A　[当a＝－1时，直线ax＋(2a－1)y＋1＝0的斜率是－，直线3x＋ay＋3＝0的斜率是3，－×3＝－1，所以两直线垂直．当a＝0时，直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直．所以“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.]

二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)

5．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

ABD　[由题意知A·B·C≠0，直线方程变为y＝－x－.

∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，∴其斜率k＝－<0.

又y轴上的截距b＝－>0，∴直线过第一、二、四象限．]

6．(2020·山东夏津第一中学高二月考)已知直线l的一个方向向量为u＝(－，)，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　)

A.l的倾斜角等于150°

B．l在x轴上的截距等于

C．l与直线x－3y＋2＝0垂直

D．l上存在与原点距离等于1的点

CD　[因为直线l的一个方向向量为u＝，

所以直线l的斜率为k＝＝－，

设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－，所以α＝120°，所以A错误；

因为l经过点，所以直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，令y＝0，则x＝－＋1，

所以l在x轴上的截距为－＋1，所以B错误；

因为直线x－3y＋2＝0的斜率为，直线l的斜率为－，

所以－×＝－1，所以l与直线x－3y＋2＝0垂直，所以C正确；

因为原点到直线l的距离为d＝＝<1，

所以l上存在与原点距离等于1的点，所以D正确．故选C、D.]

三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中的横线上．)

7．(多空题)已知直线l1：ax－y－1＝0，直线l2：x＋y－3＝0.若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为______．

1　2　[直线l1：ax－y－1＝0，即y＝ax－1，其斜率k＝a，

若直线l1的倾斜角为，则其斜率k＝tan ＝1，则有a＝1.

若l1∥l2，则有a×1＝(－1)×1，解得a＝－1，

此时l1的方程为－x－y－1＝0，即x＋y＋1＝0，

则l1，l2之间的距离d＝＝2.]

8．已知m∈R，动直线l1：x＋my－1＝0过定点A，动直线l2：mx－y－2m＋3＝0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A，B)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．

2　[对于直线x＋my－1＝0，令y＝0，可得x＝1，故它过定点A(1，0)，且它的斜率为－.

对于动直线l2：mx－y－2m＋3＝0，即 m(x－2)－y＋3＝0，令x－2＝0，得x＝2，y＝3，故它过定点B(2，3)，且它的斜率为m，因此 l1与l2垂直．

∵l1与l2交于点P(异于点A，B)，

∴PA2＋PB2＝AB2＝10.

∵()2≤＝5，∴≤ ，

∴PA＋PB≤2，

当且仅当PA＝PB＝时，|PA|＋|PB|的最大值为2.]

四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

9．(10分)(1)直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直，求m的取值；

(2)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，求2a＋3b的最小值．

解　(1)由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，

∴m＝3或m＝－2.

(2)由两直线平行可得a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，

＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时等号成立，故2a＋3b的最小值为25.

10．(12分)(1)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0

之间的距离为，求c的值；

(2)求点P(2，1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离．

解　(1)依题意知，＝≠，

解得a＝－4，c≠－2，

即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.

又两平行线之间的距离为，

所以＝，解得c＝2或－6.

(2)直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．

由图知，当PQ⊥l时，点P(2，1)到直线l的距离取得最大值，|PQ|＝＝2，

所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.

11．(13分)已知光线从点A(－5，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－2，6)，求BC所在的直线方程．

解　作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－5)，D′(2，6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即11x－4y＋2＝0.