初中数学浙教版九年级上册第3章 圆的基本性质综合与测试复习练习题

浙教版初中数学九年级上册第三单元《圆的基本性质》

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列关于外心的说法正确的是(    )

A. 外心是三个角的平分线的交点 B. 外心是三条高的交点
C. 外心是三条中线的交点 D. 外心是三边的垂直平分线的交点

2. 如果直角三角形的两直角边长分别为和，那么它的外接圆直径是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列说法错误的是(    )

A. 平移和旋转都不改变图形的形状和大小
B. 平移和旋转能改变图形的位置
C. 平移和旋转都不改变图形的位置
D. 平移和旋转能改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小

4. 如图，正方形在平面直角坐标系中，点的坐标为，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，为直径，交弦于点，若点为的中点，则下列说法错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一条公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点已知，，那么这段弯道的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，是的直径，，，则的度数为  (    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，点是点关于的对称点，的半径为，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图为的直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，点，，，，都在上，且的度数为，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，为的直径，，点在上，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 平面直角坐标系内的三个点、、，____确定一个圆，填“能”或“不能”．
14. 如图所示，在中，为弦，交于点，且，为上任意一点，连接，，若的半径为，则的最大值为______．

15. 如图，四边形内接于，延长交于点，连接若，，则的度数为_____________．

16. 已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为______结果保留．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 用直尺和圆规作出如图三角形的外接圆只需作出图形，并保留作图痕迹，不必写作法

18. 如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为，，将绕点逆时针旋转度，得到，画出，并写出、两点的对应点、的坐标，

19. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点求的长．

20. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶如图，隋代建造的赵州桥距今约有年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度弧所对的弦长，设所在圆的圆心为，半径，垂足为拱高弧的中点到弦的距离连接．
    直接判断与的数量关系；
    求这座石拱桥主桥拱的半径精确到．

21. 已知，如图，是的直径，，分别为、的中点，，，垂足分别为，．
    求证：．

22. 如图，点，，，在上，且，求证：．

23. 如图，四边形内接于，为直径，所对圆心角为，连接，交于点．
    求证：；
    当时，求的半径．

24. 如图，在中，弦，互相垂直，垂足为，是上的一点，且，分别与，相交于点，，连接，．
    求证：；
    若的半径为，，求线段的长．

25. 如图，已知是的直径，、为圆上的点，、，垂足分别为、．
    求证：；
    若，，求阴影部分的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：外心是三边的垂直平分线的交点，
故选：．
根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可．
此题主要考查了三角形外心的定义与性质，熟练根据定义得出是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点是解题的关键．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外心的性质解答即可．
【解答】
解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长，
它的外接圆的直径是，
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，它们是全等变换，所以选项的说法正确；
B、平移和旋转能改变图形的位置，所以选项的说法正确；
C、平移和旋转可改变图形的位置，所以选项的说法不正确；
D、平移和旋转能改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小，所以选项的说法正确．
故选：．
根据旋转和平移的性质对各选项进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平移变换．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，熟记性质并判断出点的位置是解题的关键．先根据点的坐标求出正方形的边长，再根据旋转可得点在第一象限的平分线上，然后求解即可．
【解答】
解：点的坐标为，
正方形的边长为，
正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，
点在第一象限的平分线上，
点的横坐标为，
纵坐标为为，
点的坐标为
故选A．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】

证明： 为直径，交弦于点，点为的中点，

，，，故A、、C正确．
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：连接，
是的中点，与相交于点，
，

，
是直角三角形，
设，则，
在中，
，即，解得．
故选：．
连接，由垂径定理求出的长，判断出的形状，在设，利用勾股定理即可得出的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了弧与圆心角的关系注意掌握数形结合思想的应用．由，可求，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【解答】
解： ，，
，
．
又，
，

故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．连接、，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】
解：连接、，
点是半圆上一个三等分点，
，
点是的中点，
，
点是点关于的对称点，
，
，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先利用圆周角定理得到，再利用邻补角得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，则，
为，
，
点、、、在上，
四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故选：．
连接、，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得．
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】
解：五边形是的内接正五边形，
五边形的中心角的度数为，
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
的长，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理、弧长公式是解题的关键．
 

13.【答案】不能 

【解析】解：、、在同一条平行于轴的直线上，
三个点、、不能确定一个圆．
故答案为：不能．
根据三个点的坐标特征得到它们在同一条直线上，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于，
的半径为，，
，
在中，，
，
，
当点在点的位置时，最大，此时的最大，最大值，
故答案为：．
连接，延长交于，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】
解：四边形内接于，，
，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：扇形的半径是，圆心角是，
该扇形的弧长是：．
故答案为：．
根据弧长公式是，代入就可以求出弧长．
本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】本题考查了作三角形的外接圆，首先作、的垂直平分线交于点，然后以点为圆心，长为半径作，则即为的外接圆．
 

18.【答案】解：如图，为所作，点，的坐标分别为，．
 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可．
本题考查了画图性质变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

19.【答案】解：过点作于点，
则，
，，，
，
，
，
，
． 

【解析】首先过点作于点，由，，，可求得的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得的长，由勾股定理求得的长，然后由垂径定理求得的长．
此题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

20.【答案】解：，
；
设主桥拱半径为，由题意可知，，
，
，
，
，
，
解得，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为． 

【解析】根据垂径定理便可得出结论；
设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出的方程便可求得结果．
此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用．
 

21.【答案】证明：连接、，
是的直径，
，
，分别为、的中点，
，
，，
，
与都是直角三角形，
又，
≌，
，
． 

【解析】连接、，根据已知条件，易证≌，根据全等三角形的性质可知，，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可知，．
本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，此定理应用非常广泛，为证明线段相等和角的相等提供了依据．
 

22.【答案】略 

【解析】略
 

23.【答案】证明：所对圆心角为，
，
为直径，
，
，
，
；
解：，，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】由圆周角定理得出，，进而得出，得出，即可证明；
由等腰直角三角形的性质得出，由∽，得出，代入计算即可得出，继而求出的半径为．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，，
，
，，
，
；
解：连接、、、，

，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据题意得到，根据圆周角定理、直角三角形的两锐角互余及对顶角相等得出，根据等腰三角形的判定即可得解；
连接、、、，根据圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】证明：是的直径，是的弦，，
，，
，
，是的弦，
，
，
是的中位线，
，
；

解：如图，连接，，，

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
阴影部分的面积为． 

【解析】根据垂径定理得，，则，再根据垂径定理得，，则是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得出结论；
连接，，，根据三角形外角的性质以及得，由三角形的内角和定理得，则，可得是等边三角形，可得，，，利用勾股定理求出，根据即可得阴影部分的面积．
本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，扇形的面积计算、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键．