2023年高考数学一轮复习课时规范练24平面向量的概念及线性运算含解析北师大版文

课时规范练24　平面向量的概念及线性运算

基础巩固组

1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量相等.

则所有正确命题的序号是(　　)

A.① B.③ C.①③ D.①②

答案:A

解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量互为相反向量,故③错误.

2.(2021福建福州模拟)如图,则a-b=(　　)

A.2e1-3e2

B.-2e1+3e2

C.3e1-2e2

D.-3e1+2e2

答案:A

解析:由图知:a=3e1+e2,b=e1+4e2,则a-b=2e1-3e2.

3.(2021四川泸州诊断测试)在四边形ABCD中,,则(　　)

A.四边形ABCD是矩形 

B.四边形ABCD是菱形

C.四边形ABCD是正方形 

D.四边形ABCD是平行四边形

答案:D

解析:根据向量加法的平行四边形法则可得,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,如图,

可得,所以四边形ABCD为平行四边形.

4.(2021广东珠海模拟)已知正六边形ABCDEF中,=(　　)

A B C D.0

答案:D

解析:如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则,

=0.

5.(2021贵州贵阳清华中学高三月考)如图,在△ABC中,=3,若=a,=b,则等于(　　)

Aa+b B.-a+b

Ca+b D.-a+b

答案:B

解析:因为=3,所以=3(),所以4+3

又因为,所以,所以4,

可得4+(),所以4=-2,

即=-,即=-a+b.

6.(2021山东潍坊三模)如图,在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)

A.- B.1 C D

答案:D

解析:)=,

又=+不共线,

根据平面向量基本定理可得λ=,μ=-,∴λ+μ=

7.(2021陕西西安中学高三月考)在四边形ABCD中,AB∥CD,设=+(λ,μ∈R).若λ+μ=,则=(　　)

A B C D

答案:C

解析:∵AB∥CD,∴设=k(k∈R),则=k,k>0,

∵=k=λ+μ,

∴∵λ+μ=,∴1+k=,即k=,即.

8.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是　　　　(填序号). 

答案:①③④

解析:相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;|a|=|b|,不能确定方向,所以②不能使a∥b成立;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④能使a∥b成立;单位向量的模相等,但方向不确定,所以⑤不能使a∥b成立.

9.(2021浙江湖州模拟)已知||=10,||=7,则||的取值范围为　　　　　. 

答案:[3,17]

解析:因为,所以||=||,

又|||-|||≤||≤||+||,即3≤||≤17,即3≤||≤17.

10.(2021北京通州一模)设向量e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-e2,=e1+3e2,=2e1-ke2,且B,C,D三点共线,则=　　　　　(用e1,e2表示);实数k=　　　　　. 

答案:-e1+4e2　8

解析:由向量减法法则得=-e1+4e2,

由于B,C,D三点共线,所以设=λ(λ∈R),即2e1-ke2=λ(-e1+4e2),

所以解得

综合提升组

11.(2021福建福州一模)在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若,则的值为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

答案:C

解析:设=λ(λ∈R),因为,

所以,

因为B,F,D三点在同一条直线上,所以λ=1,所以λ=4,所以=4.

12.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且,则(　　)

A

B

C

D

答案:A

解析:设AP=a,因为,

所以PT=a,CP=a,CA=a,

所以

因为,所以,

所以

13.(2021湖北武汉模拟)已知O是△ABC所在平面内的一定点,动点P满足+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.内心 B.外心

C.重心 D.垂心

答案:A

解析:如图,设,则均为单位向量,

以为邻边作平行四边形AEDF,连接AD,并延长至与BC相交.

则,

易知四边形AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC,

由+λ,λ∈(0,+∞),

得=,又有公共点A,故A,D,P三点共线,

所以点P在∠BAC的角平分线上,故动点P的轨迹经过△ABC的内心.

14.点M在△ABC内部,满足2+3+4=0,则S△MAC∶S△MAB=　　　　　　. 

答案:3∶4

解析:由题意,分别延长MA至D,MB至E,MC至F,连接ED,DF,EF.

使MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图,

由2+3+4=0,得=0,

所以点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD,

设S△MDE=1,则S△MAB=,S△MAC=,

所以S△MAC∶S△MAB==3∶4.

15.(2021江苏盐城中学高三月考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,CD上,且满足=2,则||=　　　　　　. 

答案:3

解析:因为,所以

又因为=2,所以,

所以||=|=|.

又因为∠BAD=120°,所以∠ADC=60°,

所以△ADC为等边三角形,所以AC=AD=2,所以||=|=2=3.

创新应用组

16.(2021山东淄博一模)已知等边三角形ABC的边长为6,点P满足+2=0,则||=(　　)

A B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:依题意+2=0,=-2=-2=2,

如图,在△ABC中,设D是AC中点,连接BD,

由于三角形ABC是等边三角形,所以BD⊥AD,∠ABD=∠CBD=30°,

由于=2,所以,所以四边形BDAP是矩形,在图中作出四边形BDAP,

所以∠ABP=90°-30°=60°,Rt△APB中,AP=AB·sin60°=6=3,即||=3

17.(2021四川凉山三模)如图,P为△ABC内任意一点,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知总有优美等式S△PBC+S△PAC+S△PAB=0成立.现有以下命题:

①若P是△ABC的重心,则有=0;

②若a+b+c=0成立,则P是△ABC的内心;

③若,则S△ABP∶S△ABC=2∶5;

④若P是△ABC的外心,A==m+n,则m+n∈[-,1).

则正确的命题有　　　　　　. 

答案:①②④

解析:对于①,如图所示,

因为D,E,F分别为CA,AB,BC的中点,

所以CP=2PE,S△AEC=S△ABC,S△APC=S△AEC=S△ABC,

同理可得S△APB=S△ABC,S△BPC=S△ABC,

所以S△PBC=S△PAC=S△PAB.又因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=0,

所以=0.①正确;

对于②,记点P到AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,

S△PBC=a·h2,S△PAC=b·h3,S△PAB=c·h1,因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=0,

则a·h2b·h3c·h1=0,即a·h2+b·h3+c·h1=0,

又因为a+b+c=0,所以h1=h2=h3,所以点P是△ABC的内心.②正确;

对于③,因为,

所以=-=-,

所以S△PBC-+S△PAC+S△PAB-=0,

化简得-S△PBC+S△PAC-S△PAB+-S△PBC-S△PAC+S△PAB=0,

又因为不共线,

所以

错误;

对于④,因为P是△ABC的外心,A=,

所以∠BPC=,||=||=||,=||×||×cos∠BPC=0,

因为=m+n,则=m2+2mn+n2,

化简得m2+n2=1,

(m+n)2≤2(m2+n2),当且仅当m=n时,等号成立,又m+n<1,

∴m+n∈[-,1).④正确.