2021-2022学年河南省商丘第一高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省商丘第一高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）

副标题

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合，，若，则实数的取值集合为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，是的共轭复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. “”是“直线与圆相切”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 如图，小正方形的边长为，一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列推理正确的是(    )

A. 因为，则
B. 小芳买了体育彩票，所以他一定能中奖
C. 若向量，是单位向量，则
D. 若关于的不等式的解集为，则

6. 若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 函数在处的切线在轴上的截距为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，分别为内角，，的对边，若，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 一程序框图运行的结果，则判断框中应填写的关于的条件为(    )

A. ？ B. ？ C. ？ D. ？

10. 将的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，函数的图象如图所示，则(    )

A.
B. 的图象的对称轴方程为
C. 不等式的解集为
D. 在上单调递增
 

11. 已知，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点是上一点不在坐标轴上，点是的中点，若平分，则椭圆的离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知函数则______．
14. 已知，是两个平面向量，，若，则______．
15. 已知，是双曲线：的左、右焦点，，是上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．
16. 已知球为三棱锥的外接球，球的体积为，正三角形的外接圆半径为，则三棱锥的体积的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知等差数列的前项和为，，等比数列的各项均不相等，且，．
    求数列与的通项公式；
    设，求数列的前项和．
18. 在直三棱柱中，，分别是，的中点．
    求证：平面；
    若，，求点到平面的距离．

19. 为了解大学生对年北京冬奥会上的“雪上项目”“冰上项目”的喜欢程度，某高校随机拙取了男生人，女生人进行问卷调查，其中，男生喜欢“雪上项目”与喜欢“冰上项目”的人数之比为：；女生喜欢“雪上项目”与喜欢“冰上项目”的人数之比为：．
    请根据以上调查结果将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢“雪上项目”或“冰上项目”与性别有关？

从喜欢“冰上项目”的学生中，按性别用分层抽样的方法随机选出人，再从人中随机选出人接受采访，求人性别不同的概率．
附：，其中．

20. 已知抛物线：上的点到焦点的距离等于圆的半径．
    求抛物线的方程；
    过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
21. 已知函数．
    当时，讨论的单调性；
    若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，直线与，轴的交点分别为，．
    求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
    若点是曲线上异于，的一点，求的面积的最大值．
23. 已知不等式的解集为．
    求集合；
    设集合中元素的最小值为，若，，，且，求的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
由，得，即，
实数的取值集合为．
故选：．
分别求解不等式化简与，结合，得，即可得到实数的取值集合．
本题考查交集及其运算，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，即，
．
故选：．
根据已知条件，先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若直线与圆相切，
则，即，解得或，
“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
故选：．
先求出直线与圆相切的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，充要条件的判定，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意，该几何体由两个长方体构成，其体积为．
故选：．
根据几何体的三视图可知该几何体由两个长方体构成，即可求解．
本题考查了由三视图求几何体的体积，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于：当，时，符合，但，故选项A错误；
对于：小芳买了体育彩票，不一定能中奖，故选项B错误；
对于：因为向量，是单位向量，当，方向相同时，，否则，故选项C错误；
对于：由题意知，和是方程的两个根，则由根与系数的关系，
得解得
所以，故选项D正确，
故选D．
对于：给，取特殊值，即可判定是否正确；
对于：由概率的定义，即可判断是否正确；
对于：考虑方向是否相同，即可判断是否正确；
对于：由题意知得解得，，即可判断是否正确．
本题考查命题真假的判定，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，，所以．
故选：．
根据同角三角函数关系及二倍角公式，化简计算即可．
本题主要考查了同角三角函数关系式和二倍角公式，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，
，又，
在处的切线方程为，
取，得，即函数在处的切线在轴上的截距为．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的切线方程，取，即可求得函数在处的切线在轴上的截距．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
可得，
由正弦定理可得，即，
所以，
又，
所以，
又因为，
故，当且仅当时取等号，
则面积的最大值为．
故选：．
由已知利用诱导公式，二倍角公式以及正弦定理可得，进而根据余弦定理可求的值，结合范围，可得，进而根据三角形的面积公式，基本不等式即可求解面积的最大值．
本题考查了诱导公式，二倍角公式以及正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由程序框图知，当，，
第一次运行，，
第二次运行，，
第三次运行，，
第四次运行，，终止运行，
故判断框中应填写的条件是“？”．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图知，对于：，函数的图象的最小正周期，
所以，所以，因为点在的图象上，
所以，
所以，因为，所以，所以，故选项A错误；
对于：所以，令，解得，所以的图象的对称轴方程为，故选项B错误；
对于：由，得，所以，即不等式的解集为，所以选项C错误；
对于：令得，即的单调递增区间为，因为，所以选项D正确．
故选：．
直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步判定的结论，利用函数的对称性的应用判断的结论，利用函数的单调性的应用判断的结论，利用的单调递增区间及集合间的关系的应用判断的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，函数的关系式的求法，函数的周期性和对称性的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为是的中点，若平分，所以，
而，
所以，
可得，而在椭圆中，
所以离心率的取值范围为，
故选：．
由角平分线的性质可得：的比值，再由椭圆中：比值范围可得，的关系，再由椭圆的离心率的范围可得结果．
本题考查角平分线的性质的应用及椭圆的性质的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：
，且时，，
把时，的图像向右平移个单位，同时纵坐标扩大倍，得到，的图像，同理可得，，图像，
解得，，结合图像可得，当时，，
故选：．
运用图像变换得到的图像，结合的图像求得．
本题考查了函数数形结合思想方法的运用，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数，
，
．
故答案为：．
根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
本题考查了求分段函数的函数值问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
又，
．
故答案为：．
由已知可得，再由单项式乘多项式展开，结合向量的模求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由可知，，
因为，是上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，由双曲线的定义可得，所以，
又因为，所以，所以，
所以四边形的面积．
故答案为：．
判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设外接圆的圆心为，
因为正三角形的外接圆半径为，即，
由正弦定理，得，
所以，
要使三棱锥的体积最大，则平面，且球心在线段上，
因为球的体积为，所以球的半径为，
在中，由勾股定理得，
所以三棱锥体积的最大值，
故答案为：．
设外接圆的圆心为，由正弦定理求出，从而可求出，要使三棱锥的体积最大，则平面，且球心在线段上，由球的体积可求出球的半径，从而可求出三棱锥的高，进而可求出体积．
本题考查了三棱锥的外接球以及体积的最值问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，所以，
因为，所以，解得或舍，
所以．
由知，，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以． 

【解析】先利用等差数列的通项公式求得公差，从而可得与，再由等比数列的通项公式求得公比，得解；
采用错位相减法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在直三棱柱中，，分别是，的中点，
取的中点，连接，，如图，
则且，

又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面C.
解：因为直三棱柱中，，
所以，，两两垂直，
因为，分别是，的中点，，

所以，．
取的中点，连结，，得，，
所以的面积，的面积．
不妨设点到平面的距离为，
因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以，
解得即点到平面的距离为． 

【解析】取的中点，连接，，通过证明四边形是平行四边形，证得，进而由线面平行的判定定理即可证明结论；
利用等体积法进行计算．
本题考查了线面平行的证明以及点到平面的距离的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，，，
补充列联表如下：

，
有的把握认为喜欢“雪上项目”或“冰上项目”与性别有关．
由知选择“冰上项目”的学生中，男生有人，女生有人，
从喜欢“冰上项目”的学生中，用分层抽样的方法随机选出人，
则在男生中抽取人，记为，，，，在女生中抽取人，记为，，，，，
则所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，
设“抽取的人性别不同”为事件则包含的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，
则，
故人性别不同的概率为． 

【解析】根据已知条件，先补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题设知，抛物线的准线方程为，
由点到焦点的距离等于圆的半径，
而可化为，即该圆的半径为，
所以，解得，
所以抛物线的标准方程为．
由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为．
因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，
联立得，恒成立．
设，，
则，，
所以，
同理，将换成，得，
所以四边形的面积，当且仅当时等号成立
所以四边形的面积的最小值是． 

【解析】根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；
分别联立两条直线与抛物线，可得线段与长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值．
本题考查直线与抛物线的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，所以，
所以，今，则，
今得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值也是最大值为，即恒成立，
所以在单调递减．
因为，，所以对任意恒成立，
法一：因为，，
所以对任意恒成立，
今，，
令，恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，
所以，
即，所以实数的取值范围是．
法二：令，
所以，
今，则．
当，即时，在上是增函数，
所以，
由，得，与矛盾，所以无解．
当，即时，在上是减函数，
所以，
由，得，所以．
当，即时，在上是减函数，在上是增函数，
当，即时，，得，所以．
当，即时，，得，所以．
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】求导，再二次求导，根据导函数的符号即可得出答案；
法一：对任意恒成立，即对任意恒成立，令，，利用导数求出函数即可得出答案，法二：通过讨论的范围，再利用分离参数法，求得的范围即可．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：由为参数消去参数得，即为直线的普通方程；
由，得，
因为，，，
所以，即为曲线的直角坐标方程；
由知曲线的平面直角坐标方程为，
配方得，
设，
对，令得；令得，
所以，，所以，
则到直线的距离，
当其中时，取最大值，
故此时的面积最大值为． 

【解析】直接消去参数得到普通方程，利用互化公式得到曲线的直角坐标方程；
设，利用点到直线的距离求出到直线的距离的最大值，再由三角形的面积公式即可求出的面积的最大值．
本题考查了方程之间的互化和三角形面积的最大值计算，属于中档题．
 

23.【答案】解：因为，
当时，不等式化为无解；
当时，不等式化为，所以；
当时，不等式化为，所以；
所以．
集合中元素的最小值，因为，所以．
又因为．
所以的最小值为，当且仅当，，时取等号． 

【解析】采用“零点分段法“去掉绝对值，分情况求解即可；
首先求出的值，然后利用基本不等式可求其最小值．
本题考查了绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题．