【通用版】2023届高考数学一轮复习计数原理与概率统计专练（4）古典概型与几何概型

（4）古典概型与几何概型

1.一个不透明袋子中装有5个球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.若一次从中摸出2个球，则至少有1个红球的概率为(   )

A. B. C. D.

2.如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为(   )
 

A. B. C. D.

3.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(   )

A. B. C. D.

4.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为(   )

A. B. C. D.

5.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为(   )

A. B. C. D.

6.某校数学教研组在高一年级学生中开展了“数学素养月活动——数学基础知识竞赛”活动，经统计成绩发现，获得一等奖的6名同学中有3名同学来自甲班，2名同学来自乙班，1名同学来自丙班.根据活动要求，需从获得一等奖的选手中随机选择2名同学进行学习经验交流，则选取的两位同学中有一名来自乙班的概率为(   )

A. B. C. D.

7.正六边形ABCDEF各边中点分别是G，H，I，J，K，L（如图），在正六边形ABCDEF中任取一点P，则P不在正六边形GHIJKL内部的概率为(   )

A. B. C. D.

8.若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则“关于x的一元二次方程有实根”的概率是(   )

A. B. C. D.

9.不透明的袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，现有放回地从中任取一张卡片，抽取三次，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片的三次结果，经随机模拟产生了如下18组随机数，由此可以估计事件A发生的概率为(   )

A. B. C. D.

10.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(   )

A. B. C. D.

11.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____.

12.记表示不超过m的最大整数，若在区间上随机取一个数x，则为奇数的概率为_________.

13.某人计划从3个亚洲国家，，和3个欧洲国家，，中选择2个国家去旅游.若他从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，则这2个国家包括但不包括的概率为_______________.

14.树人中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为______________.

15.某校社团活动开展得有声有色，深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入，极大地推动了学生的全面发展.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社团，现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).

(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加心理社团的概率；

(2)求从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率.

答案以及解析

1.答案：A

解析：记3个红球分别为A，B，C，2个白球分别为a，b.若一次摸出2个球，则所有可能的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种.其中至少有1个红球的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9种，因此所求概率.

2.答案：A

解析：由题易知四边形EFGH为正方形，且由得，所以的高为，故白色区域的面积为又正方形ABCD的面积为8，所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为，故选A.

3.答案：C

解析：从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是，，，，，，，，，，，，，，，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是，，，，，，共6种取法，所以所求概率是.故选C.

4.答案：B

解析：本题考查简单的线性规划及其应用、几何概型的概率问题.由题目条件设，，且，则作出对应的平面区域如图所示，可知所求的概率为.

5.答案：A

解析：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C.由题意可知，所有的基本事件有aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件有aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率.故选A.

6.答案：C

解析：根据题意，用表示来自甲班的3名同学，表示来自乙班的2名同学，z表示来自丙班的名同学，则从获得一等奖的选手中随机选择2名同学的基本事件有，共15种情况，其中有1名同学来自乙班的基本事件有共8种情况，故根据古典概型的概率公式得选取的两位同学中有一名来自乙班的概率，故选C.

7.答案：C

解析：设正六边形ABCDEF的边长为2，则正六边形ABCDEF的面积.又，，由余弦定理得，则正六边形GHIJKL的面积，则所求概率，故选C.

8.答案：B

解析：基本事件共12个，有，，，，，，，，，，，，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.设事件A为“有实根”.方程有实根的充要条件为，即.事件A包含9个基本事件，有，，，，，，，，，所以事件A发生的概率.故选B.

9.答案：C

解析：事件A包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0，1的组有021，001，130，031，103，共5组，故所求概率.故选C.

10.答案：A

解析：2名男生记为，，2名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有，，，，，，，，，，，这12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，这4种情况，则所求概率.故选A.

11.答案：

解析：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的样本点共6个.

记两本数学书分别为数学书1，数学书2，则2本数学书相邻的有(数学1，数学2，语文)，(数学2，数学1，语文)，(语文，数学1，数学2)，(语文，数学2，数学1)，共4个.

故2本数学书相邻的概率.

12.答案：

解析：当时，，因此当且仅当，即时，为奇数，这两个区间的长度之和为故为奇数的概率.

13.答案：

解析：从3个非洲国家和3个欧洲国家中各任选1个，所有样本点为，，，，，，，，，共9种.其中包括但不包括的事件所包含的样本点有，，共2种，所以所求事件的概率.

14.答案：

解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，从中任选2人，有，，，，，，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为.

15.答案：(1)概率

(2)概率

解析：(1)由题知，该班60名同学中共有6名同学参加心理社团，

所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社团的概率.

(2)设A，B，C，D表示参加心理社团的男同学，a，b表示参加心理社团的女同学，

则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：

，

其中至少有1名女同学的结果有9种：，

根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率.