2020年江苏中考数学真题分项汇编专题09 三角形
展开专题09 三角形
一．选择题（共6小题）
1．（2020•苏州）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，且，则的度数为
A． B． C． D．
2．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；
②与可能相似；
③四边形面积的最大值为；
④四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
3．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
第3题 第4题
4．（2020•常州）如图，直线、被直线所截，，，则的度数是
A． B． C． D．
5．（2020•南通）如图，已知，，，则的度数是
A． B． C． D．
第5题 第6题
6．（2020•南通）如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
7．（2020•苏州）如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则 ．
第7题 第8题
8．（2020•无锡）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，，连接，，相交于点，则面积最大值为 ．
9．（2020•南京）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ．
第9题 第10题
10．（2020•泰州）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为 ．
11．（2020•泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．
第11题 第12题
12．（2020•徐州）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ．
13．（2020•徐州）在中，若，．则的面积的最大值为 ．
14．（2020•常州）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．若是等边三角形，则 ．
第14题 第15题
15．（2020•常州）如图，在中，，，、分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点、，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为 ．
16．（2020•盐城）如图，直线、被直线所截，，，那么 ．
第16题 第18题
17．（2020•淮安）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为 ．
18．（2020•镇江）如图，在中，，将平移5个单位长度得到△，点、分别是、的中点，的最小值等于 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2020•无锡）如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
20．（2020•南京）如图，点在上，点在上，，，求证：．
21．（2020•泰州）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．
22．（2020•徐州）如图，，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
23．（2020•常州）已知：如图，点、、、在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24．（2020•常州）如图1，点在线段上，，，，．
（1）点到直线的距离是 ；
（2）固定，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；
②如图2，在旋转过程中，线段与交于点，当时，求的长．
25．（2020•镇江）如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．（2020•苏州）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，且，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到△，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
2．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；
②与可能相似；
③四边形面积的最大值为；
④四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【解答】①利用图象法可知，或通过计算可知的最大值为，的最小值为，所以，故①错误．
②设，则，
，
当或时，与相似，
即或，解得或或，
当或或时，两三角形相似，故②正确
③设，则四边形的面积，
的最大值为，
时，四边形的面积最大，最大值，故③正确，
如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小．
过点作交的延长线于，交于．
由题意，，，，，
，
，
四边形的周长的最小值，故④错误，
故选：．
3．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心
A． B． C． D．
【解答】三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
从点出发，确定点分别到，，，，的距离，只有，
点是的外心，
故选：．
4．（2020•常州）如图，直线、被直线所截，，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】，，
，
．
故选：．
5．（2020•南通）如图，已知，，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】过点作，则，如图所示．
，
，
．
又，
．
故选：．
6．（2020•南通）如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为
A． B． C． D．
【解答】如图，过点作于点，过点作于点，
在中，
，，
，，
在中，，
，
点为中点，
，
在与中，
，
，
，
延长，过点作于点，
可得，
在中，，
当直线时，最大值为，
综上所述，的最大值为．
故选：．
二．填空题（共12小题）
7．（2020•苏州）如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则 1 ．
【解答】设，，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
故答案为：1
8．（2020•无锡）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，，连接，，相交于点，则面积最大值为 ．
【解答】如图，过点作，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
在以为直径的圆上，设圆心为，
当时，的面积最大为：，
此时的面积最大为：．
故答案为：．
9．（2020•南京）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ．
【解答】连接，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，
，，
，，
，即，
，
；
故答案为：．
10．（2020•泰州）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为 ．
【解答】如图，
，，
，
，
故答案为：．
11．（2020•泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．
【解答】如图，点即为的内心．
所以内心的坐标为．
故答案为：．
12．（2020•徐州）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 5 ．
【解答】如图，在中，，为的中点，，
．
又、分别为、的中点，
是的中位线，
．
故答案是：5．
13．（2020•徐州）在中，若，．则的面积的最大值为 ．
【解答】作的外接圆，过作于，
弦已确定，
要使的面积最大，只要取最大值即可，
如图所示，当过圆心时，最大，
，过，
（垂径定理），
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．（2020•常州）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．若是等边三角形，则 30 ．
【解答】垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：30．
15．（2020•常州）如图，在中，，，、分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点、，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为 4或2 ．
【解答】如图，过点作交的延长线于，过点作于．
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
当点在的延长线上时，同法可得．
故答案为4或2．
16．（2020•盐城）如图，直线、被直线所截，，，那么 60 ．
【解答】，
．
故答案为：．
17．（2020•淮安）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为 8 ．
【解答】
在中，，是斜边上的中线，，
，
故答案为：8．
18．（2020•镇江）如图，在中，，将平移5个单位长度得到△，点、分别是、的中点，的最小值等于 ．
【解答】取的中点，的中点，连接，，，，
将平移5个单位长度得到△，
，，
点、分别是、的中点，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．（2020•无锡）如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2），
，
，
．
20．（2020•南京）如图，点在上，点在上，，，求证：．
【解答】证明：在与中
，
．
．
．
21．（2020•泰州）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．
【解答】（1），
，
，，，
，
，
，
即；
（2）根据题意得，，
当时，随的增大而减小，
，
当随增大而减小时的取值范围为．
22．（2020•徐州）如图，，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【解答】（1），，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）设与交于点，
，
，
，
，
，
，
．
23．（2020•常州）已知：如图，点、、、在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解答】证明：（1），
，
，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
，
答：的度数为．
24．（2020•常州）如图1，点在线段上，，，，．
（1）点到直线的距离是 1 ；
（2）固定，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；
②如图2，在旋转过程中，线段与交于点，当时，求的长．
【解答】（1）如图1中，作于，
，，，．
，，，
，
∴，CF为∠ACE的角平分线,
∴FD=FE=1
∴F到直线CA的距离为1；
（2）线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点落在上的点处．
．
故答案为．
（3）如图2中，过点作于．设．
在中，，，，
，，，
在中，，
，
在中，则有，
解得或（不合题意舍弃），
，
，
．
25．（2020•镇江）如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解答】证明：（1）在和中，
，
，
；
（2），，
，
，
．
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