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小升初数学暑假专题训练 《比和比例》 （试题） 人教版数学六年级下册
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这是一份小升初数学暑假专题训练 《比和比例》 （试题） 人教版数学六年级下册，共30页。试卷主要包含了成正比例关系，不成立，1.25， ，已知a的和b的相等，那么a等内容，欢迎下载使用。
《比和比例》
一．选择题（共5小题）
1．（2022•东莞市）正方体的表面积与（ ）成正比例关系。
A．棱长 B．体积
C．一个面的面积 D．6个面
2．（2022•淮滨县）如图，一个直角三角形，a、b分别是两条直角边，斜边c上的高为d。根据这些信息，下列式子中（ ）不成立。
A．a：c＝d：b B．a：d＝c：b C．＝ D．＝
3．（2022•江夏区）将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（ ）
A．2：3 B．π：1 C．157：200 D．π：4
4．（2022•海宁市）下面说法正确的是（ ）
A．一个两位小数四舍五入保留一位小数是10.0，这个小数最小是9.55
B．一个草坪长120m，宽80m，把它画在作业本上，选用比例尺较合适
C．连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数
D．正方体的表面积和棱长成正比例
5．（2021•铜仁市）、3.1：2.9、0.6：1.2这三个比中，哪个比的比值最小（ ）
A．0.6：1.2 B．3.1：2.9 C．
二．填空题（共5小题）
6．（2022•零陵区）1.25：化成最简单的整数比是 ，比值是 。
7．（2022•吉安县） ：12＝七成半＝ %
8．（2022•平桥区）如图，四个相同的直角三角形围成一个正方形，已知a＝3b，则阴影部分与整个图形的面积关系分别用最简比、百分数表示是 ： ＝ %。
9．（2022•五华区）下面的图象表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程情况。
（1）根据图象，汽车所行驶的路程和时间成 关系。
（2）行驶8千米路程，甲汽车比乙汽车少用 分钟。
（3）照这样的速度，乙汽车行驶30千米需要 分钟。
10．（2022•阳新县）已知a的和b的相等，那么a：b＝ ，a和b成 比例．
三．计算题（共4小题）
11．（2022•长垣市）解方程或比例。
0.4：x＝3：0.125
0.75：1.5＝
x÷＝31.5
6×4.5﹣3x＝23.85
12．（2022•渑池县）解比例。
2.8：4.2＝x：9.6
＝
13．（2021•灵寿县）化简比。
0.35：0.7
：
1.2时：80分
14．（2021•石家庄）化简比。
54：18
：0.15
：2.8
3.5吨：450千克
四．应用题（共6小题）
15．（2022•慈溪市）工程队修一条路。第一天修了全长的，第二天修的与全长的比是2：5.如果这两天共修770米，这条路全长多少米？
16．（2022•新县）客车和货车同时从A、B两地相对开出，两车在距离两地中点10km处相遇。已知客车和货车的速度比5：4，求A、B两地之间的距离。
17．（2022•洪江市）工厂里共有27名职工，现在因工作需要调走了2名女工，剩下的女工人数与男工人数的比是3：2，工厂原有女工多少人？
18．（2022•淮滨县）一辆客车和一辆小轿车从相距约450km的南阳和武汉两地同时出发，相向而行，2.5小时后相遇。已知客车的速度与小轿车的速度比是4：5，客车和小轿车的速度分别是多少？
19．（2021•德宏州）一方有难八方支援。瑞丽疫情期间，某市向瑞丽捐献了大量生活物资。一辆汽车每次运6.8吨，5辆汽车可以运完，如果每辆汽车每次运8.5吨，需要多少辆汽车才能运完？（用比例知识解答）
20．（2020•威远县）一本故事书，小梦第一天看了这本故事书的，第二天看了50页，这时看了的页数和没有看的页数的比是1：3。这本故事书一共有多少页？
《比和比例》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2022•东莞市）正方体的表面积与（ ）成正比例关系。
A．棱长 B．体积
C．一个面的面积 D．6个面
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．菁优网版权所有
【专题】推理能力．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.正方体的表面积÷棱长的平方＝6（一定），商一定，所以正方体的表面积与棱长的平方成正比例关系，但与棱长不成比例；
B.正方体的表面积体积都是由棱长决定的，所以正方体的表面积与体积不成比例；
C.正方体的表面积÷一个面的面积＝6（一定），商一定，所以正方体的表面积与一个面的面积成正比例关系；
D.正方体的表面积÷6个面＝1个面的面积（不一定），商不一定，所以正方体的表面积与6个面不成比例。
故选：C。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
2．（2022•淮滨县）如图，一个直角三角形，a、b分别是两条直角边，斜边c上的高为d。根据这些信息，下列式子中（ ）不成立。
A．a：c＝d：b B．a：d＝c：b C．＝ D．＝
【考点】比例的意义和基本性质．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】一个直角三角形，a、b分别是两条直角边，d是斜边c上的高，根据在直角三角形中两条直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab＝cd，选项中的比例外项积等于内项积，能化成ab＝cd的形式，即为正确，反之错误。
【解答】解：A.a：c＝d：b，根据比例的基本性质，可转化为ab＝cd，所以成立；
B.a：d＝c：b，根据比例的基本性质，可转化为ab＝cd，所以成立；
C.＝，根据比例的基本性质，可转化为ac＝bd，跟原式不符，所以不成立；
D.＝，根据比例的基本性质，可转化为ab＝cd，所以成立。
故选：C。
【点评】本题的关键是掌握两点：一是在直角三角形中两条直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；二是比例的基本性质。
3．（2022•江夏区）将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（ ）
A．2：3 B．π：1 C．157：200 D．π：4
【考点】比的应用．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】体积最大的圆柱体它的底面的直径和高都是正方体的棱长；设正方体的棱长是1，由此求出正方体和圆柱体的体积，再用圆柱的体积比正方体的体积即可。
【解答】解：设正方体的棱长是1
正方体的体积是1×1×1＝1
1÷2＝0.5
圆柱的体积是：
3.14×0.52×1
＝3.14×0.25×1
＝0.785
0.785：1＝157：200
答：削成的圆柱与原来正方体体积的比是157：200。
故选：C。
【点评】本题关键是找出圆柱体的底面直径和高与正方体的棱长之间的关系，然后设出数据，求出它们的体积，进而求解。
4．（2022•海宁市）下面说法正确的是（ ）
A．一个两位小数四舍五入保留一位小数是10.0，这个小数最小是9.55
B．一个草坪长120m，宽80m，把它画在作业本上，选用比例尺较合适
C．连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数
D．正方体的表面积和棱长成正比例
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；比例尺；2、3、5的倍数特征；近似数及其求法．菁优网版权所有
【专题】推理能力．
【分析】根据四舍五入法，五入得到的10.0最小是9.95；
根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算出图上距离，看是否合适；
连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数；
判断两个相关联的量成正比例还是反比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定，如果比值一定，则成正比例，如果乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.一个两位小数四舍五入保留一位小数是10.0，这个小数最小是9.95，所以原题说法错误；
B.120m＝12000cm，80m＝8000cm
12000×＝60（cm）
8000×＝40（cm）
所以选用比例尺不合适，原题说法错误；
C.连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数的说法正确；
D.正方体的表面积÷棱长的平方＝6（一定），所以正方体的表面积和棱长的平方成正比例，但和棱长不成比例。
故选：C。
【点评】本题考查了用四舍五入的方法取近似值、图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系、3的倍数的有关知识以及判断两个相关联的量成正比例还是反比例的方法。
5．（2021•铜仁市）、3.1：2.9、0.6：1.2这三个比中，哪个比的比值最小（ ）
A．0.6：1.2 B．3.1：2.9 C．
【考点】求比值和化简比．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】分别用每个比的前项除以后项，求出比值，进而比较比值的大小解答即可。
【解答】解：
3.1：2.9＝3.1÷2.9＝
0.6：1.2＝0.6÷1.2＝0.5
＞0.5
所以、3.1：2.9、0.6：1.2这三个比中，0.6：1.2的比值最小。
故选：A。
【点评】此题考查求比值的方法，要注意求比值的结果是一个数，也考查了异分母分数的大小比较。
二．填空题（共5小题）
6．（2022•零陵区）1.25：化成最简单的整数比是 25：9 ，比值是 。
【考点】求比值和化简比．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比。用最简比的前项除以后项，所得的商即为比值。
【解答】解：（1）1.25：
＝（1.25×20）：（×20）
＝25：9
（2）25：9
＝25÷9
＝
故答案为：25：9；。
【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
7．（2022•吉安县） 9 ：12＝七成半＝ 75 %
【考点】比与分数、除法的关系．菁优网版权所有
【专题】数感．
【分析】七成半即七成五，根据成数的意义，七成五就是75%；把75%化成分母是100的分数再化简是，根据比与分数的关系，＝3：4，再根据比的基本性质比的前、后项都乘3就是9：12。
【解答】解：9：12＝七成半＝75%
故答案为：9，75。
【点评】此题主要是考查百分数、比、成数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
8．（2022•平桥区）如图，四个相同的直角三角形围成一个正方形，已知a＝3b，则阴影部分与整个图形的面积关系分别用最简比、百分数表示是 5 ： 8 ＝ 62.5 %。
【考点】求比值和化简比；百分数的实际应用．菁优网版权所有
【专题】几何直观；运算能力．
【分析】分别求出大正方形和阴影部分的面积，再求两个面积比，最后将比值化成百分数。
【解答】解：由a＝3b
大正方形的面积：（a+b）2＝（3b+b）2＝16b2
4个三角形的面积和：4×ab＝4×（×3b×b）＝6b2
阴影部分面积：16b2﹣6b2＝10b2
所以阴影部分与整个图形的面积比为：10b2：16b2＝5：8
5：8＝5÷8＝0.625＝62.5%
故答案为：5，8，62.5。
【点评】本题考查了比的化简和用字母表示数，关键是如何用字母b表示大正方形及阴影部分的面积。
9．（2022•五华区）下面的图象表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程情况。
（1）根据图象，汽车所行驶的路程和时间成 正比例 关系。
（2）行驶8千米路程，甲汽车比乙汽车少用 4 分钟。
（3）照这样的速度，乙汽车行驶30千米需要 30 分钟。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；正比例．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】（1）正比例图像是一条经过原点的直线，反比例的图像是一条平滑的曲线；
（2）根据图像，找到行驶8千米路程，两车分别用的时间，再相减即可；
（3）根据路程÷速度＝时间，代入数据计算即可解答。
【解答】解：（1）由图像是两条过原点的直线可知，汽车所行驶的路程和时间成正比例关系；
（2）从图像可以看出，行驶8千米路程甲汽车用4分钟，乙汽车用8分钟，8﹣4＝4（分钟）
答：甲汽车比乙汽车少用4分钟。
（3）30÷（8÷8）
＝30÷1
＝30（分钟）
答：乙汽车行驶30千米需要30分钟。
故答案为：正比例，4，30。
【点评】熟练掌握正比例关系的图像特征以及速度、路程、时间的关系是解题的关键。
10．（2022•阳新县）已知a的和b的相等，那么a：b＝ 10：3 ，a和b成 正 比例．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．菁优网版权所有
【专题】比和比例．
【分析】先依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式，再据正、反比例的意义，即可判定a和b成何比例．
【解答】解：因为a的和b的相等，
则a×＝b×
所以a：b＝10：3＝（一定）
所以a和b成正比例；
故答案为：10：3、正．
【点评】此题主要考查比例的基本性质的逆运用，若两个相关联量得比值（或乘积）一定，则这两个量成正（或反）比例．
三．计算题（共4小题）
11．（2022•长垣市）解方程或比例。
0.4：x＝3：0.125
0.75：1.5＝
x÷＝31.5
6×4.5﹣3x＝23.85
【考点】解比例；方程的解和解方程．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例转化x＝0.4×0.125的形式，再根据等式的性质，求出比例的解。
（2）根据比例的基本性质，把比例转化1.5x＝0.75×8的形式，再根据等式的性质，求出比例的解。
（3）根据等式的性质，在方程两边同时乘，再同时除以，即可求出方程的解。
（4）先化简，再根据等式的性质，在方程两边同时加3x，再同时减23.85，最后同时除以3即可。
【解答】解：（1）0.4：x＝3：0.125
x＝0.4×0.125
x÷＝0.4×0.125÷
x＝
（2）0.75：1.5＝
1.5x＝0.75×8
1.5x÷1.5＝0.75×8÷1.5
x＝4
（3）x÷＝31.5
x÷×＝31.5×
x＝6.3
x÷＝6.3÷
x＝8.4
（4）6×4.5﹣3x＝23.85
27﹣3x＝23.85
27﹣3x+3x＝23.85+3x
23.85+3x﹣23.85＝27﹣23.85
3x＝3.15
3x÷3＝3.15÷3
x＝1.05
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
12．（2022•渑池县）解比例。
2.8：4.2＝x：9.6
＝
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【专题】运算能力．
【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以4.2；
（2）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时乘8；
（3）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以0.6。
【解答】解：（1）2.8：4.2＝x：9.6
4.2x＝2.8×9.6
4.2x÷4.2＝26.88÷4.2
x＝6.4
（2）＝
x＝
8×x＝
x＝
（3）＝
0.6x＝18
0.6x÷0.6＝18÷0.6
x＝30
【点评】熟练掌握比例的基本性质和等式的基本性质是解题的关键。
13．（2021•灵寿县）化简比。
0.35：0.7
：
1.2时：80分
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【专题】运算能力．
【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比。
【解答】解：0.35：0.7
＝（0.35÷0.35）：（0.7÷0.35）
＝1：2
：
＝（×35）：（×35）
＝25：21
1.2时：80分
＝72分：80分
＝（72÷8）：（80÷8）
＝9：10
【点评】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
14．（2021•石家庄）化简比。
54：18
：0.15
：2.8
3.5吨：450千克
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【专题】运算能力．
【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比。
【解答】解：54：18
＝（54÷18）：（18÷18）
＝3：1
：0.15
＝（×）：（0.15×）
＝10：1
：2.8
＝（×）：（2.8×）
＝1：7
3.5吨：450千克
＝3500千克：450千克
＝（3500÷50）：（450÷50）
＝70：9
【点评】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
四．应用题（共6小题）
15．（2022•慈溪市）工程队修一条路。第一天修了全长的，第二天修的与全长的比是2：5.如果这两天共修770米，这条路全长多少米？
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【专题】应用意识．
【分析】把这条路的全长看作单位“1”，两天修了全长的（+），用770除以这个分率即可求解。
【解答】解：770÷（+）
＝770÷
＝1050（米）
答：这条路全长1050米。
【点评】本题主要考查了比的应用，解题的关键是找出单位“1”及两天共修的分率。
16．（2022•新县）客车和货车同时从A、B两地相对开出，两车在距离两地中点10km处相遇。已知客车和货车的速度比5：4，求A、B两地之间的距离。
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【专题】运算能力．
【分析】因为客车与货车的速度比是5：4，相遇时客车、货车行驶的路程的比就是5：4，那么货车就行了全程的，此时在距中点10千米处相遇，即10千米就占全程的（﹣）所以用10除以（﹣）就是全程的路程。
【解答】解：10÷（﹣）
＝10÷（）
＝10
＝180（千米）
答：A、B两地之间的距离是180千米。
【点评】解答此题的关键是找出与30千米相互对应的分率就是客车超出中点几分之几。
17．（2022•洪江市）工厂里共有27名职工，现在因工作需要调走了2名女工，剩下的女工人数与男工人数的比是3：2，工厂原有女工多少人？
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【专题】运算能力．
【分析】调走2名女工后，还有（27﹣2）名职工，剩下的女工人数与男工人数的比是3：2，则剩下的女工人数占调走后职工人数的，用乘法计算，得出剩下的女工人数，再加2名，即可得解。
【解答】解：（27﹣2）×+2
＝25×+2
＝15+2
＝17（人）
答：工厂原有女工17人。
【点评】本题主要考查了比的应用，已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。
18．（2022•淮滨县）一辆客车和一辆小轿车从相距约450km的南阳和武汉两地同时出发，相向而行，2.5小时后相遇。已知客车的速度与小轿车的速度比是4：5，客车和小轿车的速度分别是多少？
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【专题】运算能力；应用意识．
【分析】根据“速度＝路程÷时间”，用南阳和武汉的距离除以两车的相遇时间，就是两车的速度之和。把两车的速度之和除以（4+5），先用除法求出1份是多少，再用乘法分别求出4份、5份各是多少，即客车、小轿车的速度各是多少。
【解答】解：450÷2.5÷（4+5）
＝180÷9
＝20（km/h）
20×4＝80（km/h）
20×5＝100（km/h）
答：客车的速度是80km/h，小轿车的速度是100km/h。
【点评】此题是考查比的意义及应用。除按上述解答方法外，在求出两车的速度之和后，也可把比转化成分数（客车、小轿车的速度各占两车速度和的几分之几），再根据分数乘法的意义解答。
19．（2021•德宏州）一方有难八方支援。瑞丽疫情期间，某市向瑞丽捐献了大量生活物资。一辆汽车每次运6.8吨，5辆汽车可以运完，如果每辆汽车每次运8.5吨，需要多少辆汽车才能运完？（用比例知识解答）
【考点】比例的应用．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】这批生活物资的总吨数不变，汽车的载重量与汽车的辆数成反比例关系。设需要x辆汽车才能运完，根据“汽车的载重量×汽车的辆数＝这批生活物资的总吨数”即可列比例解答。
【解答】解：设需要x辆汽车才能运完。
8.5x＝6.8×5
8.5x÷8.5＝6.8×5÷8.5
x＝4
答：需要4辆汽车才能运完。
【点评】列比例与列方程相同，关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
20．（2020•威远县）一本故事书，小梦第一天看了这本故事书的，第二天看了50页，这时看了的页数和没有看的页数的比是1：3。这本故事书一共有多少页？
【考点】比例的应用．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】把这本故事书的页数看作单位“1”，小梦第一天看了这本故事书的，第二天看了50页，这时已看了这本故事书的。50页正好是这本故事书页数的（﹣），根据分数除法的意义，用50页除以（﹣），就是这本故事书的页数。
【解答】解：50÷（﹣）
＝50÷（﹣）
＝50÷
＝300（页）
答：这本故事书一共有300页。
【点评】解答此题的关键是是把比转化成分数，进而求出50页占这本故事书的几分之几，再根据分数除法的意义解答。
考点卡片
1．2、3、5的倍数特征
【知识点归纳】
2、3、5的倍数特征：
被2整除特征：偶数
被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除
被5整除特征：个位上是0或5的数
同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除．
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除．
各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．
【命题方向】
常考题型
例1：能同时被2、3、5整除的最大三位数是 990 ．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0，
被2和5整除，同时要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
例2：104至少再加上 16 ，才能同时被2、3、5整除．
分析：能同时被2、3、5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，且各个数位上的数字之和能被3整除，由此确定104至少再加上16．
解：根据分析，104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
故答案为：16．
点评：此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．
2．近似数及其求法
【知识点归纳】
近似数：一个数与准确数相近（比准确数略多或者略少些），这一个数称之为近似数．
四舍五入法：如果被舍去部分的首位数字小于5，就舍去这些数字；如果被舍去部分的首位数字是5或大于5，就要在保留部分的末尾数字上加1．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个两位小数取近似值后是3.8，这个数最大是 3.84 ，最小是 3.75 ．
分析：（1）两位小数取近似值后是3.8，这个数最大是百分位上的数舍去，舍去的数有：1，2，3，4，其中4是最大的，据此解答；
（2）最小是百分位上的数进一，进一的数有：5，6，7，8，9，其中5是最小的，因为进一，保留后十分位是8，那么原来十分位是8﹣1＝7，据此解答．
解：（1）这个数最大是百分位上的数舍去，舍去的数有：1，2，3，4，其中4是最大的，所以这个数是3.84；
（2）这个数最小是百分位上的数进一，进一的数有：5，6，7，8，9，其中5是最小的，所以这个数是3.75；
故答案为：3.84，3.75．
点评：本题主要考查近似数的求法，注意最大是百分位上的数舍去，最小是百分位上的数进一．
例2：9.0968精确到十分位约是 9.1 ，保留两位小数约是 9.10 ，保留整数约是 9 ．
分析：9.0968精确到十分位，就要看百分位上的数是否满5；保留两位小数，就是精确到百分位，就要看千分位上的数是否满5；保留整数，就是精确到个位，就要看十分位上的数是否满5；再运用“四舍五入”法求得近似值即可．
解：9.0968≈9.1；
9.0968≈9.10；
9.0968≈9．
故答案为：9.1，9.10，9．
点评：此题考查运用“四舍五入”法求一个数的近似值，要看清精确到哪一位，就根据它的下一位上的数是否满5，再进行四舍五入．
3．方程的解和解方程
【知识点归纳】
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
求方程的解的过程，叫做解方程．
【命题方向】
常考题型：
例1：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做（ ）
A、方程 B、解方程 C、方程的解 D、方程的得数
分析：根据方程的解的意义进行选择即可．
解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
故选：C．
点评：此题主要考查方程的解的意义．
例2：x＝4是方程（ ）的解．
A、8x÷2＝16 B、20x﹣4＝16 C、5x﹣0.05×40＝0 D、5x﹣2x＝18
分析：使方程的左右两边相等的未知数的值，是这个方程的解，把x＝4代入下列方程中，看左右两边是否相等即可选择．
解：A、把x＝4代入方程：左边＝8×4÷2＝16，右边＝16；左边＝右边，所以x＝4是这个方程的解；
B、把x＝4代入方程：左边＝20×4﹣4＝76，右边＝16；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
C、把x＝4代入方程：左边＝5×4﹣0.05×40＝20﹣2＝18，右边＝0；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
D、把x＝4代入方程：左边＝5×4﹣2×4＝12，右边＝18；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
故选：A．
点评：将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．
4．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：＝16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：＝4÷5＝16÷20，
＝4：5＝8：10，
＝0.8＝80%＝八成，
故答案为：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
5．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
6．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
7．比例的意义和基本性质
【知识点归纳】
比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．
组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．
如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16
【命题方向】
常考题型：
例1：下面能与：组成比例的是（ ）
A、3：4 B、4：3 C、：
分析：根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．所以先求出：的比值，然后求出各答案中的比的比值，哪个比的比值与：的比值相等，就是能与：组成比例的比，据此解答．
解：：＝，
A、3：4＝，
B、4：3＝，
C、：＝，
所以能与：组成比例的比是4：3；
故选：B．
点评：本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例．
例2：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（ ）
A、8 B、12 C、24 D、36
分析：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，由4变成12，这样两内项的积就成了108，根据比例的性质，两外项的积也得是108，再用108除以前一个比的前项3即得后一个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可．
解：比例3：4＝9：12中，第一个比的后项加上8，由4变成12，
则两内项的积：12×9＝108，
两外项的积也得是108，
第二个比的后项应是：108÷3＝36，
第二个比的后项应加上：36﹣12＝24；
故选：C．
点评：此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
8．正比例
正比例
9．辨识成正比例的量与成反比例的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：＝k（一定）．
2．成反比例的量：
（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．
（2）相对应的两个数的乘积一定．
（3）关系式：xy＝k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例．
【命题方向】
常考题型：
例：下列x和y成反比例关系的是（ ）
A、y＝3+x B、x+y＝ C、x＝y D、y＝
分析：判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择．
解：A、因为y＝3+x，所以y﹣x＝3（一定），是x和y的差一定，x和y不成比例；
B、因为x+y＝（一定），是x和y的和一定，x和y不成比例；
C、因为x＝，所以x÷y＝（一定），是比值一定，x和y成正比例；
D、因为y＝所以xy＝1，是乘积一定，x和y成反比例；
故选：D．
点评：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择．
10．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项＝
（2）求未知内项＝
【命题方向】
常考题型：
例1：在比例中，两个外项的积是，其中的一个内项是4，另一个内项是 ．
分析：分析“两个外项的积是，其中的一个内项是4”这两个条件，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，用两个外项的积除以其中的一个内项，算出另一个内项是多少．
解：÷4＝×＝
故答案为：．
点评：这道题重点考查学生对于比例的基本性质的应用．
例2：如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项（ ）
A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例
分析：根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积＝1（为恒指），
则比例的两个内项成反比例．
故选：A．
点评：本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
11．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
【命题方向】
常考题型：
例：从甲地到乙地，客车和货车所用的时间比是4：5，那么它们的速度之比是（ ）
A、5：4 B、： C、4：5
分析：路程一定，速度与时间成反比例，所以甲乙的速度比正好与他们的时间比相反，据此选出即可．
解：甲地到乙地的路程一定，速度与时间成反比例，
客车和货车所用的时间比是4：5，
则客车和货车的速度比是5：4．
故选：A．
点评：路程一定时，用的时间越少，速度就越快，它们成反比例．
12．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
13．比例尺
【知识点归纳】
1．比例尺：
表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺．
即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺分类：
比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：
（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比．
（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离．
2．比例尺表示方法：
用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：．
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离．
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一．
3．比例尺公式：
图上距离＝实际距离×比例尺
实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺＝图上距离÷实际距离．
【命题方向】
常考题型：
例1：图上6厘米表示实际距离240千米，这幅图的比例尺是（ ）
A、1：40000 B、1：400000 C、1：4000000
分析：比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
解：240千米＝24000000厘米，
比例尺为6：24000000＝1：4000000．
故选：C．
点评：考查了比例尺的概念，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
例2：把线段比例尺，改为数值比例尺是（ ）
A、110 B、1：100000 C、1：1000000
分析：图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可将线段比例尺改写成数值比例尺．
解：因为10千米＝1000000里面，
则1里面：1000000里面＝1：1000000；
答：改成数值比例尺为1：1000000．
故选：C．
点评：此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
:25:17；
《比和比例》
一．选择题（共5小题）
1．（2022•东莞市）正方体的表面积与（ ）成正比例关系。
A．棱长 B．体积
C．一个面的面积 D．6个面
2．（2022•淮滨县）如图，一个直角三角形，a、b分别是两条直角边，斜边c上的高为d。根据这些信息，下列式子中（ ）不成立。
A．a：c＝d：b B．a：d＝c：b C．＝ D．＝
3．（2022•江夏区）将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（ ）
A．2：3 B．π：1 C．157：200 D．π：4
4．（2022•海宁市）下面说法正确的是（ ）
A．一个两位小数四舍五入保留一位小数是10.0，这个小数最小是9.55
B．一个草坪长120m，宽80m，把它画在作业本上，选用比例尺较合适
C．连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数
D．正方体的表面积和棱长成正比例
5．（2021•铜仁市）、3.1：2.9、0.6：1.2这三个比中，哪个比的比值最小（ ）
A．0.6：1.2 B．3.1：2.9 C．
二．填空题（共5小题）
6．（2022•零陵区）1.25：化成最简单的整数比是 ，比值是 。
7．（2022•吉安县） ：12＝七成半＝ %
8．（2022•平桥区）如图，四个相同的直角三角形围成一个正方形，已知a＝3b，则阴影部分与整个图形的面积关系分别用最简比、百分数表示是 ： ＝ %。
9．（2022•五华区）下面的图象表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程情况。
（1）根据图象，汽车所行驶的路程和时间成 关系。
（2）行驶8千米路程，甲汽车比乙汽车少用 分钟。
（3）照这样的速度，乙汽车行驶30千米需要 分钟。
10．（2022•阳新县）已知a的和b的相等，那么a：b＝ ，a和b成 比例．
三．计算题（共4小题）
11．（2022•长垣市）解方程或比例。
0.4：x＝3：0.125
0.75：1.5＝
x÷＝31.5
6×4.5﹣3x＝23.85
12．（2022•渑池县）解比例。
2.8：4.2＝x：9.6
＝
13．（2021•灵寿县）化简比。
0.35：0.7
：
1.2时：80分
14．（2021•石家庄）化简比。
54：18
：0.15
：2.8
3.5吨：450千克
四．应用题（共6小题）
15．（2022•慈溪市）工程队修一条路。第一天修了全长的，第二天修的与全长的比是2：5.如果这两天共修770米，这条路全长多少米？
16．（2022•新县）客车和货车同时从A、B两地相对开出，两车在距离两地中点10km处相遇。已知客车和货车的速度比5：4，求A、B两地之间的距离。
17．（2022•洪江市）工厂里共有27名职工，现在因工作需要调走了2名女工，剩下的女工人数与男工人数的比是3：2，工厂原有女工多少人？
18．（2022•淮滨县）一辆客车和一辆小轿车从相距约450km的南阳和武汉两地同时出发，相向而行，2.5小时后相遇。已知客车的速度与小轿车的速度比是4：5，客车和小轿车的速度分别是多少？
19．（2021•德宏州）一方有难八方支援。瑞丽疫情期间，某市向瑞丽捐献了大量生活物资。一辆汽车每次运6.8吨，5辆汽车可以运完，如果每辆汽车每次运8.5吨，需要多少辆汽车才能运完？（用比例知识解答）
20．（2020•威远县）一本故事书，小梦第一天看了这本故事书的，第二天看了50页，这时看了的页数和没有看的页数的比是1：3。这本故事书一共有多少页？
《比和比例》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2022•东莞市）正方体的表面积与（ ）成正比例关系。
A．棱长 B．体积
C．一个面的面积 D．6个面
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【专题】推理能力．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.正方体的表面积÷棱长的平方＝6（一定），商一定，所以正方体的表面积与棱长的平方成正比例关系，但与棱长不成比例；
B.正方体的表面积体积都是由棱长决定的，所以正方体的表面积与体积不成比例；
C.正方体的表面积÷一个面的面积＝6（一定），商一定，所以正方体的表面积与一个面的面积成正比例关系；
D.正方体的表面积÷6个面＝1个面的面积（不一定），商不一定，所以正方体的表面积与6个面不成比例。
故选：C。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
2．（2022•淮滨县）如图，一个直角三角形，a、b分别是两条直角边，斜边c上的高为d。根据这些信息，下列式子中（ ）不成立。
A．a：c＝d：b B．a：d＝c：b C．＝ D．＝
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【专题】应用意识．
【分析】一个直角三角形，a、b分别是两条直角边，d是斜边c上的高，根据在直角三角形中两条直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab＝cd，选项中的比例外项积等于内项积，能化成ab＝cd的形式，即为正确，反之错误。
【解答】解：A.a：c＝d：b，根据比例的基本性质，可转化为ab＝cd，所以成立；
B.a：d＝c：b，根据比例的基本性质，可转化为ab＝cd，所以成立；
C.＝，根据比例的基本性质，可转化为ac＝bd，跟原式不符，所以不成立；
D.＝，根据比例的基本性质，可转化为ab＝cd，所以成立。
故选：C。
【点评】本题的关键是掌握两点：一是在直角三角形中两条直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；二是比例的基本性质。
3．（2022•江夏区）将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（ ）
A．2：3 B．π：1 C．157：200 D．π：4
【考点】比的应用．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】体积最大的圆柱体它的底面的直径和高都是正方体的棱长；设正方体的棱长是1，由此求出正方体和圆柱体的体积，再用圆柱的体积比正方体的体积即可。
【解答】解：设正方体的棱长是1
正方体的体积是1×1×1＝1
1÷2＝0.5
圆柱的体积是：
3.14×0.52×1
＝3.14×0.25×1
＝0.785
0.785：1＝157：200
答：削成的圆柱与原来正方体体积的比是157：200。
故选：C。
【点评】本题关键是找出圆柱体的底面直径和高与正方体的棱长之间的关系，然后设出数据，求出它们的体积，进而求解。
4．（2022•海宁市）下面说法正确的是（ ）
A．一个两位小数四舍五入保留一位小数是10.0，这个小数最小是9.55
B．一个草坪长120m，宽80m，把它画在作业本上，选用比例尺较合适
C．连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数
D．正方体的表面积和棱长成正比例
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；比例尺；2、3、5的倍数特征；近似数及其求法．菁优网版权所有
【专题】推理能力．
【分析】根据四舍五入法，五入得到的10.0最小是9.95；
根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算出图上距离，看是否合适；
连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数；
判断两个相关联的量成正比例还是反比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定，如果比值一定，则成正比例，如果乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.一个两位小数四舍五入保留一位小数是10.0，这个小数最小是9.95，所以原题说法错误；
B.120m＝12000cm，80m＝8000cm
12000×＝60（cm）
8000×＝40（cm）
所以选用比例尺不合适，原题说法错误；
C.连续3个正整数中，一定有一个数是3的倍数的说法正确；
D.正方体的表面积÷棱长的平方＝6（一定），所以正方体的表面积和棱长的平方成正比例，但和棱长不成比例。
故选：C。
【点评】本题考查了用四舍五入的方法取近似值、图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系、3的倍数的有关知识以及判断两个相关联的量成正比例还是反比例的方法。
5．（2021•铜仁市）、3.1：2.9、0.6：1.2这三个比中，哪个比的比值最小（ ）
A．0.6：1.2 B．3.1：2.9 C．
【考点】求比值和化简比．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】分别用每个比的前项除以后项，求出比值，进而比较比值的大小解答即可。
【解答】解：
3.1：2.9＝3.1÷2.9＝
0.6：1.2＝0.6÷1.2＝0.5
＞0.5
所以、3.1：2.9、0.6：1.2这三个比中，0.6：1.2的比值最小。
故选：A。
【点评】此题考查求比值的方法，要注意求比值的结果是一个数，也考查了异分母分数的大小比较。
二．填空题（共5小题）
6．（2022•零陵区）1.25：化成最简单的整数比是 25：9 ，比值是 。
【考点】求比值和化简比．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比。用最简比的前项除以后项，所得的商即为比值。
【解答】解：（1）1.25：
＝（1.25×20）：（×20）
＝25：9
（2）25：9
＝25÷9
＝
故答案为：25：9；。
【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
7．（2022•吉安县） 9 ：12＝七成半＝ 75 %
【考点】比与分数、除法的关系．菁优网版权所有
【专题】数感．
【分析】七成半即七成五，根据成数的意义，七成五就是75%；把75%化成分母是100的分数再化简是，根据比与分数的关系，＝3：4，再根据比的基本性质比的前、后项都乘3就是9：12。
【解答】解：9：12＝七成半＝75%
故答案为：9，75。
【点评】此题主要是考查百分数、比、成数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
8．（2022•平桥区）如图，四个相同的直角三角形围成一个正方形，已知a＝3b，则阴影部分与整个图形的面积关系分别用最简比、百分数表示是 5 ： 8 ＝ 62.5 %。
【考点】求比值和化简比；百分数的实际应用．菁优网版权所有
【专题】几何直观；运算能力．
【分析】分别求出大正方形和阴影部分的面积，再求两个面积比，最后将比值化成百分数。
【解答】解：由a＝3b
大正方形的面积：（a+b）2＝（3b+b）2＝16b2
4个三角形的面积和：4×ab＝4×（×3b×b）＝6b2
阴影部分面积：16b2﹣6b2＝10b2
所以阴影部分与整个图形的面积比为：10b2：16b2＝5：8
5：8＝5÷8＝0.625＝62.5%
故答案为：5，8，62.5。
【点评】本题考查了比的化简和用字母表示数，关键是如何用字母b表示大正方形及阴影部分的面积。
9．（2022•五华区）下面的图象表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程情况。
（1）根据图象，汽车所行驶的路程和时间成 正比例 关系。
（2）行驶8千米路程，甲汽车比乙汽车少用 4 分钟。
（3）照这样的速度，乙汽车行驶30千米需要 30 分钟。
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量；正比例．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】（1）正比例图像是一条经过原点的直线，反比例的图像是一条平滑的曲线；
（2）根据图像，找到行驶8千米路程，两车分别用的时间，再相减即可；
（3）根据路程÷速度＝时间，代入数据计算即可解答。
【解答】解：（1）由图像是两条过原点的直线可知，汽车所行驶的路程和时间成正比例关系；
（2）从图像可以看出，行驶8千米路程甲汽车用4分钟，乙汽车用8分钟，8﹣4＝4（分钟）
答：甲汽车比乙汽车少用4分钟。
（3）30÷（8÷8）
＝30÷1
＝30（分钟）
答：乙汽车行驶30千米需要30分钟。
故答案为：正比例，4，30。
【点评】熟练掌握正比例关系的图像特征以及速度、路程、时间的关系是解题的关键。
10．（2022•阳新县）已知a的和b的相等，那么a：b＝ 10：3 ，a和b成 正 比例．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．菁优网版权所有
【专题】比和比例．
【分析】先依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式，再据正、反比例的意义，即可判定a和b成何比例．
【解答】解：因为a的和b的相等，
则a×＝b×
所以a：b＝10：3＝（一定）
所以a和b成正比例；
故答案为：10：3、正．
【点评】此题主要考查比例的基本性质的逆运用，若两个相关联量得比值（或乘积）一定，则这两个量成正（或反）比例．
三．计算题（共4小题）
11．（2022•长垣市）解方程或比例。
0.4：x＝3：0.125
0.75：1.5＝
x÷＝31.5
6×4.5﹣3x＝23.85
【考点】解比例；方程的解和解方程．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例转化x＝0.4×0.125的形式，再根据等式的性质，求出比例的解。
（2）根据比例的基本性质，把比例转化1.5x＝0.75×8的形式，再根据等式的性质，求出比例的解。
（3）根据等式的性质，在方程两边同时乘，再同时除以，即可求出方程的解。
（4）先化简，再根据等式的性质，在方程两边同时加3x，再同时减23.85，最后同时除以3即可。
【解答】解：（1）0.4：x＝3：0.125
x＝0.4×0.125
x÷＝0.4×0.125÷
x＝
（2）0.75：1.5＝
1.5x＝0.75×8
1.5x÷1.5＝0.75×8÷1.5
x＝4
（3）x÷＝31.5
x÷×＝31.5×
x＝6.3
x÷＝6.3÷
x＝8.4
（4）6×4.5﹣3x＝23.85
27﹣3x＝23.85
27﹣3x+3x＝23.85+3x
23.85+3x﹣23.85＝27﹣23.85
3x＝3.15
3x÷3＝3.15÷3
x＝1.05
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
12．（2022•渑池县）解比例。
2.8：4.2＝x：9.6
＝
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【专题】运算能力．
【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以4.2；
（2）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时乘8；
（3）根据比例的基本性质，把比例化为方程，两边再同时除以0.6。
【解答】解：（1）2.8：4.2＝x：9.6
4.2x＝2.8×9.6
4.2x÷4.2＝26.88÷4.2
x＝6.4
（2）＝
x＝
8×x＝
x＝
（3）＝
0.6x＝18
0.6x÷0.6＝18÷0.6
x＝30
【点评】熟练掌握比例的基本性质和等式的基本性质是解题的关键。
13．（2021•灵寿县）化简比。
0.35：0.7
：
1.2时：80分
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【专题】运算能力．
【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比。
【解答】解：0.35：0.7
＝（0.35÷0.35）：（0.7÷0.35）
＝1：2
：
＝（×35）：（×35）
＝25：21
1.2时：80分
＝72分：80分
＝（72÷8）：（80÷8）
＝9：10
【点评】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
14．（2021•石家庄）化简比。
54：18
：0.15
：2.8
3.5吨：450千克
【考点】求比值和化简比．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比。
【解答】解：54：18
＝（54÷18）：（18÷18）
＝3：1
：0.15
＝（×）：（0.15×）
＝10：1
：2.8
＝（×）：（2.8×）
＝1：7
3.5吨：450千克
＝3500千克：450千克
＝（3500÷50）：（450÷50）
＝70：9
【点评】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
四．应用题（共6小题）
15．（2022•慈溪市）工程队修一条路。第一天修了全长的，第二天修的与全长的比是2：5.如果这两天共修770米，这条路全长多少米？
【考点】比的应用．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】把这条路的全长看作单位“1”，两天修了全长的（+），用770除以这个分率即可求解。
【解答】解：770÷（+）
＝770÷
＝1050（米）
答：这条路全长1050米。
【点评】本题主要考查了比的应用，解题的关键是找出单位“1”及两天共修的分率。
16．（2022•新县）客车和货车同时从A、B两地相对开出，两车在距离两地中点10km处相遇。已知客车和货车的速度比5：4，求A、B两地之间的距离。
【考点】比的应用．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】因为客车与货车的速度比是5：4，相遇时客车、货车行驶的路程的比就是5：4，那么货车就行了全程的，此时在距中点10千米处相遇，即10千米就占全程的（﹣）所以用10除以（﹣）就是全程的路程。
【解答】解：10÷（﹣）
＝10÷（）
＝10
＝180（千米）
答：A、B两地之间的距离是180千米。
【点评】解答此题的关键是找出与30千米相互对应的分率就是客车超出中点几分之几。
17．（2022•洪江市）工厂里共有27名职工，现在因工作需要调走了2名女工，剩下的女工人数与男工人数的比是3：2，工厂原有女工多少人？
【考点】比的应用．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】调走2名女工后，还有（27﹣2）名职工，剩下的女工人数与男工人数的比是3：2，则剩下的女工人数占调走后职工人数的，用乘法计算，得出剩下的女工人数，再加2名，即可得解。
【解答】解：（27﹣2）×+2
＝25×+2
＝15+2
＝17（人）
答：工厂原有女工17人。
【点评】本题主要考查了比的应用，已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。
18．（2022•淮滨县）一辆客车和一辆小轿车从相距约450km的南阳和武汉两地同时出发，相向而行，2.5小时后相遇。已知客车的速度与小轿车的速度比是4：5，客车和小轿车的速度分别是多少？
【考点】比的应用．菁优网版权所有
【专题】运算能力；应用意识．
【分析】根据“速度＝路程÷时间”，用南阳和武汉的距离除以两车的相遇时间，就是两车的速度之和。把两车的速度之和除以（4+5），先用除法求出1份是多少，再用乘法分别求出4份、5份各是多少，即客车、小轿车的速度各是多少。
【解答】解：450÷2.5÷（4+5）
＝180÷9
＝20（km/h）
20×4＝80（km/h）
20×5＝100（km/h）
答：客车的速度是80km/h，小轿车的速度是100km/h。
【点评】此题是考查比的意义及应用。除按上述解答方法外，在求出两车的速度之和后，也可把比转化成分数（客车、小轿车的速度各占两车速度和的几分之几），再根据分数乘法的意义解答。
19．（2021•德宏州）一方有难八方支援。瑞丽疫情期间，某市向瑞丽捐献了大量生活物资。一辆汽车每次运6.8吨，5辆汽车可以运完，如果每辆汽车每次运8.5吨，需要多少辆汽车才能运完？（用比例知识解答）
【考点】比例的应用．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】这批生活物资的总吨数不变，汽车的载重量与汽车的辆数成反比例关系。设需要x辆汽车才能运完，根据“汽车的载重量×汽车的辆数＝这批生活物资的总吨数”即可列比例解答。
【解答】解：设需要x辆汽车才能运完。
8.5x＝6.8×5
8.5x÷8.5＝6.8×5÷8.5
x＝4
答：需要4辆汽车才能运完。
【点评】列比例与列方程相同，关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
20．（2020•威远县）一本故事书，小梦第一天看了这本故事书的，第二天看了50页，这时看了的页数和没有看的页数的比是1：3。这本故事书一共有多少页？
【考点】比例的应用．菁优网版权所有
【专题】应用意识．
【分析】把这本故事书的页数看作单位“1”，小梦第一天看了这本故事书的，第二天看了50页，这时已看了这本故事书的。50页正好是这本故事书页数的（﹣），根据分数除法的意义，用50页除以（﹣），就是这本故事书的页数。
【解答】解：50÷（﹣）
＝50÷（﹣）
＝50÷
＝300（页）
答：这本故事书一共有300页。
【点评】解答此题的关键是是把比转化成分数，进而求出50页占这本故事书的几分之几，再根据分数除法的意义解答。
考点卡片
1．2、3、5的倍数特征
【知识点归纳】
2、3、5的倍数特征：
被2整除特征：偶数
被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除
被5整除特征：个位上是0或5的数
同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除．
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除．
各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．
【命题方向】
常考题型
例1：能同时被2、3、5整除的最大三位数是 990 ．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0，
被2和5整除，同时要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
例2：104至少再加上 16 ，才能同时被2、3、5整除．
分析：能同时被2、3、5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，且各个数位上的数字之和能被3整除，由此确定104至少再加上16．
解：根据分析，104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
故答案为：16．
点评：此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．
2．近似数及其求法
【知识点归纳】
近似数：一个数与准确数相近（比准确数略多或者略少些），这一个数称之为近似数．
四舍五入法：如果被舍去部分的首位数字小于5，就舍去这些数字；如果被舍去部分的首位数字是5或大于5，就要在保留部分的末尾数字上加1．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个两位小数取近似值后是3.8，这个数最大是 3.84 ，最小是 3.75 ．
分析：（1）两位小数取近似值后是3.8，这个数最大是百分位上的数舍去，舍去的数有：1，2，3，4，其中4是最大的，据此解答；
（2）最小是百分位上的数进一，进一的数有：5，6，7，8，9，其中5是最小的，因为进一，保留后十分位是8，那么原来十分位是8﹣1＝7，据此解答．
解：（1）这个数最大是百分位上的数舍去，舍去的数有：1，2，3，4，其中4是最大的，所以这个数是3.84；
（2）这个数最小是百分位上的数进一，进一的数有：5，6，7，8，9，其中5是最小的，所以这个数是3.75；
故答案为：3.84，3.75．
点评：本题主要考查近似数的求法，注意最大是百分位上的数舍去，最小是百分位上的数进一．
例2：9.0968精确到十分位约是 9.1 ，保留两位小数约是 9.10 ，保留整数约是 9 ．
分析：9.0968精确到十分位，就要看百分位上的数是否满5；保留两位小数，就是精确到百分位，就要看千分位上的数是否满5；保留整数，就是精确到个位，就要看十分位上的数是否满5；再运用“四舍五入”法求得近似值即可．
解：9.0968≈9.1；
9.0968≈9.10；
9.0968≈9．
故答案为：9.1，9.10，9．
点评：此题考查运用“四舍五入”法求一个数的近似值，要看清精确到哪一位，就根据它的下一位上的数是否满5，再进行四舍五入．
3．方程的解和解方程
【知识点归纳】
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
求方程的解的过程，叫做解方程．
【命题方向】
常考题型：
例1：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做（ ）
A、方程 B、解方程 C、方程的解 D、方程的得数
分析：根据方程的解的意义进行选择即可．
解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
故选：C．
点评：此题主要考查方程的解的意义．
例2：x＝4是方程（ ）的解．
A、8x÷2＝16 B、20x﹣4＝16 C、5x﹣0.05×40＝0 D、5x﹣2x＝18
分析：使方程的左右两边相等的未知数的值，是这个方程的解，把x＝4代入下列方程中，看左右两边是否相等即可选择．
解：A、把x＝4代入方程：左边＝8×4÷2＝16，右边＝16；左边＝右边，所以x＝4是这个方程的解；
B、把x＝4代入方程：左边＝20×4﹣4＝76，右边＝16；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
C、把x＝4代入方程：左边＝5×4﹣0.05×40＝20﹣2＝18，右边＝0；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
D、把x＝4代入方程：左边＝5×4﹣2×4＝12，右边＝18；左边≠右边，所以x＝4不是这个方程的解；
故选：A．
点评：将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．
4．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：＝16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：＝4÷5＝16÷20，
＝4：5＝8：10，
＝0.8＝80%＝八成，
故答案为：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
5．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
6．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
7．比例的意义和基本性质
【知识点归纳】
比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．
组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．
如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16
【命题方向】
常考题型：
例1：下面能与：组成比例的是（ ）
A、3：4 B、4：3 C、：
分析：根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．所以先求出：的比值，然后求出各答案中的比的比值，哪个比的比值与：的比值相等，就是能与：组成比例的比，据此解答．
解：：＝，
A、3：4＝，
B、4：3＝，
C、：＝，
所以能与：组成比例的比是4：3；
故选：B．
点评：本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例．
例2：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（ ）
A、8 B、12 C、24 D、36
分析：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，由4变成12，这样两内项的积就成了108，根据比例的性质，两外项的积也得是108，再用108除以前一个比的前项3即得后一个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可．
解：比例3：4＝9：12中，第一个比的后项加上8，由4变成12，
则两内项的积：12×9＝108，
两外项的积也得是108，
第二个比的后项应是：108÷3＝36，
第二个比的后项应加上：36﹣12＝24；
故选：C．
点评：此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
8．正比例
正比例
9．辨识成正比例的量与成反比例的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：＝k（一定）．
2．成反比例的量：
（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．
（2）相对应的两个数的乘积一定．
（3）关系式：xy＝k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例．
【命题方向】
常考题型：
例：下列x和y成反比例关系的是（ ）
A、y＝3+x B、x+y＝ C、x＝y D、y＝
分析：判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择．
解：A、因为y＝3+x，所以y﹣x＝3（一定），是x和y的差一定，x和y不成比例；
B、因为x+y＝（一定），是x和y的和一定，x和y不成比例；
C、因为x＝，所以x÷y＝（一定），是比值一定，x和y成正比例；
D、因为y＝所以xy＝1，是乘积一定，x和y成反比例；
故选：D．
点评：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择．
10．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项＝
（2）求未知内项＝
【命题方向】
常考题型：
例1：在比例中，两个外项的积是，其中的一个内项是4，另一个内项是 ．
分析：分析“两个外项的积是，其中的一个内项是4”这两个条件，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，用两个外项的积除以其中的一个内项，算出另一个内项是多少．
解：÷4＝×＝
故答案为：．
点评：这道题重点考查学生对于比例的基本性质的应用．
例2：如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项（ ）
A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例
分析：根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积＝1（为恒指），
则比例的两个内项成反比例．
故选：A．
点评：本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
11．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
【命题方向】
常考题型：
例：从甲地到乙地，客车和货车所用的时间比是4：5，那么它们的速度之比是（ ）
A、5：4 B、： C、4：5
分析：路程一定，速度与时间成反比例，所以甲乙的速度比正好与他们的时间比相反，据此选出即可．
解：甲地到乙地的路程一定，速度与时间成反比例，
客车和货车所用的时间比是4：5，
则客车和货车的速度比是5：4．
故选：A．
点评：路程一定时，用的时间越少，速度就越快，它们成反比例．
12．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
13．比例尺
【知识点归纳】
1．比例尺：
表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺．
即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺分类：
比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：
（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比．
（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离．
2．比例尺表示方法：
用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：．
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离．
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一．
3．比例尺公式：
图上距离＝实际距离×比例尺
实际距离＝图上距离÷比例尺
比例尺＝图上距离÷实际距离．
【命题方向】
常考题型：
例1：图上6厘米表示实际距离240千米，这幅图的比例尺是（ ）
A、1：40000 B、1：400000 C、1：4000000
分析：比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
解：240千米＝24000000厘米，
比例尺为6：24000000＝1：4000000．
故选：C．
点评：考查了比例尺的概念，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
例2：把线段比例尺，改为数值比例尺是（ ）
A、110 B、1：100000 C、1：1000000
分析：图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可将线段比例尺改写成数值比例尺．
解：因为10千米＝1000000里面，
则1里面：1000000里面＝1：1000000；
答：改成数值比例尺为1：1000000．
故选：C．
点评：此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
:25:17；
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