北师大版高考数学一轮复习第7章第5节直线平面垂直的判定及其性质课时作业理含解析

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质

授课提示：对应学生用书第347页

[A组　基础保分练]

1．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（　　）

A．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β

B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n

C．若α∥β，mα，nβ，则m∥n

D．若α⊥β，mα，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β

解析：根据线面垂直的判定可知，当m⊥α，m∥n，nβ时可得n⊥α，则α⊥β，所以A不符合题意；根据面面平行的性质可知，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥β，故m∥n，所以B不符合题意；根据面面平行的性质可知，m，n可能平行或异面，所以C符合题意；根据面面垂直的性质可知，若α⊥β，mα，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β，所以D不符合题意．

答案：C

2．（2021·贵阳监测）如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（　　）

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面PCA，又AP平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明；D中，由A知D能证明；B中条件不能判断出AP⊥BC．

答案：B

3．（2021·石家庄模拟）若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的（　　）

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：因为l∥α，m⊥α，所以l⊥m成立；当l⊥m，m⊥α时，l∥α或lα．所以“l∥α”是“l⊥m”的充分不必要条件．

答案：A

4．（2020·黑龙江鹤岗模拟）如图，在三棱锥V­ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．AC＝BC

B．AB⊥VC

C．VC⊥VD

D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO

解析：因为VO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以VO⊥AB．因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB．又因为VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD．又因为CD平面VCD，所以AB⊥CD．又因为AD＝BD，所以AC＝BC，故A正确．

又因为VC平面VCD，所以AB⊥VC，故B正确；

因为S△VCD＝VO·CD，S△ABC＝AB·CD，所以S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确．由题中条件无法判断VC⊥VD．

答案：C

5．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0＜k＜1），则（　　）

A．当k＝时，平面BPC⊥平面PCD

B．当k＝时，平面APD⊥平面PCD

C．对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直

D．存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直

解析：当k＝时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接MN，AM，DN（图略）．由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM．又M为PB的中点，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC．又DN⊂平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD．

答案：A

6．如图，在正方形ABCD中，点M 为边AD（端点除外）上一动点，将△ABM沿BM所在直线翻折至△A′BM，并连接A′C，A′D，则下列情况可能成立的是（　　）

A．BA′⊥平面A′DM  B．BA′⊥平面A′CD

C．BC⊥A′B  D．MA′⊥平面A′BC

解析：连接BD（图略），令AB＝1，则BD＝．若选项A成立，则BA′⊥A′D，所以A′D＝1，此时A′M＋MD＝1，这与A′M＋MD＞A′D矛盾，因此选项A不成立；若选项B成立，则BA′⊥A′C，所以在Rt△BA′C中，BC＞BA′，这与BC＝BA′＝1矛盾，因此选项B不成立；若选项C成立，则BC为A′B与CD的公垂线段，则可得BC＝1＜A′D．但A′M＋MD＝1＞A′D，这与BC＝1＜A′D矛盾，因此选项C不成立；当MA′⊥MD时，由MD∥BC可得MA′⊥BC，又MA′⊥A′B，可得MA′⊥平面A′BC，故选项D有可能成立．

答案：D

7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　　　　时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

解析：由定理可知，BD⊥PC．

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，就有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD．

答案：DM⊥PC（或BM⊥PC等）

8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，分别沿AE，EF，FA将△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体A­OEF，连接AH，则在四面体A­OEF中，下列结论不正确的是_________．（写出所有不正确结论的序号）

①AO⊥平面EOF；②AH⊥平面EOF；③AO⊥EF；④AF⊥OE；⑤平面AOE⊥平面AOF．

解析：易知OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF＝O，∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误；∵EF平面EOF，∴AO⊥EF，故③正确；同理可得OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确；∵OE平面AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确．故答案为②．

答案：②

9．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．

（1）求证：BF∥平面ADP；

（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．

证明：（1）如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，

因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE的中位线，

因为CD＝3PE，所以FG＝2PE，

FG∥CD，因为CD∥AB，AB＝2PE，

所以AB∥FG，AB＝FG，

即四边形ABFG是平行四边形，

所以BF∥AG，

又BF平面ADP，AG平面ADP，

所以BF∥平面ADP．

（2）延长AO交CD于点M，连接BM，FM，

因为BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，

所以ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE．

所以FM∥PD，因为PD⊥平面ABCD，

所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD，

因为AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF，

所以BD⊥平面AOF．

[B组　能力提升练]

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4．

（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P­ABCD的体积．

解析：（1）证明：∵在△ABD中，AD＝4，BD＝8，AB＝4，

∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD，又BD平面MBD，

∴平面MBD⊥平面PAD．

（2）如图，过点P作PO⊥AD于点O．

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD．

即PO为四棱锥P­ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2．

在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．

由（1）知，在Rt△ADB中，斜边AB上的高为＝（等面积法），

也是梯形的高，∴S梯形ABCD＝×＝24．

∴VP­ABCD＝×24×2＝16．

2．（2021·南昌模拟）如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；

（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M­EFG的体积．

解析：（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，且CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD．

在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，

所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD．

因为EF平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAD．

（2）因为EF∥CD，EF平面EFG，CD平面EFG，

所以CD∥平面EFG，

因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，连接DF，DG，如图，

V三棱锥M­EFG＝V三棱锥D­EFG．

取AD的中点H，连接GH，EH，FH，则EF∥GH，

因为EF⊥平面PAD，EH平面PAD，

所以EF⊥EH．

于是S△EFH＝EF×EH＝2＝S△EFG．

平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，

且易知△EHD是边长为2的正三角形，所以点D到平面EFG的距离等于正三角形EHD的高，为．

所以三棱锥M­EFG的体积V三棱锥M­EFG＝V三棱锥D­EFG＝×S△EFG×＝．

[C组　创新应用练]

1．（2021·泉州模拟）如图，一张A4纸的长，宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是_________．（写出所有正确命题的序号）

①该多面体是三棱锥；

②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；

④该多面体外接球的表面积为5πa2．

解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；因为AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，所以AP⊥平面BCD，又因为AP平面ABD，所以平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；该多面体的外接球半径R＝a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④．

答案：①②③④

2．（2021·洛阳模拟）如图，在四棱锥E­ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝AB，且AE⊥BD．

（1）证明：平面EBD⊥平面EAD；

（2）若△EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离．

解析：（1）证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，

所以DM＝CB＝AD＝AB，

即点D在以线段AB为直径的圆上，

所以BD⊥AD，

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，

所以BD⊥平面EAD．

因为BD平面EBD，

所以平面EBD⊥平面EAD．

（2）因为BD⊥平面EAD，且BD平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面EAD．

因为等边△EAD的面积为，

所以AD＝AE＝ED＝2，

即AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝，

因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，

所以EO⊥平面ABCD．

由（1）知△ABD，△EBD都是直角三角形，

所以BD＝＝2，

S△EBD＝ED·BD＝2，

设点C到平面EBD的距离为h，

由VC­EBD＝VE­BCD，

得S△EBD·h＝S△BCD·EO，

又S△BCD＝BC·CDsin 120°＝，所以h＝．

所以点C到平面EBD的距离为．