2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高二下学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，再求其补集

【详解】因为，又全集，

所以.

故选：B

2．设复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先对复数化简计算，再求其共轭复数即可

【详解】因为，

所以.

故选：B.

3．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先分别化简“”与“”，再去判断二者之间的逻辑关系

【详解】由，可得，则有，所以充分性成立；

当时，可得，在的情况下，不成立，

所以必要性不成立.

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知，且，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.

【详解】∵，且，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

5．已知两个单位向量，满足，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由题给条件求得，再利用向量的数量积去求的值

【详解】由题意得，即，，

则.

故选：A.

6．大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘､走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段的长度）.他在该雕塑塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后达到处（，，三点在同一个水平面内），测得图中线段在东北方向，且测得点的仰角为，则该雕塑的高度大约是（参考数据：）（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】在中，由正弦定理求出的长，在由边角关系即可求得的长.

【详解】在中，，，，

由正弦定理，所以（米），

在中，，

所以（米）

故选：C.

7．过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（       ）

A．2x＋y－8＝0 B．x＋2y－8＝0

C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－4＝0

【答案】A

【分析】先求得A，B两点的坐标，再去求直线AB的方程即可.

【详解】设切点坐标为，由，则切线斜率为

切线方程为，又切线过点

则，即，解之得或

则可令

则

则直线AB的方程为，即2x＋y－8＝0

故选：A

8．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.

【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.

因为是偶函数，所以当时，单调递减.

，，

，

或.

即不等式的解集为.

故选：D

二、多选题

9．某调查机构获得如下两组样本数据：

第一组：26，9，15，8，15，20，24，20，21，32.

第二组：12，7，14，12，16，23，31，17，30，28.

则这两组数据的（       ）

A．平均数相等 B．中位数相等

C．极差相等 D．方差相等

【答案】AC

【分析】求得两组数据的平均数判断选项A；求得两组数据的中位数判断选项B；求得两组数据的极差判断选项C；求得两组数据的方差判断选项D.

【详解】对于A：第一组数据的平均数为，

第二组数据的平均数为，故A正确；

对于B：第一组数据的组数据的中位数,

第二组数据的组数据的中位数，故B错误；

对于C：第一组数据的组数据的极差，

第二组数据的组数据的极差，故C正确；

对于D：第一组数据的方差

第二组数据的方差，

故D错误.

故选：AC.

10．已知函数，直线是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（       ）

A．函数为偶函数

B．的图象的一个对称中心为

C．在区间上有2个零点

D．在区间上为单调函数

【答案】ABC

【分析】根据题意求得，然后逐个分析判断即可

【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，

则，

所以，则，

所以

对于A，，

所以函数为偶函数，故正确；

因为，

所以的图象的一个对称中心为，故正确；

当时，，

所以由正弦函数的性质可知函数在上有2个零点，故C正确；

当时，，

所以函数区间上不单调，故D错误.

故选：ABC.

11．已知直线，圆，则下列说法正确的是（       ）

A．直线与圆一定有公共点

B．当时直线被圆截得的弦最长

C．当直线与圆相切时，

D．圆心到直线的距离的最大值为

【答案】BCD

【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l过定点，且点在圆E外，可得A不正确；

当时可得直线l过圆心，所以B正确；

直线l与圆相切时可得，所以C正确，

当ME与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确．

【详解】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.

故选：BCD.

12．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（       ）

A．若直线的倾斜角为，则

B．若，则直线的斜率为

C．若为坐标原点，则三点共线

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，求出直线的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出，对于B，设1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由，得，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，对于C，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可，对于D，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可

【详解】若直线的倾斜角为，则，

令，由消可得，

所以，故正确；

设1，令，由，

消可得

，，所以，

所以，

所以或

所以.即，故错误；

设，令，，

消可得

，

所以，即三点共线，故C正确；

设，令，由

消可得

，，

所以，

即，故正确.

故选：ACD.

三、双空题

13．设分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于顶点的两点，，则___________，若点还满足，则的面积为___________.

【答案】          1

【分析】由已知向量相等得到，由椭圆的对称性得关于原点对称得到的值，

由得到四边形为矩形，计算的面积即可.

【详解】由知，由椭圆的对称性得关于原点对称，所以-1.若，则四边形为矩形，所以

故答案为： ，1.

四、填空题

14．已知随机变量服从正态分布，且，则___________.

【答案】

【分析】由随机变量服从正态分布，判断出曲线关于对称，根据对称性解题.

【详解】因为随机变量服从正态分布，

所以曲线关于对称.

所以.

故答案为：0.15

15．的展开式中的常数项为__________（用数字作答）．

【答案】3360

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出，从而可求出展开式中的常数项

【详解】，

令得，

所以展开式中的常数项为．

故答案为：3360

16．在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是___________.

【答案】

【分析】根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积．

【详解】如图所示，设点为的外心，则平面，由

，

则三棱锥的外接球的球心在直线上.设其外接球的半径为，

由正弦定理得，在Rt中，，

由勾股定理得，即，

解得.正三棱锥外接球的表面积是.

故答案为： .

五、解答题

17．已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由，，构成等比数列得到之间的关系，再将化简成间的式子，进而解出，然后求出答案；

（2）结合（1），然后通过分组求和的方法解得答案即可.

【详解】(1)设等差数列的公差为d，因为，，构成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，

又，所以，联立方程组解得，，所以．

(2)由（1）可得，，所以数列的前n项和．

18．在中，角，，的对边分别为，，，在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知是上的一点，，，，若_______，求的面积．

【答案】选择见解析，面积为：．

【分析】先算出角，再结合余弦定理算出，即可获解.

【详解】若选择①，则，

因为．所以，即，

因为，所以，即，

因为．所以．

若选择②，则，

又

所以所以，

因为，所以．

若选择③，则，

即

因为 所以 ,

因为 ，所以

即 解得 或 .

因为 ，所以

因为 . 所以.

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.

19．如图，在直三棱柱中，分别是，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)取的中点，连接 ，证四边形 是平行四边形，从而得到 ，所以证得线面平行.

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】(1)证明：在直三棱柱中，分别是的中点，

取的中点，连接，

所以.

因为，所以，

所以四边形 是平行四边形，所以 .

因为平面 平面，

所以平面.

(2)解：如图，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为 ，所以，

所以.

设平面的一个法向量为，

所以令，则，

所以.

设平面的一个法向量为，

所以

令，则

所以，

则.

所以二面角 的正弦值为.

20．某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了100名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.

(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99.5%的把握认为 “文科方向”与性别有关？

(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取4次，记被抽取的4人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.

参考公式：，其中.

参考临界值：

【答案】(1)列联表答案见解析，有的把握认为 “文科方向”与性别有关

(2)分布列答案见解析，数学期望

【分析】（1）先利用题给条件求得低于60分的学生人数，进而完成列联表，再计算出后与参考临界值进行比较即可判断是否有99.5%的把握认为 “文科方向”与性别有关.

（2）先求得的所有可能取值分别对应的概率，进而得到的分布列，再利用公式即可求得的数学期望.

【详解】(1)由题意可得分数在之间的学生人数为（名），

在之间的学生人数为（名），

所以低于60分的学生人数为（名）.

所以列联表如下：

所以，

所以有的把握认为“文科方向”与性别有关.

(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.

的所有可能取值为，

所以，，

，

所以的分布列为：

所以.

21．在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程

【详解】(1)设点，由题意得，

式子左右同时平方，并化简得，.

所以曲线的方程为.

(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线与曲线的交点坐标为.

所以与不垂直，即，不符合题意.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，得

由和，得.

，

因为，所以.

所以，

解得

所以直线的方程为，

即或.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用的导函数的正负情况去讨论函数单调性即可；

（2）构造新函数，并利用其导函数求得最小值非负，从而证明不等式成立

【详解】(1)由题意知，

当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，令，解得，令，解得，

故函数在上单调递减，在上单调递增.

(2)当时，，令，

则.

令，则在上恒成立

所以函数在区间上是增函数，

又，

所以函数存在唯一的零点，

且当时，；当时，.

所以当时，；当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

故，

由得：，即，

两边取对数得，故.

所以，即.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.