初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程精品课后测评

这是一份初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程精品课后测评，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

5.4二次函数与一元二次方程苏科版初中数学九年级下册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,5)，且顶点坐标为(2,1)，关于该抛物线，下列说法正确的是(    )
A. 表达式为y=x2+4x+5 B. 图象开口向下
C. 图象与x轴有两个交点 D. 当x<1时，y随x的增大而减小
2. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=−1.则下列选项中正确的是(    )
A. abc<0
B. 4ac−b2>0
C. c−a>0
D. 当x=−n2−2(n为实数)时，y≥c

3. 如图，若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC=∠OCB.则ac的值为(    )
A. −1
B. −2
C. −12
D. −13
4. 若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,−1)，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是(    )
A. 有两个大于1的不相等实数根 B. 有两个小于1的不相等实数根
C. 有一个大于1另一个小于1的实数根 D. 没有实数根
5. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，且对称轴为直线x=12，有下列结论：
①abc>0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)；⑤4am2+4bm−b≥0；⑥一元二次方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根．其中正确结论有(    )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−2.抛物线与x轴的一个交点在点(−4,0)和点(−3,0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有(    )
①4a−b=0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根；④b2+2b>4ac．


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A(3,0)，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c−3b<0；③5a+b+2c=0；④若B(43,y1)、C(13,y2)、D(−13,y3)是抛物线上的三点，则y1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0，②b−2a<0，③b2−4ac<0，④a−b+c<0，正确的是(    )
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ②④
9. 如图，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=x2−2x+c交于A，B两点，且点A的横坐标是−1，点B的横坐标是4，有以下结论：①若点A在x轴上，则抛物线y=x2−2x+c与x轴的另一个交点坐标为(3,0)；②当x>1时，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=x2−2x+c的函数值y都随x的增大而增大；③AB的长度可以等于5，其中正确的结论有(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10. 已知，一次函数y1=kx+m(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的部分自变量与对应的函数值如表：
x
…
−12
0
2
3
4
…
y1
…
12
1
3
4
5
…
y2
…
12
−2
−2
4
14
…
当y1>y2时，自变量x的取值范围是(    )
A. x>−12或x>3 B. x<−12或x>3
C. 12 11. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x1,0)、(2,0)，其中00；③2a−c>0；④不等式ax2+bx+c>−cx1x+c的解集为0
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−3,0)，B(1,0)，C(−4,y1)，且点D(x2,y2)是抛物线上任意一点，则下列结论中正确的有(    )
①b−2a=0；
②函数y=ax2+bx+c的最小值为−4a；
③若y2>y1，则x<−1；
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为1和−13．
A. l个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有下列结论：①a>0;②b2−4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b−1)x+c<0的解集为1

14. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠c)，且a−b+c=0，a>0.下列四个结论：
①对于任意实数m，a(m2−1)+b(m−1)≥0恒成立；
②若a+b=0，则不等式ax2+bx+c<0的解集是−1 ③一元二次方程−a(x−2)2+bx=2b+c有一个根x=1；
④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，若c>a，则当−1 其中正确的是______.(填写序号)
15. 若二次函数y=a(x+m)2+b(a,m,b均为常数，a≠0)的图象与x轴两个交点的坐标是(−2,0)和(1,0)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是______．
16. 如图，抛物线y=−x2−6x−5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D(m,m+1)是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为______．



三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
17. 如图，二次函数y=ax2+2x+3的图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，求二次函数的解析式和点B的坐标．

18. 已知二次函数y=x2+mx+m2−3(m为常数，m>0)的图象经过点P(2,4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
19. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”，
(1)①方程x2−2x−8=0______半等分根方程(填“是”或“不是”)；
②若(x−1)(mx+n)=0是半等分根方程，则代数式m2+52mn+n2=______；
(2)若点(p,q)在反比例函数y=8x的图象上，则关于x的方程px2−6x+q=0是半等分根方程吗？并说明
理由；
(3)如果方程ax2+bx+c=0是半等分根方程，且相异两点M (1+t,s)，N (4−t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上，试说明方程ax2+bx+c=0的一个根为53．
20. 如图，二次函数y=(x+1)(x+a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=1．
(1)求a的值．
(2)向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

21. 设二次函数y=(x−a)(x−a+2)，其中a为实数．
(1)若二次函数的图象经过点P(2,−1)，求二次函数的表达式；
(2)把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；
(3)若二次函数的图象经过点A(m,t)，点B(n,t)，设|m−n|=d(d≥2)，求t的最小值．
22. 已知二次函数y=x2−2mx+m2−1(m为常数)的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．
(1)若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．
(2)①若P(m−3,y1)，Q(m+2,y2)在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；
②求△ABC的面积．
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y=−x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD=4，点P是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵抛物线顶点坐标为(2,1)，
∴y=a(x−2)2+1，
将(0,5)代入y=a(x−2)2+1得5=4a+1，
解得a=1，
∴y=(x−2)2+1=x2−4x+5，
∴x<2时，y随x增大而减小，
故选：D．
由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0,5)代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，根据对称轴方程得到b>0，于是得到abc>0，故A错误；根据二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点，得到b2−4ac>0，求得4ac−b2<0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=−1时，y=a−b+c<0，于是得到c−a<0，故C错误；当x=−n2−2(n为实数)时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a(−n2−2)2+b(−n2−2)+c=an2(n2+2)+c，于是得到y=an2(n2+2)+c≥c，故D正确．
【解答】
解：由图象开口向上，可知a>0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，
又对称轴方程为x=−1，所以−b2a<0，所以b>0，
∴abc>0，故A错误；
∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故B错误；
∵−b2a=−1，
∴b=2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−2a+c<0，
∴c−a<0，故C错误；
当x=−n2−2(n为实数)时，y=ax2+bx+c=a(−n2−2)2+b(−n2−2)+c=an2(n2+2)+c，
∵a>0，n2≥0，n2+2>0，
∴y=an2(n2+2)+c≥c，故D正确，
故选：D．  
3.【答案】A 
【解析】解：设A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,c)，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C(0,c)，
∴OC=c，
∵∠OAC=∠OCB，OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴OAOC=OCOB，
∴OC2=OA⋅OB，
即|x1⋅x2|=c2=−x1⋅x2，
令ax2+bx+c=0，
根据根与系数的关系知x1⋅x2=ca，
∴−x1x2=−ca=c2，
故ac=−1，
故选：A．
设A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,c)，由∠OAC=∠OCB可得△OAC∽△OCB，从而可得|x1⋅x2|=c2=−x1⋅x2，由一元二次方程根与系数的关系可得x1⋅x2=ca，进而求解．
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与关于方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，借助图象解题是关键．
根据题意画出函数的图象，根据抛物线与x的交点情况即可判断．
【解答】解：由抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,−1)，
画出函数的图象如图：

由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，
故选：C．  
5.【答案】C 
【解析】解：①抛物线的对称轴为直线x=12，即对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
∵抛物线与y轴交在负半轴上，
∴c<0，
∴abc>0，
故①正确；
②∵−b2a=12，
∴2a=−2b，
∴a+b=0，
故②不正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，
∴4a+2b+c=0，
∵c<0，
∴4a+2b+3c<0，
故③正确；
由抛物线的对称性可得：抛物线与x轴的另一交点为(−1,0)，
∵a+b=04a+2b+c=0，
∴c=−2a，
∴c2a=−1，
∴当a≠0，，无论b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)，
故④不正确；
∵b=−a，
∴4am2+4bm−b=4am2−4am+a=a(4m2−4m+1)=a(2m−1)2，
∵a>0，
∴a(2m−1)2≥0，即4am2+4bm−b≥0，
故⑤正确；
由图可知：令y=1，ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根．
故⑥正确．
综上，本题正确的有①③⑤⑥，共4个．
故选：C．
根据二次函数图象与系数的关系即可判断①；根据抛物线对称轴公式即可判断②；根据点(2,0)在函数图象上及c<0即可判断③；根据a与b的关系及点(2,0)在函数图象上即可得到c与a的关系，再结合二次函数与x轴的交点坐标即可判断④；将4am2+4bm−b=4am2−4am+a配方，即可判断⑤；结合图象y=1时的情况即可判断⑥．
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质，能够通过图象获取信息是解题关键．

6.【答案】C 
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−2，
∴4a−b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在(−3,0)和(−4,0)之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在(−1,0)和(0,0)之间，
∴x=−1时y>0，且b=4a，
即a−b+c=a−4a+c=−3a+c>0，
∴c>3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为(−2,3)，
∴抛物线与直线y=2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为(−2,3)，
∴4ac−b24a=3，
∴b2+12a=4ac，
∵4a−b=0，
∴b=4a，
∴b2+3b=4ac，
∵a<0，
∴b=4a<0，
∴b2+2b>4ac，所以④正确；
故选：C．
根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x=−1时y>0可判断②，由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为(−2,3)，即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到4ac−b24a=3，即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．

7.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴1=−b2a，
∴b=−2a，
∴b<0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
∵抛物线y=ax2−2ax+c经过(3,0)，
∴9a−6a+c=0，
∴c=−3a，
∴2c−3b=−6a+6a=0，故②错误，
5a+b+2c=5a−2a−6a=−3a<0，故③错误，
观察图象可知，y1
故选：B．
①正确，根据抛物线的位置，判断出a，b，c的符号，可得结论；
②③错误，利用对称轴公式，抛物线经过A(3,0)，求出b，c与a的关系，判断即可；
④正确．利用图象法判断即可．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8.【答案】A 
【解析】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a<0，c>0，
∴ac<0，故①正确；
②∵对称轴x<−1，
∴−b2a<−1，a<0，
∴b<2a，
∴b−2a<0，故②正确．
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2−4ac>0，故③错误．
④当x=−1时，y>0，∴a−b+c>0，故④错误；
故选：A．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

9.【答案】C 
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−−22=1，
设抛物线y=x2−2x+c与x轴的另一个交点坐标为(m,0)，
则−1+m2=1，
∴m=3，
∴若点A在x轴上，则抛物线y=x2−2x+c与x轴的另一个交点坐标为(3,0)；
故①正确；
根据图象得：直线y=kx+b(k≠0)为增函数，抛物线y=x2−2x+c当x>1时为增函数，
∴当x>1时，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=x2−2x+c的函数值y都随x的增大而增大；
故②正确；
由A、B的横坐标为−1，4，若AB=5时，则直线AB//x轴，则k=0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，
故③不正确．
综上所述，正确的有①②．
故选：C．
先求出抛物线的对称轴为直线x=1，若点A在x轴上，根据对称性可求抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，即可判断①；根据一次函数和二次函数的性质即可判断②；由A、B的横坐标求出AB为5时，可得直线AB//x轴，则k=0，与已知矛盾，即可判断③．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：由表格可得直线y1=kx+m的y随x增大而正大，
抛物线y2=ax2+bx+c的y先随x增大而减小，再随x增大而增大，
∴抛物线开口向上，
∵两函数都经过(−12,12)，(3,4)，
∴当−12y2．
故选：D．
由表格可得一次函数y随x增大而增大，二次函数图象开口向上，根据两函数图象交点坐标求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

11.【答案】C 
【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a>0，b<0，c>0，
∴abc<0，
∴①正确．
∵当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
∴②错误．
∵抛物线对称轴x=−b2a>1，a>0，
∴b<−2a，
∵a+b+c<0，
∴a−2a+c<0，
∴2a−c>a>0，
∴③正确．
如图：

设y1=ax2+bx+c，y2=−cx1x+c，
由图值，y1>y2时，x<0或x>x1，
故④错误．
故选：C．
利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．

12.【答案】C 
【解析】解：∵抛物线经过A(−3,0).B(1,0)，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，即b−2a=0，①正确．
∵抛物线与x轴交点为A(−3,0).B(1,0)，
∴y=a(x+3)(x−1)，
将x=−1代入y=a(x+3)(x−1)得y=−4a，
∴抛物线顶点坐标为(−1,−4a)，
∵抛物线开口向上，
∴函数最小值为−4a，②正确．
∵C(−4,y1)，
∴点C关于抛物线对称轴对称点坐标为C′(6,y1)，
∵y2>y1，
∴x<−4或x>6，③错误．
∵y=a(x+3)(x−1)=ax2+2ax−3a，
∴b=2a，c=−3a，
∴cx2+bx+a=−3ax2+2ax+a=a(−3x−1)(x−1)=0，
∴方程cx2+bx+a=0的两个根为1和−13.④正确．
故选：C．
由抛物线经过A，B可得抛物线对称轴及抛物线的交点式，从而可得b与a的关系，从而判断①，将x=−1代入函数交点式可判断②，求出点C关于抛物线对称轴的对称点可判断③，由抛物线的交点式可得c与a的关系，再根据b与a的关系可将方程化为只含参数a的方程，从而判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数交点式与一般式的转换．

13.【答案】①③④ 
【解析】略

14.【答案】②④ 
【解析】解：①由不等式a(m2−1)+b(m−1)≥0，
 变形可得am2+bm+c−(a+b+c)≥0．
∵当x=m时，y=am2+bm+c，当x=1时，y=a+b+c，
∴不等式am2+bm+c−(a+b+c)≥0是抛物线当x=m与x=1时函数值的差．
∵根据已知条件不能判断当x=1时，函数有最小值，
∴am2+bm+c−(a+b+c)≥0不正确．
∴①不正确．
②∵a−b+c=0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(−1,0)点．
∵a+b=0，
∴a=−b，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=12，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)．
∵a>0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分x的取值范围为−1 ∴不等式ax2+bx+c<0的解集是−1 ∴②正确．
③把x=1代入一元二次方程得，−a+b=2b+c，整理得，a+b+c=0；
对于函数y=ax2+bx+c，当x=1时，y=a+b+c，
若a+b+c=0，则抛物线过点(1,0)，
但根据已知条件，抛物线y=ax2+bx+c不一定过(1,0)点，
所以一元二次方程有一个根x=1不正确，即③错误．
④∵c>a，a>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴正半轴相交．
∵抛物线过(−1,0)点，
∴抛物线的对称轴x=m在直线x=−1的左侧，即m<−1．
∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，且−1 ∴A，B两点在对称轴右侧的抛物线上．
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1 ∴④正确．
综上所述，②④是正确的．
故答案为：②④．
由题意可得，抛物线开口向上，且过(−1,0)点，对于①中不等式可变形为am2+bm+c−(a+b+c)≥0，对抛物线y=ax2+bx+c来说，是x=m与x=1时的差，根据已知条件不能判断x=1时是最低点，所以①中的式子不一定成立；②根据a、b的关系确定对称轴，然后得出抛物线与x轴的两个交点，再根据二次函数与不等式的关系判断②；把x=1代入方程，得到a、b、c之间的关系，再根据抛物线上点的坐标特征判断③；根据c>a，a>0，a−b+c=0，可确定抛物线的大体位置，再根据抛物线的增减性判断④．
本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数与不等式，方程的关系，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．

15.【答案】x1=−4，x2=−1 
【解析】解：∵抛物线y=a(x+m+2)2+b是由抛物线y=a(x+m)2+b向左平移2个单位所得，
∴抛物线y=a(x+m+2)2+b与x轴交点坐标为(−4,0)，(−1,0)，
∴方程a(x+m+2)2+b=0的解是：x1=−4，x2=−1．
故答案为：x1=−4，x2=−1．
由抛物线y=a(x+m+2)2+b是由抛物线y=a(x+m)2+b向左平移2个单位所得，从而可得平移后抛物线与x轴交点坐标，进而求解．
本题考查抛物线与x轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象平移规律．

16.【答案】(−5,−4)或(0,1) 
【解析】解：把点D(m,m+1)代入抛物线y=−x2−6x−5中得：
m+1=−m2−6m−5，
解得：m1=−1，m2=−6，
∴D(−1,0)或(−6,−5)，
当y=0时，−x2−6x−5=0，
∴x=−1或−5，
∴A(−5,0)，B(−1,0)，
当x=0时，y=−5，
∴OC=OA=5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
①如图1，D(−1,0)，此时点D与B重合，连接AD′，

∵点D与D′关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD′=−1−(−5)=4，且∠OAC=∠CAD′=45°，
∴∠OAD′=90°，
∴D′(−5,−4)；
②如图2，D(−6,−5)，

∵点D(m,m+1)，
∴点D在直线y=x+1上，此时直线y=x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D′在直线y=x+1上，
∵A(−5,0)，C(0,−5)，
则直线AC的解析式为：y=−x−5，
∵−x−5=x+1，
∴x=−3，
∴E(−3,−2)，
∵点D与D′关于直线AC对称，
∴E是DD′的中点，
∴D′(0,1)，
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为(−5,−4)或(0,1)．
故答案为：(−5,−4)或(0,1)．
由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB=4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．

17.【答案】解：将(−1,0)代入y=ax2+2x+3得0=a−2+3，
解得a=−1，
∴y=−x2+2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=−2−2=1，
∴点B坐标为(3,0)． 
【解析】将(−1,0)代入解析式求出a的值，进而求解．
本题考查二次函数与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．

18.【答案】解：(1)将(2,4)代入y=x2+mx+m2−3得4=4+2m+m2−3，
解得m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1．
(2)∵m=1，
∴y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点． 
【解析】(1)将(2,4)代入解析式求解．
(2)由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．

19.【答案】解：(1)①不是
②0
(2)∵点(p,q)在反比例函数y=8x的图象上，
∴pq=8，
关于x的方程px2−6x+q=0的根为x=6±36−4pq2p=6±22p，
即：x1=2p，x2=4p，
∴x2=2x1，
因此是“半等分根方程”．
(3)∵方程ax2+bx+c=0是半等分根方程，
∴设x1=2x2，
∵相异两点M (1+t,s)，N (4−t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴抛物线的对称轴为直线x=1+t+4−t2=52，
∴x1+x2=5，
∴x2+2x2=5，
∴x2=53． 
【解析】解：(1)①解方程x2−2x−8=0得，x1=4，x2=−2，
所以，方程x2−2x−8=0不是半等分根方程，
故答案：不是；
②方程(x−1)(mx+n)=0的一个根为1，则另一个根为12或2，
当另一个根为12时，则−12×(12m+n)=0，∴m+2n=0，
当另一个根为2时，则1×(2m+n)=0，∴2m+n=0，
∴m2+52mn+n2=12(2m+n)(m+2n)=0，
故答案为0；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)①求得方程的根，根据“半等分根方程”的定义判定即可；
②方程有一个根为1，由“半等分根方程”的意义可知另一个根为12或2，当另一个根为12时代入方程可得m−n=0，当另一个根为2代入方程可得4m−n=0，而代数式4m2−5mn+n2可分解为(m−n)(4m−n)，因此4m2−5mn+n2=(m−n)(4m−n)=0，
(2)点(p,q)在反比例函数y=8x的图象上，可得pq=8，再根据求根公式求出方程的两个根为x1=2p，x2=4p，进而判断是“半等分根方程”；
(3)求得抛物线对称轴，然后利用“半等分根方程”的定义以及方程与二次函数的关系进行解答．，
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程与抛物线的关系，一元二次方程的根与系数的关系，以及新定义“半等分根方程”的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系和“半等分根方程”的意义是解决问题的关键．

20.【答案】解：(1)由二次函数y=(x+1)(x+a)(a为常数)知，该抛物线与x轴的交点坐标是(−1,0)和(−a,0)．
∵对称轴为直线x=1，
∴−1−a2=1．
解得a=−3；
(2)由(1)知，a=−3，则该抛物线解析式是：y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3．
∴抛物线向上平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x2−2x． 
【解析】(1)根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
(2)将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．

21.【答案】解：(1)∵二次函数的图象经过点P(2,−1)，
∴(2−a)(2−a+2)=−1，
解得：a=3，
∴y=(x−3)(x−3+2)=x2−4x+3，
∴二次函数的表达式为y=x2−4x+3；
(2)由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1=a，x2=a−2，
∴二次函数的对称轴为直线x=x1+x22=a−1，
把x=a−1代入解析式得顶点纵坐标为−1，
∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k−1，
∵图象与轴无交点，
∴k−1>0，
∴k>1；
(3)∵二次函数的对称轴为直线x=x1+x22=a−1，不妨设m ∵|m−n|=d，
∴m=a−1−d2，n=a−1+d2，
把x=a−1−d2，y=t代入函数解析式，得t=14d2−1，
∵d≥2，
∴t的最小值为0． 
【解析】(1)把P(2,−1)代入解析式，即可解得a值，即可求解；
(2)先由二次函数交点式求出抛物线的对称轴，从而求得顶点纵坐标为−1，则将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k−1，因为图象与x轴无交点，所以k−1>0，即可求解；
(3)二次函数的对称轴为直线x=x1+x22=a−1，不妨设m 本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象性质是解题词的关键．

22.【答案】解：(1)二次函数图象向下平移3个单位后解析式为y=x2−2mx+m2−4，
由题意得m2−4=0，
解得m=±2．
(2)①∵y=x2−2mx+m2−1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−2m2=m，
∵m−(m−3)>m+2−m，
∴y1>y2．
②令x2−2mx+m2−1=0，则(x−m)2=1，
解得x1=m−1，x2=m+1，
∴AB=2，点C坐标为欸(m,−1)，
∴S△ABC=12AB⋅|yC|=12×2×1=1． 
【解析】(1)求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解．
(2)①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解．
②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．

23.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+3的图象经过点B，C，
∴C(0,3)，B(3,0)，
设点A(m,0)，
∴抛物线对称轴为x=12(3+m)，
∴点D(32+m2,−12m+32)，
∵S△ABD=4，
∴12(3−m)(−12m+32)=4，
解得：m=−1或m=7(舍去)，
∴点A(−1,0)，
将A，B，C三点坐标代入解析式得：
c=3a−b+c=09a+3b+c=0，
解得：c=3a=−1b=2，
∴抛物线的函数解析式为y=−x2+2x+3；
(2)过点P作PE//OC交BC于E，PF⊥BC于F，

∵OC=OB=3，∠COB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵PE//OC，
∴∠PEF=∠OBC=45°，
∴PF=PE×sin45°=22PE，
∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，
设P(x,−x2+2x+3)，则点E(x,−x+3)，
∴PE=−x2+2x+3−(−x+3)=−x2+3x=−(x−32)2+94，
∵−1<0，
∴当x=32时，PE最大值为94，
∴PF最大=22PE最大=22×94=928，
∴点P到直线BC的距离的最大值为928． 
【解析】(1)先利用一次函数求出B、C坐标，设点A(m,0)，求出点D(32+m2,−12m+32)，根据SABD=4，列出方程12(3−m)(−12m+32)=4求出m的值，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
(2)过点P作PE//OC交BC于E，PF⊥BC于F，先证∠OCB=∠OBC=45°，利用平行线性质求出∠PEF=∠OCB=45°，利用三角函数得出PF=PExsin45°=22PE，点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P(x,−x2+2x+3)则点E(x,−x+3)，求出PE=−(x−32)2+94即可．
本题考查一次函数与两轴的交点坐标，等腰三角形面积，一元二次方程，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，两点距离，二次函数的性质，本题难度一般，是常考题型．