高考数学二轮复习第1部分方法篇素养形成文理第1讲选择题填空题的解题方法和技巧学案含解析

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数学思想和方法贯穿于整个高中数学，而数学方法的引领是学好数学的关键．学会一些数学方法，将会使你站在一个崭新的高度去审视问题，只有熟练地掌握数学的解题方法和技巧，才能使你在解决数学问题时左右逢源，游刃有余．
数学解题思维策略有两条线：一条是明线，即高中数学知识的应用；一条是暗线，即数学思想方法的应用．数学思想蕴含于数学知识中，数学知识是数学思想的载体，通过对知识的研究，挖掘背后的思想方法．
第1讲 选择题、填空题的解题方法和技巧
JIE TI CE LUE MING FANG XIANG
解题策略·明方向
选择题、填空题的结构特点决定了解答选择题、填空题的方法，除常规方法外，还有一些特殊的方法，解答选择题、填空题的基本原则是：“小题不大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项联合考虑，或从选项出发探求是否满足题干条件，由此得到做选择题的几种常用方法：直接法、排除法、构造法、特例法、代入验证法、数形结合法等．填空题虽然没有选项提供参考，但依然可以根据其特点，考虑直接法、构造法、特例法等．
FANG FA FEN LEI XI ZHONG DIAN
方法分类·析重点
考点一 直接法
典例1 (1)(2020·山西运城月考)已知角α的终边经过点P(sin 18°，cs 18°)，则sin(α－12°)＝( B )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(\r(1),2) D．－eq \f(\r(3),2)
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，a6＝11，则S20＝__400__.
【解析】 (1)由题意，角α的终边经过点P(sin 18°，cs 18°)，根据三角函数的定义，有sin α＝eq \f(y,r)＝cs 18°，cs α＝eq \f(x,r)＝sin 18°，又由sin(α－12°)＝sin αcs 12°－cs α·sin 12°＝cs 18°cs 12°－sin 18°sin 12°＝cs(18°＋12°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).故选B．
(2)∵{an}为等差数列，a2＝3，a6＝11，
∴公差d＝eq \f(a6－a2,6－2)＝eq \f(11－3,4)＝2，
首项a1＝a2－d＝3－2＝1，
∴S20＝20a1＋eq \f(20×19,2)d＝20＋380＝400．
eq \x(方)eq \x(法)eq \x(感)eq \x(悟)
直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化，从而得到结果，这是快速准确求解客观题的关键．
eq \x(跟)eq \x(踪)eq \x(训)eq \x(练)
1．(2020·唐山市摸底考试)设z＝eq \f(i1－2i,2－i)，则|z|＝( D )
A．eq \r(5) B．2
C．eq \f(\r(41),5) D．1
【解析】 法一：∵z＝eq \f(i1－2i,2－i)＝eq \f(2＋i,2－i)＝eq \f(2＋i2,5)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，∴|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝1，故选D．
法二：|z|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(i1－2i,2－i)))＝eq \f(|i1－2i|,|2－i|)＝eq \f(|i||1－2i|,\r(5))＝eq \f(\r(5),\r(5))＝1，故选D．
2．(2019·泸州一诊)已知函数f(x)＝lg2(2x－a)，若f(2)＝0，则a＝__3__.
【解析】 因为f(x)＝lg2(2x－a)，所以f(2)＝lg2(4－a)＝0,4－a＝1，a＝3．
考点二 特殊值法
典例2 已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，若过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝ma，eq \(AQ,\s\up6(→))＝nb，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝( A )
A．3 B．4
C．5 D．eq \f(1,3)
【解析】 由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．
法一：如图1，PQ∥BC，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，此时m＝n＝eq \f(2,3)，故eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3，故选A．
法二：如图2，取直线BE作为直线PQ.显然．此时eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，故m＝1，n＝eq \f(1,2)，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3．
eq \x(方)eq \x(法)eq \x(感)eq \x(悟)
1．特值、特例法是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”．这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
2．当填空题已知条件中含有某些不确定的量．但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
eq \x(跟)eq \x(踪)eq \x(训)eq \x(练)
3．(2020·湖北四校联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l0，过焦点F且倾斜角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ≠\f(π,2)))的直线l与抛物线交于A，B两点，则eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝__eq \f(1,2)__.
【解析】 令θ＝60°，A在第一象限，则易知|AF|＝8，|BF|＝eq \f(8,3)，∴eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(1,8)＋eq \f(3,8)＝eq \f(1,2).
考点三 排除法
典例3 (1)(2019·全国单元测试)已知实数a，b，c( D )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则as2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
(2)(2020·怀化一模)关于函数f(x)＝|x－1|－ln x，下列说法正确的是( B )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))上单调递增
B．f(x)有极小值0，无极大值
C．f(x)的值域为(－1，＋∞)
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
【解析】 (1)令a＝b＝10，c＝－110，可排除A；令a＝10，b＝－100，c＝0，可排除B；令a＝100，b＝－100，c＝0，可排除C；故选D．
(2)f(x)＝|x－1|－ln x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1－ln x，x≥1,1－x－ln x，0f′(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,x)，x≥1,－\f(x＋1,x)，0∴当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0f′(x)<0，f(x)单调递减
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故A错误；
f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
则x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝0，无极大值，故B正确．
∵f(x)≥f(1)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)，故C错误．
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))－ln eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＋ln 2，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－1))－ln eq \f(3,2)＝eq \f(1,2)＋ln eq \f(2,3)≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，故D错误．
eq \x(方)eq \x(法)eq \x(感)eq \x(悟)
使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用筒捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．
eq \x(跟)eq \x(踪)eq \x(训)eq \x(练)
4．(2020·九江一模)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点对称，则函数f(x)的解析式可能是( C )
A．f(x)＝x2ln |x| B．f(x)＝xln x
C．f(x)＝eq \f(ln |x|,x) D．f(x)＝eq \f(e|x|,x)
【解析】 由图象知，函数f(x)是奇函数，排除A，B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝eq \f(e|x|,x)显然恒大于0，与图象不符，排除D．
考点四 数形结合法
典例4 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( B )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))【解析】 当x≥1时，f(x)＝3x－1，f(x)的图象关于直线x＝1对称，则图象如图所示．这个图象是个示意图，事实上，就算画出f(x)＝|x－1|的图象代替它也可以，由图知，符合要求的选项是B．
eq \x(方)eq \x(法)eq \x(感)eq \x(悟)
1．数形结合法的实质就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，实现代数问题与图形之间的转化．
2．画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略．
eq \x(跟)eq \x(踪)eq \x(训)eq \x(练)
5．(2020·静安一模)若定义在实数集R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当0≤x≤1时，f(x)＝xeq \f(1,3)，则方程f(x)＝eq \f(1,3)在区间(－4,10)内的所有实根之和为__24__.
【解析】 结合题意，大致可以绘出f(x)的图象，如图所示：
由图可知，一共有8个点，且这8个点关于x＝3对称，
故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝24．
考点五 构造法
典例5 (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( D )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[2，eq \f(5,2)) D．[2，eq \f(10,3))
(2)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq \r(2)，则球O的体积等于__eq \r(6)π__.
【解析】 (1)由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))，∴实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝eq \r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，所以R＝eq \f(\r(6),2)，故球O的体积V＝eq \f(4πR3,3)＝eq \r(6)π.
eq \x(方)eq \x(法)eq \x(感)eq \x(悟)
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．(2)题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．
eq \x(跟)eq \x(踪)eq \x(训)eq \x(练)
6．(2020·汉中12校高三模拟)已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，若a＝f(1)，b＝eq \f(1,e)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))，c＝－ef(－e)，则a，b，c的大小关系是( D )
A．aC．a【解析】 令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)为(0，＋∞)上的递增函数，又g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，因为e>1>eq \f(1,e)，所以g(e)>g(1)>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))，所以ef(e)>f(1)>eq \f(1,e)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))，又g(x)为偶函数，所以－ef(－e)＝ef(e)，所以b考点六 巧用定义法
典例6 (2020·成都七中一诊)设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且eq \(FN,\s\up6(→))＝λeq \(FM,\s\up6(→))(λ>0)，若|MF|＝4，则λ的值为( D )
A．eq \f(3,2) B．2
C．eq \f(5,2) D．3
【解析】 过M向准线l作垂线，垂足为M′，
根据已知条件，结合抛物线的定义得eq \f(|MM′|,|FF′|)＝eq \f(|MN|,|NF|)＝eq \f(λ－1,λ)，
又|MF|＝4，所以|MM′|＝4，
又|FF′|＝6，所以eq \f(|MM′|,|FF′|)＝eq \f(4,6)＝eq \f(λ－1,λ)，所以λ＝3．
eq \x(方)eq \x(法)eq \x(感)eq \x(悟)
定义是知识的基础，因此回归定义是解决问题的一种基本策略．
eq \x(跟)eq \x(踪)eq \x(训)eq \x(练)
7．(2020·西安一模)椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是__eq \f(8\r(5),5)__.
【解析】 设椭圆右焦点为F′，则|MF′|＋|NF′|≥|MN|，
当M，N，F′三点共线时，等号成立，
所以△FMN的周长|MF|＋|NF|＋|MN|≤|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|＝4a＝4eq \r(5)，此时|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(8\r(5),5)，所以此时△FMN的面积为S＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(5),5)×2＝eq \f(8\r(5),5).
考点七 估算法
典例7 (2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是eq \f(\r(5)－1,2)(eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是eq \f(\r(5)－1,2).若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( B )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【解析】 不妨设此人咽喉至肚脐的长度为x cm，则eq \f(26,x)≈0.618，得x≈42，故某人身高大约为26＋42＋105＝173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B．
eq \x(方)eq \x(法)eq \x(感)eq \x(悟)
估算法的应用技巧
估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或取值情况进行估算出大致取值范围从而解决相应问题的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，常采用估算法．
eq \x(跟)eq \x(踪)eq \x(训)eq \x(练)
8．已知球O的直径FC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝eq \r(3)，∠AFC＝∠BFC＝30°，则三棱锥F－ABC的体积为( C )
A．3eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．eq \r(3) D．1
【解析】 法一：(一般法)根据题意画出图形如图所示，因为FC为球的直径，所以∠FAC＝∠FBC＝90°.
又∠AFC＝∠BFC＝30°，所以AC＝BC＝2，FA＝FB＝2eq \r(3)，设D为AB的中点，连接FD，则FD⊥AB，由FD2＝FA2－AD2得FD＝eq \f(3\r(5),2)，所以S△FAB＝eq \f(1,2)AB·FD＝eq \f(3\r(15),4).连接球心O与底面三角形FAB的外接圆圆心O1，可知OO1⊥底面FAB，则三棱锥C－FAB的高h与OO1平行，又O为FC的中点，易知h＝2OO1，在△FAB中sin∠FAB＝eq \f(FD,FA)＝eq \f(\f(3,2)\r(5),2\r(3))＝eq \f(\r(15),4)，由正弦定理.2r＝eq \f(FB,sin∠FAB)⇒r＝eq \f(4\r(5),5)，∴OO1＝eq \r(22－\f(16,5))＝eq \f(2\r(5),5)，所以三棱锥C－FAB的高h＝2OO1＝eq \f(4\r(5),5)，所以V三棱锥F－ABC＝V三棱锥C－FAB＝eq \f(1,3)S△FAB·h＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(15),4)×eq \f(4\r(5),5)＝eq \r(3).故选C．
法二：(估算法)观察此题选项，发现大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出三棱锥F－ABC的体积的近似值，然后直接选取与近似值最接近的选项．计算完S△FAB＝eq \f(1,2)AB·FD＝eq \f(3\r(15),4)后，我们将三棱锥C－FAB的高h近似认为是AC，则V三棱锥F－ABC＝V三棱锥C－FAB≈eq \f(1,3)S△FAB·AC＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(15),4)×2＝eq \f(\r(15),2)，再与选项比较，可以发现与选项C接近，所以直接选C．
方法诠释
直接法是从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则或公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确结论的做题方法
适用范围
对于计算型试题，多通过计算求结果
方法诠释
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断，特殊值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等
适用范围
适用于题目中含有字母或具有一般性结论的小题
方法诠释
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论
适用范围
这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较繁杂的情况
方法诠释
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，利用函数图象或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观性，再辅以简单计算，从而确定正确答案
适用范围
适用于求解问题中含有几何意义的命题
方法诠释
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法
适用范围
适用于求解问题中常规方法不能解决的问题
方法诠释
定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．用定义法解题是最直接的方法
适用范围
涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题
方法诠释
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量
适用范围
难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用估值法确定选项