2021“超级全能生”高三全国卷地区3月联考试题（甲卷）数学（文）含解析

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“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考甲卷

数学(文科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x>a}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是

A.[3，＋∞)     B.(3，＋∞)     C.(－∞，1]     D.(－∞，1)

2.为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在[20，30)内的有1400人，在[60，70)内有800人，则频率分布直方图中a的值为

A.0.008     B.0.08     C.0.006     D.0.06

3.已知锐角α满足＝－5，则cos2α的值为

A.     B.     C.－     D.－

4.已知＝2i(i为虚数单位)，则|z－1|＝

A.     B.     C.2     D.2

5.已知函数f(x)＝x＋sin2x，则函数y＝f(x)的图象大致为

6.一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2个球，则2个球的编号和不小于7的概率为

A.     B.     C.     D.

7.如图，已知A，B分别是半径为2的圆C上的两点，且∠ACB＝45°，P为劣弧上一个异于A，B的一点，过点P分别作PM⊥CA，PN⊥CB，垂足分别为M，N，则MN的长为

A.     B.     C.2     D.

8.如图所示的程序输出的结果为，则判断框中应填

A.i≥10？     B.i≤10？     C.i≥9？     D.i≥11？

9.已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是该椭圆，上不同于M，N的一点，若直线PM的斜率k1的取值范围为[－，－1]，则直线PN的斜率k2的取值范围为

A.[，1]     B.[，]     C.[1，]     D.[，]

10.已知函数f(x)＝ex－a＋1在点O(0，0)处的切线与函数g(x)＝ax2－ax－xlnx＋1的图象相切于点A，则点A坐标为

A.(，)     B.(，)     C.(1，1)     D.(2，5－2ln2)

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c∈[，]，a＝1，且abcosC＋ccosB＝bc，则cosA的取值范围是

A.[，]     B.[，]     C.[0，]     D.[0，]

12.已知函数f(x)＝，关于x的方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有8个不同的实数根，则t的取值范围是

A.(－－e，＋∞)     B.(－，－)∪(－∞，－－e)

C.(－∞，－)       D.(2，＋∞)∪(－∞，－)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，则|2a＋3b|＝          。

14.设变量x，y满足约束条件，则z＝的最大值是          。

15.已知F1，F2分别是双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的右支交于第一象限内的一点P，若G(，)为△F1PF2的重心，则该双曲线的离心率为          。

16.如图，在三棱锥A－BCD中，BC＝CD＝BD＝2，AB＝AC＝AD＝2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的倍，则该三棱锥外接球的表面积为          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

数列{an}是公差不为0的等差数列，满足a1＝1，a18＝a2a9，数列{bn}满足bn＝。

(I)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(II)令Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，求Tn的值。

18.(12分)

如图，在底面为菱形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝A1B＝1，∠BAD＝∠A1AD＝60°，A1在底面ABCD内的射影E为线段AC上一点。

(I)求AE的长；

(II)求三棱锥C－ABD1的体积。

19.(12分)

某企业为改变工作作风，树立企业形象，开展了为期半年的行风整治行动，现需要对整顿之后的情况进行问卷调查，随机从收回的有效问卷中抽查100份，根据这100份问卷的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，样本数据分组区间为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]。

(I)估计评分的平均数和中位数(结果保留四位有效数字)；

(II)用分层抽样从[60，70)和[80，90)抽取5人，然后从这5人中选取3人进行进一步调查，求这3人中只有1人来自[60，70)的概率。

20.(12分)

已知函数f(x)＝ex＋alnx(a∈R)，g(x)＝ex－x2＋ax－1。

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(II)当a>0时，若函数h(x)＝f(x)－g(x)有两个极值点x1，x2(x1≠x2)，求证：h(x1)＋h(x2)<－2。

21.(12分)

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(2，1)是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得|AE|＋|EF|有最小值3。

(I)求抛物线C的方程；

(II)设直线l：2x－y＋4＝0，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线l1，过点A的动直线l2与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线l1，于点M，N，证明：|AM|＝|AN|。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(k为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ＋)＝1。

(I)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(II)已知点A(1，0)，若l和曲线C的交点为M，N，求|AM|·|AN|。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝2x＋1＋a|x－1|。

(I)当a＝3时，求函数f(x)的最小值m；

(II)当x∈(－1，1)时，不等式f(x)>x2＋2恒成立，求实数a的取值范围。