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人教版八年级数学上册：第十一章 三角形 复习课件(共29张PPT)
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这是一份人教版八年级数学上册：第十一章 三角形 复习课件(共29张PPT)，共28页。PPT课件主要包含了三角形，与三角形有关的线段，角平分线，与三角形有关的角，内角与外角关系，三角形的分类，多边形，多边形的内外角和，外角和360°，对角线等内容，欢迎下载使用。
三角形内角和：180°
三角形外角和：360°
三角形的边：三边关系定理
中线：把三角形面积平分
内角和：（n-2) ×180 °
多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线
腰和底不等的等腰三角形
1. 三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
3. 三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.
4. 三角形的内角和与外角
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和；(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一 个内角.
5. 多边形及其内角和
n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.
n边形的外角和等于360°.
正多边形的每个内角的度数是
正多边形的每个外角的度数是
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 8-3
1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是 .
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另 两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.综上所述，另两边长为5,5或6,4.
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A.16 B.20或16 C.20 D.12
等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形.
2.若(a-1)2+|b-2|=0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 .
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD，∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x，当x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12，∴S△BCE= S△ABC= ×24=12，∵点F是CE的中点，∴S△BEF= S△BCE= ×12=6．
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_____=∠____= ∠_____，②AE是△ABC的中线，则_____=_____= _____，③AF是△ABC的高线，则∠_____=∠_____=90°．
例5 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①，又∠A－∠B＝16°②，由①②解得∠A＝71°，∠B＝55°；
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ， 则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°， ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°.
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解.
例6 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
5.在△ABC中,三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= .
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 .
7.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是 .
解：设此多边形的外角的度数为x，则内角的度数为4x，则x+4x=180°，解得 x=36°.∴边数n=360°÷36°=10.
在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．
解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，∴∠EDC=∠FAB=120°.∵∠1=∠2=60°，∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，∵∠C=120°，∠2=60°，∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，（n-2）=6-1，解得n=7．∴这个多边形的边数是7．
例9 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x °，则∠ABC=x°，因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°，所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75，所以∠C=75 °.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC， ∠1=∠2，∠3= ∠C，求∠1的度数.
解：设∠ 1=x，根据题意得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2，∠4= ∠2，所以∠3=2x，∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180 °，解得x=36°，所以∠1=36 °.
例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是 ．
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五边形的内角和问题.
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540 °.
三角形内角和：180°
三角形外角和：360°
三角形的边：三边关系定理
中线：把三角形面积平分
内角和：（n-2) ×180 °
多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线
腰和底不等的等腰三角形
1. 三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
3. 三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图.中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图.角平分线：三条角平分线相交于一点，如图.
4. 三角形的内角和与外角
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和；(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一 个内角.
5. 多边形及其内角和
n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.
n边形的外角和等于360°.
正多边形的每个内角的度数是
正多边形的每个外角的度数是
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 8-3
1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是 .
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另 两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.综上所述，另两边长为5,5或6,4.
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A.16 B.20或16 C.20 D.12
等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形.
2.若(a-1)2+|b-2|=0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 .
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD，∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x，当x+2x=12，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12，∴S△BCE= S△ABC= ×24=12，∵点F是CE的中点，∴S△BEF= S△BCE= ×12=6．
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_____=∠____= ∠_____，②AE是△ABC的中线，则_____=_____= _____，③AF是△ABC的高线，则∠_____=∠_____=90°．
例5 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①，又∠A－∠B＝16°②，由①②解得∠A＝71°，∠B＝55°；
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ， 则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°， ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°.
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思想设未知数列方程求解.
例6 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
5.在△ABC中,三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= .
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 .
7.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是 .
解：设此多边形的外角的度数为x，则内角的度数为4x，则x+4x=180°，解得 x=36°.∴边数n=360°÷36°=10.
在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．
解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，∴∠EDC=∠FAB=120°.∵∠1=∠2=60°，∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，∵∠C=120°，∠2=60°，∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，（n-2）=6-1，解得n=7．∴这个多边形的边数是7．
例9 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x °，则∠ABC=x°，因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°，所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75，所以∠C=75 °.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC， ∠1=∠2，∠3= ∠C，求∠1的度数.
解：设∠ 1=x，根据题意得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2，∠4= ∠2，所以∠3=2x，∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180 °，解得x=36°，所以∠1=36 °.
例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是 ．
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五边形的内角和问题.
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540 °.
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