2021达州大竹中学高二下学期期中考试数学（理）试卷含答案

四川省大竹中学2010—2021学年度下学期期中考试

高2019级  数学试题（理科）

满分150分，完卷时间120分钟

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合，则下列关系式表示正确的是 

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 若复数z满足，则z的虚部是   

A. i B. 4 C. -4i D.

4. 已知物体位移单位：米和时间单位：秒满足：，则该物体在时刻的瞬时速度为

A. 1米秒 B. 2米秒 C. 3米秒 D. 4米秒

5. 已知，为的导函数，则

A.  B.  C.  D. 1

6. 用数学归纳法证明时，由到，不等式左边的变化是   

A. 只增加一项                      B. 增加两项和
C. 增加两项和，同时减少一项   D. 以上结论均错

7. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是

A.  B.
C. D.

8. 如图，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的点，Q是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆C的离心率为     

A.    B.   C.   D.

9. 在正方体中，二面角的余弦值是

1.  B.  C.  D.

10. 若数列满足d为常数，则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为

A.  B. 2 C.  D. 4

11. 函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数，若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是   

A.  B.
C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 双曲线 ，则其渐近线方程为__________．
14. 为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数______ ．
15. 在正方体中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当          时，平面．
16. 已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是           .．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 设命题p：实数x满足其中，命题q：实数x满足．
    若，p、q都为真，求实数x的取值范围；
    若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
    
    
    
     
18. 已知函数．
    求曲线在处的切线方程；
    求函数的单调区间与极值．

19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
    求的值；
    若，，求的面积S．
    
    
    
     
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．
    求证：平面平面VCD；
    当二面角、分别为、时，求直线VB与平面EFG所成的角的正弦值．
21. 已知的顶点，点B在x轴上移动，，且BC的中点在y轴上．

求C点的轨迹的方程；

已知轨迹上的不同两点M，N与的连线的斜率之和为4，求证：直线MN过定点．






 

22. 设函数，．

Ⅰ当a=b=1时，若恒成立，求m的取值范围．

Ⅱ设有两个零点，且成等差数列，

试探究值的符号．





 

参考答案

1.选择题

CCBAC   CBDCD  CB

2.填空题

13.．  14.2   15.1/2 16.

17.解：由已知，又，所以，
当时，命题p：，又命题q：，
因为p、q都为真，所以实数x的取值范围为；
设，，
因为q是的充分不必要条件，所以，
则有，解得，
所以实数a的取值范围．

18.解：根据正弦定理，得，
即，
化简得，
即，所以．
由得，由余弦定理得，解得，．
因为，且，所以，
．
19.解：，
则，，
故曲线在处的切线方程，
由可得或，由可得，
故函数的增区间：，，减区间，
故当时，函数取得极大值，当时函数取得极小值
 

20.解：、F、G分别为VA、VB、BC的中点，，，
又ABCD是矩形，，，
又平面VCD，平面VCD
平面VCD，平面VCD，
又，平面平面 
平面ABCD，，．
则为二面角的平面角，．
同理 
建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则0，，1，，0，，1，
设平面EFG的法向量为y，，
则n亦为平面VCD的法向量．
1，，1，，

则向量0，为平面EFG的一个法向量
设直线VB与平面EFG所成的角为，
1，则，   

故直线VB与平面EFG所成的角  的正弦值为

21解：设，因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以，
由，得，
化简得，所以C点的轨迹的方程为．
证明：设直线MN的方程为，，，
由得，
所以，，同理，
所以，化简得，
所以直线MN过定点．
 

22.【答案】解：Ⅰ．
问题转化为 ，立即可．
设，所以h，
当时，h；当时，h．

h(x)在时取得最大值，h(1)=-1
，满足条件．Ⅲ的符号为正，理由为：
有两个不同的零点，，
则有，，
两式相减得．
即，又，
则
，
当时，令，则，且，
故，，
则在上为增函数，
而，，即，
又，，，
当时，同理可得：，
综上所述：值的符号为正．