人教版 初升高衔接数学预科同步讲义（带解析）

这是一份人教版 初升高衔接数学预科同步讲义（带解析）


目 录
初高中衔接 2
集合预习册 15
集合 17
集合关系预习册 23
集合的关系 25
集合的运算预习册 31
集合的运算 33
函数的概念预习册 37
函数的概念 39
函数的单调性预习册 51
函数的单调性 53
函数的奇偶性预习册： 61
函数的奇偶性 63
函数性质综合预习册 70
函数性质综合 71
一次和二次函数预习册 76
一次和二次函数 79
指数运算及指数函数预习册 96
指数运算及指数函数 100
对数与对数函数预习册 108
对数及对数函数 109
幂函数预习册 121
幂函数 122
函数与方程预习册 129
函数与方程 130
函数应用题预习册 139
函数应用题 144

初高中衔接
绝对值
经典例题
例1 解不等式：＞4．
【解析】
解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可变为，
即＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若，不等式可变为，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若，不等式可变为，
即＞4， 解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
1
3
A
B
x
0
4
C
D
x
P
|x－1|
|x－3|
图1．1－1
解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．

快速练习
1.若，则x=_________；若，则x=_________.
2.如果，且，则b＝________；若，则c＝________.

3.下列叙述正确的是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
4.化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.； 2.；或 3．D 4．3x－18

乘法公式
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
经典例题
例1：计算：．
【解析】

=
例2：已知，，求的值．
【解析】


快速练习
1.（ ）；
2. ；
3. ．
4.若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5.不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1．　 2.　 3.　 4.D 5.A


分式
经典例题
例1:若，求常数的值．






例2:（1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
【解析】
（1）
（2）
（3）
快速练习
1.对任意的正整数n， ()；
2.若，则＝　　 （　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正数满足，求的值．
4．计算．

1． 2．B 3． 4．


巩固练习
1.(1) ；
(2) ；
(3) ．
2.已知，求的值．
3.（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．
4.（1），，则________；
（2）若，则_______；
5．已知：，求的值．
6.（1）若，则　　 （　 　）
　 （A） （B）　 （C）　 （D）
（2）计算等于　　　　　　　　　　　　　 （　 　）
（A）　 （B）　 （C）　 （D）
7.解方程．
8.计算：．
9.试证：对任意的正整数n，有＜．


1．（1）或 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3
2．1
3．（1） （2） （3）
4．（1） （2），或－
5．4．
6．（1）C （2）C
7．
8．
9．提示：

因式分解
经典例题
例1：分解因式：
（1）；
（2）
（3）；
（4）．
【解析】
（1）
（2）
（3）；
（4）．



例2：分解因式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）==
=．
或＝＝＝
＝
＝．

（2）=
==．
或 =
= =．

例3　把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）； （2）．
【解析】（1）令=0，则解得，，
∴=
=．
（2）令=0，则解得，，
∴=．
快速练习
1.多项式的一个因式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）
（4）．
3．分解因式：
（1） ；
（2）；
（3）； 　
（4）．
4．在实数范围内因式分解：
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）．
5．三边，，满足，试判定的形状．
6．分解因式：.


1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
（3） （4）．

3．（1） 　（2）
　（3） （4）
4．（1）；　（2）；
　（3）； （4）．
5．等边三角形
6．

巩固练习
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.；
48.
49.
50.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
11.
12.
13.
14.
15.
16.

17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.=_________.
27.

28.
29.=_______.
30.；
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.；
48.
49.
50.

一元二次方程
例1：方程的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
【解析】C


例2：若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
【解析】D

例3：（1）若方程的两根分别是和，则＝ ．
（2）方程的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
【解析】（1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）


例4：已知，当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？

【解析】k＜4，且k≠0


4．已知方程的两根为和，求的值．

【解析】

巩固练习
1.已知关于x的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
2.下列四个说法：
①方程的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程的两根之和为0，两根之积为；
④方程的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
3.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
4.方程的两根之和为－2，则k＝ ．
5.方程的两根为，则＝ ．
6.已知关于x的方程的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
7.方程的两根为和，则＝ ．
8.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？









9．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的相反数．







10.若关于x的方程的两根互为相反数，则k的值为( ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
11.若m，n是方程的两个实数根，则的值等于 ．
12.如果a，b是方程的两个实数根，那么代数式的值是 ．
13．已知关于x的方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为和，如果，求实数k的取值范围．





14．一元二次方程的两根为和．求：
（1）和；
（2）.







15．关于x的方程的两根为和,满足，求实数m的值．






16.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两根，则这个直角三角形的斜边长等于( )
（A） （B）3 （C）6 （D）9
17.若和是方程的两个根，则的值为 （ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
18.如果关于x的方程有两实数根,则的取值范围为( ）
（A）≥ （B）≤ （C）≥1 （D）≤1
19.已知是的三边长，那么方的根的情况是( ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
20.若方程的两根为和，且，则m＝ ．
21.已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使的值为整数的实数k的整数值；
（3）若，，试求的值．




22.已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根满足，求m的值及相应的.






23.若关于x的方程的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．



1.C
2.B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－．
3.C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．
4.2
5.
6.6
7.
8.当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜－时，方程没有实数根．
9.设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y2＋7y－1＝0．
10.C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1．
11.2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．
12.－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．
13．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．
（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
14．（1）| x1－x2|＝，＝；（2）x13＋x23＝．
15．∵| x1－x2|＝，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．
16．B
17.A
18.C
19.B
20.12
21.
(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．
∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．
∵x1＋x2＝1，x1x2＝，
∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22
＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－＝－，
即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．
（2）∵－2＝
＝，
∴要使－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，
∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．
∴能使－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．
（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，① x1x2＝， ②
①2÷②，得＋2＝8，即，∴， ∴．
22．（1）Δ＝；
（2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．
①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0，∴，．
②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．
23．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a，
由一根大于1、另一根小于1，得
(x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0，
∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2．
此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0，
∴实数a的取值范围是a＜－2．

二次函数
经典例题
例1．下列各组中的值是不是方程组的解?
（1） （2） （3） （4）　
【解析】（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．

例2．解下列方程组:
（1）　　　 （2）　
（3）　 （4）
【解析】（1） （2）
（3） （4）

3.解下列不等式：
（1） （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）x＜－1，或x＞； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；（4）x＝4．

4..解关于x的不等式（a为常数）．
【解析】不等式可以变为，
（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；
（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；
（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．
综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；
当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；
当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．




快速练习
1．解下列方程组：
（1） （2）
（3）
2．解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
3.取什么值时,方程组

有一个实数解?并求出这时方程组的解．




4.解关于x的不等式（a为常数）．






5.已知关于x不等式的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式．










6.试求关于x的函数在0≤x≤2上的最大值k．

1．（1） （2）
（3）
（4）
2．（1）无解 （2）
（3）1－≤x≤1＋ （4）x≤－2，或x≥2

3．消去，得．
当,即时，方程有一个实数解．
将代入原方程组，得方程组的解为
4．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．
∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；
当a＝1时，原不等式的无实数解；
当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

5．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根，
∴－1＋3＝－，－1×3＝－， 即b＝－4，c＝6．
∴等式bx2＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0，
∴－≤x≤2．
6．∵y＝－x2＋mx＋2＝－(x－)2＋2＋ ，
∴当0≤≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ；
当＜0，即m＜0时，k＝2；
当＞2，即m＞4时，k＝2m－2．
∴



集合预习册
例1：180以上的男生是否可以构成集合
【解析】可以，180以上的男生是确定的
例2：帅哥是否可以构成集合
【解析】不可以，帅是无法确定的，一个人是否在集合内无法做出确定的判断。
例3：集合中，1与的关系是什么？
【解析】属于，用∈符号表示

10分钟
1、判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
①某班个子较高的同学
②长寿的人　　　
③的近似值
④倒数等于它本身的数
⑤比较小的正整数全体；
⑥血压很高的人；
⑦著名的数学家；
⑧平面直角坐标系内所有第三象限的点
⑨平面上到点O的距离等于1的点的全体；
⑩正三角形的全体；
2、以下符号分别表示什么集合：
①
②
③
④
⑤
3、用符号或填空：
①，则4_____，8 ，32 .
②1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，______R．
③______R，______Q，______，______Z．
20分钟
4.,那么=_____.
5.对于集合，若，则，那么的值是______．
6.由实数所组成的集合，其元素最多有 个．
7.集合中，应满足的条件是______．
8.设A=，B=，若已知，且，那么=____．
30分钟
9.已知集合只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合.
3.解：当时，原方程变为，
所以，此时集合.
当时，要使一元二次方程有两个相等的实数根，需，即.
此时方程的解为，集合．
1.④⑧⑨⑩
2.自然数、正整数、整数、有理数、实数

3.答案：① ②，，，， ③，，，
4.答案：1或-3
5.答案：2或4
6.答案：2
7.答案：
8.答案：-4
9.解：当时，原方程变为，
所以，此时集合.
当时，要使一元二次方程有两个相等的实数根，需，即.
此时方程的解为，集合．
集合
预备知识：
S1、自然数的定义、有理数的定义、整数的定义、实数的定义。
S2、解决一元二次方程解的情况。
快速测试题：
1、3和-5都是整数？ Go help S1
2、0是自然数？ Go help S1
3、π是有理数？ Go help S1
4、 Go help S2
5、 Go help S2
引入：
“集合”一词与我们日常熟悉的“整体”、“一类”、“一群”等词语的意义相近，例如：数学书的全体、地球上人的全体、所有文具的全体，所有新东方的学员等都可以看成对象的集合。
集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。
集合语言是现代数学的基本语言。在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，因此把它安排在了高中数学的起始章。教科书从学生熟悉的集合（有理数的集合、直线或圆上的点集等）出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍了表示集合的列举法和描述法及韦恩图；类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析、概括出了集合间的相等、包含关系；针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引出了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展，介绍了“交”的运算和“补”的运算。这里采用类比方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习的方法。
适当地引入集合知识是在中学数学教材中渗透近代数学思想的基础。这里“渗透”的意思是，学习与中学数学内容相关的集合语言，使中学数学内容表述更加准确，逻辑更加清楚，以帮助学生正确的理解和运用中学数学知识。应注意，在中学不可能用集合的理论严格地建立中学数学体系。
那什么叫做集合？什么叫做元素呢？
下面我们看看几个集合的例子：
中国代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片，代表团的309名成员构成一个集合；
平行四边形的全体构成一个集合，其中每个平行四边形都是这个集合的元素；
圆是平面上与一个定点O的距离等于定长r的点的集合；
线段的垂直平分线是到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合；
中国的直辖市（北京，上海，天津，重庆）也可组成一个集合；
中国古代的四大发明（火药，印刷术，指南针，造纸术）也课组成一个集合；
……
……
下面我们说几个不是集合的例子：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数全体；
③的近似值的全体；
④某班个子较高的同学；
⑤某班学习较好的学生。
基础知识：
1.集合及元素的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
（3）元素用小写字母表示；集合用大写字母表示．
（4）不含任何元素的集合叫做空集，记作．
（5）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
2.元素与集合间关系：
（1）属于：如果是集合A的元素，就说属于A，记作
（2）不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作
3.集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
4.常用数集及记法
（1）自然数集：全体非负整数的集合记作，
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作或，
（3）整数集：全体整数的集合记作,
（4）有理数集：全体有理数的集合记作,
（5）实数集：全体实数的集合记作，

课时例题：
例1．若是中的元素，但不是中的元素，则可以是(　　)
A.3.14　　　　　 B． C. D.
【解析】由题意知应为无理数，故可以为。答案：D
例2．下面有四个结论：
①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合．其中，正确结论的个数为(　　)
A．0　　　　　　 B．1
C．2 D．3
【解析】①错，最小为0；②错，若，，则；③错，若，，则；④正确．答案：B
例3．给出下列四个命题：①平方等于－1的实数不能组成一个集合；②正方形组成的集合只有一个元素；③的解集是空集；④若，则有可能为空集。其中，正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】①能组成一个空集；②有很多元素(大小不同的正方形)；③方程有解；④，说明中含有元素，无论为何值，都是一个确定的数，不可能为空集．答案：A
例4．已知①；②；③；④；⑤；⑥。其中正确的个数为________．
【解析】③错误，0是元素，是一个集合；④；⑤，①②⑥正确．答案：3
快速练习：
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；
(2)1，，，，这些数组成的集合有5个元素；
(3)由组成的集合与由组成的集合是同一个集合．
解：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．
(2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．
(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合．
2．下列命题中正确的是(　　)
①0与}表示同一个集合；②由组成的集合可表示为或{；③方程的所有解的集合可表示为；④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上命题都不对
解析：①中“0”不能表示集合，而“”可以表示集合；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是有无数个元素，不能一一列举．
答案：C
3．设，集合A中含有三个元素3，，。
(1)求元素应满足的条件；
(2)若，求实数。
解：(1)根据集合元素的互异性可知

即且，；
(2)∵，
又，∴。

引入：
如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有的元素都列举出来。
另一种更加有效的描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来描述。
基础知识：
5.集合的表示方法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例：由方程的所有解组成的集合可表示为
例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内．
①具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．语言描述法：例
②数学式子描述法：例 不等式的解集是或
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
（3）Venn图（韦恩图）：
即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

表示

3,9,12
表示任意一个集合A
A




6.集合的分类
（1）有限集 含有有限个元素的集合
（2）无限集 含有无限个元素的集合
（3）空集 不含任何元素的集合
课时例题：
例1．集合的另一种表示方法是(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
【解析】题目中用描述法表示集合，选项中想让用列举法表示集合。题目中集合中元素满足且，所以集合的元素有。答案：B
例2．下列集合的表示法正确的是(　　)
A． 第二、四象限内的点集可表示为
B． 不等式的解集为
C．
D．实数集可表示为
【解析】选项A中应是；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素；选项C的“”与“全体”意思重复．答案：D
快速练习：
1．方程组的解集是(　　)
A． B． C． D．
解析：方程组解集中的元素应是有序数对的形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，竖线后面没有说明的限制条件，排除D，故选C。
答案：C
2．已知集合，则2 011________,2 012________(填或)．
解析：∵,，
∴,。
答案：　
3．已知集合，则用列举法表示为________．
解析：根据题意，该是的因数，故其可能的取值为从而可得到对应的值为。因为，所以的值为。
答案：
4．用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集．
(1)方程的解集；
(2)大于且小于的奇数构成的集合；
(3)不等式的解集；
(4)抛物线上的点构成的采合；
(5)方程的解集．
解：(1)用列举法表示为，用描述法表示为。集合中有2个元素，是有限集．
(2)用列举法表示为，用描述法表示为。集合中有5个元素，是有限集．
(3)用描述法表示为。集合中有无数个元素，是无限集．
(4)用描述法表示为。抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集．
(5)方程无实数解，故该方程的解集为，是有限集．
5．已知集合只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合。


解：当时，原方程变为，
所以，此时集合;
当时，要使一元二次方程有两个相等的实数根，需，即。
此时方程的解为，集合．

每日一法：
分类讨论——利用互异性

方法描述：
对于形如的讨论，讨论的方向主要集中在是一元一次方程，还是一元二次方程。

方法步骤：
已知集合，其中为常数，且
若中只有一个元素，求的值；
S1：当时，方程变为，解得，，满足题意
S2：当时，方程为，若中只有一个元素，则有
解得，满足题意
S3：若集合中只有一个元素，则。
方法练习：
1.求集合中，元素x应满足的条件
解：集合元素的特征说明中元素应满足关系式
即 也就是
即满足条件.
2.已知，则实数= _________ 
解：①当时，，不满足集合的互异性，所以舍去；
②当时，，满足集合的互异性，满足题意
③当时或，不满足集合的互异性，舍去，时满足题意。
所以.
3.已知集合，其中为常数，且
（1）若是空集，求的范围；
（2）若中至多只有一个元素，求的范围．
解：（1）若是空集。则，, 解之得，故的范围为。
（2）①时，方程为,解得,符合题意.
②时，方程为一元二次方程.
集合中至多有一个元素即表明一元二次方程无根或有两个相等的实数根.
即，解得
综合①②可知实数的取值范围是：或.
4.已知，，且，求，的值．
解：根据集合中元素的互异性，有
或
解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或。







5.已知集合，求实数的值
解：若, 所以，即或.
当时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当时，集合B中的元素均相同，故舍去.
若
因为，所以, 即. 又，所以只有.
经检验，此时成立. 综上所述.


集合关系预习册
例题1： ， ，
【解析】集合中的任意一个元素都是集合的元素，所以我们可以记作，但我们发现B中比A中多一个元素，所以我们还可以记作A B，

例题2： ，
【解析】集合的任意一个元素都是集合的元素，所以我们可以记作，但我们发现D中比C中多一些元素，所以我们还可以记作C D，

例题3： ，
【解析】集合的元素都是集合的元素，所以我们可以记作，但我们发现E中比F中多一些元素，所以我们还可以记作F E，

例题4： ，
【解析】G中的任何一个元素都在H中，所以我们可以记作，但我们发现H中的任何一个元素都在G中，所以我们也可以记作，当我们既满足，又满足时，我们说。

10分钟
1、 用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2） ； 0 {0}； {0}； N {0}.

【答案】（1）， ； （2）=， ∈， ，.

2、. 说出下列集合之间的关系
（1），
（2），
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
20分钟
3、.用适当的符号填空
（1）___
（2）___
（3）___
（4）___
【答案】（1）；（2） （3） （4）

集合的关系
预备知识：
S1、集合的描述法。
快速测试题：
用列举法把下列几何表示出来.
1. go help S1
【答案】
2. go help S1
【答案】
3. go help S1
【答案】

4. go help S1
【答案】
5. go help S1
【答案】
引入：
考察集合
， ，
，
，
你能发现集合与集合，集合与集合，集合与集合的关系吗？
容易看出集合中的任意一个元素都是集合的元素，集合的任意一个元素都是集合的元素，集合的元素都是集合的元素．
基础知识：
1.子集的概念
（1）概念：一般的,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作：,读作“A包含于B”，或“B包含A”。

如果集合中存在着不是集合的元素，那么集合不包含于，或不包含．分别记作或．
注：venn示意图：


（2）重点提示：
1）空集是任何一个集合的子集。也就是说，对任意集合A，都有 ；
2）任意一个集合A都是它本身的子集，即；
3）对于集合A、B、C，若，则；
4）符号与符号含义不同：只能用在集合与元素之间，用在两个集合之间。
5）子集个数：如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是
思考

符号与符号含义相同吗？


2.真子集的概念
（1）如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：。
（2）重点提示：1）就是中不包含的情形。
2）真子集个数：如果集合A中有n个元素，则A的真子集个数是；非空真子集个数是。

3.集合相等
（1）一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那个我们说集合A等于集合B，记作：。
（2）重点提示：判断两个集合相等的方法
1）关键是分析其元素的特点
2）注意集合元素的无序性
3）可通过证明且，从而

4.集合关系与其特征性质之间的关系
（1）一般地，设，。如果，则。
（2） 具有性质 x具有性质，即，反之，如果 ，则A一定是B的子集。
（3）重点提示：由其特征性质判断集合之间的包含关系，主要看个特征性质之间是否有推出关系，就是要分清集合中元素具备什么样的性质，然后再进行相关判断。

探究

填表
集合
元素个数
子集个数
















① 你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的关系的规律吗？



②如果一个集合有个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？有多少个非空子集？有多少个非空真子集？


课时例题：
例1．已知，，，，且，求实数a的值。
【解析】 解得：


例2．若集合，，且，求数学a的值
【解析】由，因此，.
（i）若时，得，此时，；
（ii）若时，得. 若,满足，解得.
故所求实数的值为或或.


例3．已知集合，，若，求数学x的值
【解析】若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.
当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.
若2ax2-ax-a=0.
因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有.
经检验，此时A=B成立. 综上所述.


例4．集合真子集个数是 （ A ）

（A）16 （B）8 （C）7 （D）4
【解析】，A的真子集有：，共7个，选C
B
A． B． C． D．
例5．设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）.




【解析】简单列举两个集合的一些元素，，
，易知BA，故答案选A．

快速练习：
1． 设集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
2．设集合S=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的S的子集共有（D ）个
A 2 B 3 C 5 D 8
【答案】D
3．集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C　）　
　　　Ａ　４　 Ｂ　５　 Ｃ　　６　 Ｄ　７
【答案】C
4．当时，a=_________，b=_________.
【答案】－1，0
5．已知集合, 则A与B之间最适合的关系是（ ）.
A. B. C. AB D. AB
【答案】D

每日一法：
分类讨论——空集

方法描述：空集是任何一个集合的子集

方法步骤：
1.看所给集合是否确定；
2.若不确定，一定考虑它为空集的时候；
3.验证假设能否成立

方法练习：

例题：已知集合，,若，求实数m的取值范围。

B
A
【解析】
（1）当时
5
x
-2




解得

（2）当时 解得

综上：

练习：
1.已知集合，集合，若，则的值为（ ）
A ． B ． C ．或 D．或
【答案】D
2. 已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ．
【答案】
3.设集合A ={|}， B ={|，}，若BA，求实数的值．

【解析】先化简集合A=. 由BA，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或.
(i)若B=，则，解得＜；
(ii)若B，代入得=0=1或=，
当=1时，B=A，符合题意；
当=时，B={0}A，也符合题意．
(iii)若－4B，代入得=7或=1，
当=1时，已经讨论，符合题意；
当=7时，B={－12，－4}，不符合题意．
综上可得，=1或≤．

集合的运算预习册
例：已知,,求,,.
【解析】
=--------两集合中出现的全部元素
--------两集合中都出现元素
-------集合U中除去B中的元素

10分钟
1、已知,,求,,.
2、已知,,求,,.
3、已知,,求,,.
4、已知,,求,,.
5、已知,,则.
6、已知,,则
7、若集合，，则集合,,.
8、若集合，，则集合,,.
9、若集合，，则集合,,.
10、若集合，，则集合,,.
20分钟
11、设集合，，则集合,,.
12、设集合，，则集合,,.
13、设集合，，则集合,,.
14、设集合，，则集合,,.
15、已知,,则,,.
16、已知,,则,,.
30分钟
17、已知,,则,,.
18、已知,,则,,.
19、已知，则,,.
20、已知，则,,.
21、已知,，则,,.

答案：
1..
2..
3..
4..
5.
6.
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16.
.
17.
18.
19..
20.
.
21..


集合的运算
预备知识：
S1：数集
S2：二次不等式
S3：绝对值不等式
S4：分式不等式
快速测试题：
1、用符号或填空： go help S1
1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，______R．
______R，______Q，｜－3|______N＋，｜－｜______Z．
答案：1、
2、解下列不等式： go help S2
①
②
2、
3、解下列不等式： go help S3
①
②
3、
4、解下列不等式： go help S4
①
②
4、

引入：
我们知道实数之间有“加减乘除”运算，那集合之间有没有类似的运算呢？
基础知识：
1.并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作,即.
2.交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作,即.
3.全集：如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,通常记作.
4.补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合的补集，记作,即.
课时例题：
例1：已知全集,,,求，，，，，.
解析：
=
=
=
=
=
=

例2：已知,,则集合，，.
解析：
=
=
=

例3：设,,,求，，，.
解析：
集合为全部偶数组成的集合。
集合为全部奇数组成的集合。
=
=
=
=

例4：集合,．若，则的值为
解析：
有五个元素，中有三个元素，中有两个元素，所以不同且与其他字母不同。
即为4,16.则=4
例5：已知集合，，为全集的子集，图中阴影部分所表示的集合为( )

A．
B．
C．
D．
解析：D
快速练习：
1、集合，集合，则=

2、已知集合，集合，则=

3、若集合，，则=

4、已知，，，求实数的值．

5、设集合，，，则的取值范围是
6、设集合,，，，,求,,,.
每日一法：
数形结合

1、在相应的图中，按各小题的要求，用阴影部分表示各小题．

(1) (2) (3)
(1) (A∪B)∩U(A∩B) (2)B∪C∪UA (3)B∩U(A∪C)


函数的概念预习册


答案：

(1) (2) （3）

函数的概念及定义域
一、解不等式
1.



2.





3.





4.





5.




6.


10分钟
二、求定义域
是同一个函数
1.

2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.

9.

10.
20分钟
函数的表示及简单求值域
二、 求函数值
1. 则 1+1=2




2. 则



3. 则




4. ，
则





5.
则








6.
则

30分钟



函数的概念
预备知识：
S1 映射的概念及函数定义
S2函数的三要素：定义域，对应法则，值域
S3分段函数
快速测试题：
1. 什么是变量？什么是常量？ Go help S1

2. 初中我们如何定义函数的？ Go help S1

3. 写出你在初中所学的几个常见函数？ Go help S2,S3

引入：
“万物皆变”--行星在宇宙中的位置随时间而变化；人体细胞的个数随年龄而变化，气温随海拔而变化；汽车形式里程随行驶时间而变化。。。。这样一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。
为了更加深刻的认识大千世界的千变万化，人们归纳总结出一个重要的数学工具--函数，来描述变化中的数量关系，初中我们已经简单的学习过一次函数，二次函数以及反比例函数。高中阶段我们将继续深入学习函数。
我们先来看下物理学家如何用函数语言来刻画自由落体运动的。自由落体运动涉及距离和时间两个变量，在伽利略时代，物理学家通过实验和数学推理后发现：初速度为0的自由落体运动，物体下落的距离与所用时间的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为： 其中
为了确切的表达函数关系，数学家们又用集合语言来刻画函数，并用哈市南湖语言表达不同集合之间的关系，近代数学本质上可以说是变量数学。
函数这一章我们将进一步的体会，理解函数概念，学习函数的基本性质，学习函数的表示方法，通过研究一次函数和二次函数的性质，学习研究函数性质的一些基本方法，理解函数与方程之间的联系，为下一章学习基本初等函数--指数函数，对数函数及幂函数的进一步学习做准备。

基础知识点

1.映射：一般地，设是两个集合，如果按照某种对应法则，对与集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合以及到的对应法则）叫做集合到集合的映射，记作

1) 象,原象：,若元素与元素对应，我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。
2) 一一映射：集合到集合的映射，对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，而且中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到上的一一映射。
2.函数定义：设集合是一个个非空数集，对集合中的任意数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数，叫做到的函数，记作：

其中叫做自变量，自变量的取值范围（数集）叫做的定义域，所有函数值构成的的集合叫做函数的值域。函数符号表示“是的函数”有时简记作函数或函数.
★根据以上定义，具有函数特征必须：

例题1设集合A和集合B都是坐标平面上的点集,映射,把集合A中的元素映射成集合B中的元素，则映射下，象的原象是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】设象的原象是则解得
答案B
例题2下列四个图形中，不是表示以x为自变量的函数的图象是( )



一对一
多对一
1.函数三要素：定义域，对应法则，值域

★求函数定义域注意：

①分式分母不为零；

②开偶次方底数大于等于零；

③零指数幂底数不为零；

注：求函数定义域要在原始解析式上求解，不可化简。

★区间的概念



实数都叫做相应区间的端点.
“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.



【解析】C为一对多
例题3
1）函数的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．[－3，0]
C． D．
【解析】
2） 函数y＝的定义域是____
【解析】







例题4已知函数的定义域为，m的取值范围是

【解析】定义域为,即恒成立




★简单复合函数定义域的求解
复合函数：如果是的函数，记为，又是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集不空，则确定了一个关于的函数，这时叫做的复合函数，叫外层函数，叫做内层函数.


对应法则对其直接作用对象要求范围一致。




★相同函数：函数的三要素一致

判断两个函数是否为同一函数：

s1判断定义域是否相同

S2化简解析式是否相同

当定义域及函数对应法则相同时，值域必然相同。

思考：当函数定义域及值域相同时，能否说两个函数为同一函数？

例题5
1) 若函数f(x)的定义域是，则的定义域__ __．
2) 若函数的定义域为，则的定义域 .

【解析】1)

2）



例题6下列函数完全相同的是(　　)
A．
B．
C．
D.

【解析】A:的定义域,定义域定义域不同

B:对应法则不同

D：定义域不同 选C


快速练习
1.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．

2.设集合A和B都是自然数集合N，映射A.2 B.3 C.4 D.5
3.下列四组中的函数，表示相同函数的一组是
A. B.
C. D.
4..函数的定义域为
A. B. C. D.
5.函数的定义域为
A. B. C. D.
6.函数的定义域是，则的定义域是
A. B. C. D.
7.若函数
A. B. C. D.
8.已知函数y＝(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是
答案：1. （2）（3） 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.


基础知识点
4.函数的表示方法
★列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.





★图像法
用图象表示函数关系，在初中已经很熟悉，我们用集合语言对函数的图象概念进行较完整的描述：
对于函数定义域内的每一个的值，都有唯一的值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对作为点的坐标，即，则所有这些点的集合叫做函数的图象，即.
即，如果是函数的图象，则图象上的任一点的坐标都满足函数关系；反之，满足函数关系的点都在图象上.这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.

例题7
1.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1

x
1
2
3
g(x)
3
2
1

则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．
【解析】


2． 下列各图中，不能是函数f(x)图象的是(　　)



解析法
如果在函数中，是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法.


★求函数解析式的常见方法：
代入法：
根据所给函数对应法则，求解复合函数解析式，直接带入即可






待定系数法法:

已知的函数类型，求函数解析式式，可以根据函数特征，设出解析式，从而待定系数即可.





换元法：
是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易，化繁为简，一快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。
注意换元之后的范围.

【解析】C

例8：
1）已知

解析：

2）已知是一次函数，且满足
解析：设



或
3） 已知，求.
解析：令




配凑法：

根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式。









消元法：
实质是解函数方程.












赋值法：


是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法.





4）已知，求
解析：


4） 已知，求.
解析：①
②
消去得：
5） 设是定义在上的函数，且满足对任意实数都有求.
解析：令


5.分段函数
一个函数的表达式可以分成几个式子，把这类函数叫做分段函数，分段函数的问题，要根据函数的定义域分段函数。

例：已知一个函数的定义域为区间，当时，对应法则为，当，对应法则为，试用解析法与图象法分别表示这个函数.
解：已知的函数用解析法可表示为

用图象法表示这个函数，它由两条线段组成，如图所示：







像这样的函数，在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.

6. 简单值域求解
一次函数给定区间上求值域






例题9
1）函数，则等于______

解析：

2）已知函数，若f(x)＝4，则x＝______．


解析：当时，
解得
当时，
解得
或


例题10
1） 已知f(x)＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于________．

解析：


2）函数f(x)＝－4x＋2，x∈[0，3)的值域是( )
A． (－10，2] B．[－10，2]
C．[－2，10] D．[－2，10)
解析：选D
反比例函数给定区间上求值域





二次函数求值及求给定区间上值域














3） 函数的值域是______
答案：

4）函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2 B.
C. D．－
答案：B


5） 函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．
答案：

6）函数y＝x2－6x＋10在[2，5]上的值域为( )
A．[2，5] B．[1，5] C．[1，2] D．[0，5]
解析：二次函数开口向上，离对称轴越近越小，对称轴为
所以选B


7)函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为(　　)
A．0或1 B．1
C．2 D．0
解析：对称轴为，所以最小值
或



快速练习
1.求解析式
1）
2）已知，则f(x)的解析式为
3）
4）
5）已知，求.

6）已知


7） 若是定义在R上的函数，且，并且对于任意的实数

3.分段函数
1）函数y＝x＋的图象为(　　)

2）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是(　　)


2.求简单函数值域
1）已知f(x)＝3x－2，且f(a)＝4，则a的值是______
2） 已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．求f(2)=
g(2)= f(g(2))=
3）设f(x)＝，则f(5)的值是(　　)
A．24　　　　　　　B．21 C．18 D．16
4） 函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．
5） 已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A．1 B．1或 C．1，或± D.
6）函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R B．[－9，＋∞) C．[－8,1] D．[－9,1]



答案：1、1） 2）
3） 4）
5） 6）C 7）
2、1）C 2）D

3.1）2 2） 6 . 3）A 4）　 5）D 6）C

每日一法：


函数的单调性预习册
函数单调性
1.下列函数中,在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C．　　 D．
答案：D
2. 利用描点法分别作出函数(1)，(2)，(3)，(4)的图像并判断他们的单调性.















(1)














(2)































(3)














(4)















答案：（1）在单调递减；（2）在单调递减；
（3）单调递减；（4）单调递减.
3.函数图像如下，结合图像判断函数的单调性.

答案：在单调递减，单调递增.
4.函数在区间上是增函数，在，上是减函数，
则（1）的递增区间的是________；
（2） 的递增区间的是________；
（3）的递增区间的是________；
（4）的递增区间的是________；
（5）的递增区间的是________.
答案：（1）；（2）；（3），，(4)不确定；（5）不确定.
5.函数在上单调递增，函数在上单调递减，则在上的单调性为________.
答案：不确定.
函数的单调性
预备知识：
S1 函数单调性的定义
S2 函数单调性的判断方法
S3 函数单调性的运用
快速测试题：
1.（1）求函数的定义域，利用描点法画出函数图像，找出函数单调区间;
（2）求函数的定义域，利用描点法画出函数图像，找出函数单调区间.
结合上述两个函数图像，直观描述单调性.(go help S1)
2.证明:(1)在上单调递增;
(2)在单调递增.(go help S2)
3.在上单调递增，求的取值范围.(go help S3)
引入：
下图是北京市某天一天24小时内气温随时间变化的曲线图.







观察图形，能得到什么信息？
（1）当天的最高温度、最低温度以及何时达到？
（2）从哪些时段到哪些时段温度升高？从哪些时段到哪些时段温度降低？
（3）还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

基础知识点：

1.定义：设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调，区间叫做函数的单调区间.
2.判定函数的单调性常用的方法有：
(1)定义证明法（取值―作差―变形―定号）
利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的一般步骤：
①任取，且；
② 作差；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
例题1．已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有成立，则在上的单调性为_________(填增函数或减函数或非单调函数)．
答案：增函数
例题2.若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上( )
A． 必是增函数
B．不一定是增函数
C．必是减函数
D．是增函数或减函数
答案：B
例题3.(1)设函数
，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性.
解：在定义域内任取，

④定号（即判断差的正负）；
⑤下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）.
(2)图像法
一次函数
二次函数
分式函数


渐进线方程为：和;
对勾函数
分段函数
简单绝对值函数
，
∵，
∴，，
只有当，
或2时函数才单调．
当或时．
∴在上是单调减函数，在上是单调减函数．
（2）函数，单调递减区间为 　　 　 ，最大值和最小值的情况为 　 　 　 ．
答案：和；最大值为，无最小值.
（3） 函数的单调递增区间是____.
答案：
（4）若在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上是减函数
B．在区间上是减函数
复合函数
增减函数和差运算后得到的新函数

规则

增+增=增
减+减=减

增-减=增
减-增=减
3.最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得.那么，称是函数的最大值.
最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得.那么，称是函数的最小值.
注意：
C．在区间上是增函数
D．在区间上是增函数
答案：B
例题4．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
例题5．设函数是定义在上的减函数，并且满足，
.
(I)求的值；
（II）如果，求的取值范围.
答案:（1）令，则，∴


 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有（）.
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值.如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减则函数在处有最大值；如果函数在
区间上单调递减，在区间上单调递增则函数在处有最小值.
（2） ∵ ∴又由是定义在上的减
函数，得：

解之得：






快速练习：
1.根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．（go help 知识点2）
答案：设,令，
则
,，且在 与 中至少有一个不为，
不妨设 ，那么，
故在上为减函数.
2. 函数的单调递增区间是_______.（go help 知识点2）
答案：
3． 函数的值域是______．（go help 知识点3）
答案：
4 若在区间上是增函数，则的取值范围是 （go help 知识点2）
答案：
5． 已知函数在上是增函数，且，则的取值范围是
( ) （go help 知识点2）
A． B． C． D．
答案：A
6 已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有.（go help 知识点2）
（1）求；
（2）解不等式
答案：（1）令，则
（2）

，
则.

每日一法：
1. 去壳法
方法描述： 函数单调性把这三者之间联系在了一起，即：两个自变量之间的大小关系，应变量之间的大小关系和函数的单调性.利用函数单调性解不等式，就是给出应变量之间的大小关系，判断出函数单调性，脱去这层壳，得到自变量之间的大小关系.

方法步骤：1.判断出函数单调性；
2.去掉这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系；
3.解关于的简单不等式。

方法练习：
例1.已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
解析：因为由函数单调递减可知，解得.
又是定义在上，所以解得.所以.
答案：D
例2.若是上的减函数，且的图象经过点和点，则当不等式
的解集为时，的值为_____．
解析：要成功去掉这个外壳，不等式的左中右必须都是的形式.所以，要把转化为关于的表达式，由的图象经过点和点可知，，.所以等价转化为.又是上的减函数，所以，解得：，不等式得解集为.所以.
答案：
例3.已知函数若则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
解析：由函数图像可知，在上单调递增，所以，等价转化为，解得.
答案： C

例4．设函数是定义在上的减函数，并且满足，
.
(1)求的值；
（2）如果，求的取值范围.
解析:（1）令，则，∴
（2）∵ ∴
∴，又由是定义在上的减函数，得：
解之得

2. 特殊值回带排除法
方法描述：函数中含有参数，导致函数的单调性不确定，从正面分析会出现很多种情况，需要分类讨论，难度较大.若这类题出现在选择题中，可以结合题目所给选项，利用特殊值回带检验，排除错误答案.

方法步骤：1.分析四个选项，比较四个选项中所包含参数范围的差异；
2.从四个选项所包含的参数范围中选择别的选项不包含的一个特殊值，回带题干检验，看是否符合题意.

方法练习：
例1.已知实数，函数若，则实数的取值范围是 (　　）
A. B. C. D.
解析：从四个选择参数范围特点，可以看出，只需要检验这三个值即可；
当时，，，满足题意；
当时，，，满足题意；
当时，，，不满足题意.故选A
答案：A

例2.已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.或
解析：从四个选择参数范围特点，可以看出，只需要检验这三个值即可；
当时，函数在上单调递增，排除B,D选项；
当时，，，满足题意；
当时，函数在单调递增，单调递减，满足题意.故选A
答案：A

函数的奇偶性预习册：

总结与尝试：
以下哪些函数符合以上的关系，经过任意组合是否仍符合以上关系，写出符合以后关系的组合

观察并补全图象：






补全图象，并指出大于0时的范围（与的交点分别为-1，-2），并指出单调区间

x
y
0
x
y
0

依语言描述画图象，找范围
函数在上单调递增，，且图象关于轴对称；找出大于时的范围
函数在上单调递增，，且图象关于原点对称；找出大于时的范围
函数的奇偶性
预备知识：
S1、求定义域
S2、求函数的解析式
S3、已知函数解析式求值
快速测试题：
1、 Go help S1
2、 Go help S2
3、 Go help S2

引入：
上节课学习了函数的单调性，图象的上升下降反应了函数的一个性质，我们来观察下面两个函数的图象：
x
y
0
x
y
0

观察图象的单调性，还有什么性质？对称性，分别关于原点对称和轴对称，函数的这种对称性反应了函数的性质，就是下面要学习的函数的奇偶性。


基础知识：

奇偶性定义
奇函数：
偶函数
步骤：1.看定义域是否关于原点对称






题型1.
用定义判断函数的奇偶性求解析式









奇函数在原点有定义则
函数奇偶性与单调性的关系：
奇函数对称区间内单调性相同


例2.已知函数若对于任意的实数都有求证：函数为奇函数.

题型1

题型2.
已知奇偶性求值

例2.已知函数
为偶函数，则的值是（ ）
A B C D


偶函数对称区间内单调性相反



题型3.利用奇偶性图象性质







例3 已知其中为常数，若，则的值等于( )
A B C D

例1. 设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如下图,则不等式的解是 .


解析：奇函数关于原点对称，在非正半轴补全图象，解集为
例2.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则__________



快速练习：
1 下列判断正确的是（ ）
A 函数是奇函数 B 函数是偶函数
C 函数是非奇非偶函数 D 函数既是奇函数又是偶函数
2.判断的奇偶性.
3.已知定义在上的奇函数，当时，，
那么时，
4.已知函数是偶函数，则________.
5.已知函数是定义域为的奇函数，且,那么　 ．
若函数在上是奇函数,则的解析式为________
7. 若函数是偶函数，则的递减区间是
8．已知函数,若,则的值为（ ）
A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定

9．已知函数为上的奇函数，，．若，则实数_______.
10. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）
A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数
11.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在的偶函数，且，则的解析式为( )

12.奇函数在上单调递增，若则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
13.设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A B
C D

答案：

4．解析：本题考查了函数的奇偶性为偶函数，则
答案：
5.解析：函数为奇函数，
解析：奇函数，在原点有定义

10.奇函数
11.A12.A13.B

每日一法：
特值法
1.已知函数，其中， 若为R上的奇函数，则
2.已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
3.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则( )
(A) B.
C. D.
4.已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5.直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：1.m=n=02.D3.A4.A5.A



函数性质综合预习册
画出下列函数的图象：
，






， ，







写出函数的单调区间和奇偶性，对称轴对称中心。



函数性质综合
预备知识：
S1、函数的单调性
S2、函数的奇偶性
S3、解不等式
快速测试题：
1、奇函数在上单调递增，若则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
Go help S1， S2
2、 go help S3
引入:


观察图象，总结函数的单调性，奇偶性，及单调性与奇偶性的关系
我们发现了什么？函数的这两种性质之前存在着固定的关系，经常同时出现在考题中，下面我们来探索。


基础知识:

奇函数：
偶函数:

奇函数在对称区间内单调性相同
偶函数在对称区间内单调性相反
对称性:




题型1.单调性与奇偶性结合比大小，解不等式
例1.设是定义在上的偶函数，且上是增函数，则与的大小关系是( )


与的取值无关

例2.定义在上的函数是奇函数，并且在上是减函数，求满足条件的的取值范围.
解：∵ 的定义域是，
-1＜1-a＜1，
又 是奇函数，

又
∵ 在上是减函数，

不等式组错误!未找到引用源。
得∴ 所求的取值范围为
例3.已知函数是定义在上的偶函数,且 当时,单调递增，则关于x的不等式 的解集
为 （ ）
A．
B．
C．
D．随的值而变化
题型2用单调性，奇偶性定义证明,抽象函数的性质综合
例1.已知是奇函数，它在上是增函数，且,试问在上是增函数还是减函数？证明你的结论.
解析：用定义法判断函数的单调性，同时利用奇偶性进行区间的转换，由负实数区间转入正实数区间，从而使未知向已知靠拢.
任取且则有在上是增函数，且
又是奇函数，
∴ 于是
∴ 在上是减函数.[来源:]

快速练习:
1.函数是R上的奇函数，在上单调递增，若则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2.如果奇函数f（x）在区间［-5，-3］上是增函数，且最大值是-4，那么f（x）在x∈［3，5］上是（ ）
A.增函数且最大值是4 B.增函数且最小值是4
C.减函数且最大值是4 D.减函数且最小值是4
3.若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的 的取值范围是
4.定义在[－2，2]上的偶函数时，单调递减，则实数的取值范围是 。
5.已知偶函数在区间上单调增加，则的取值范围是( )

6.已知函数满足：
①，，②，，则
A. 是偶函数且在上单调递减 B. 是偶函数且在上单调递增
C. 是奇函数且单调递减 D. 是奇函数且单调递增
7.函数对任意的,都有,并且当时，.
（1）求证：是上的增函数；
（2）若,解不等式.

1.A2.B3.4.5.A6.D7.
每日一法：
数形结合
1.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ( )
(A) B.
C. D.
2. 设是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，已知，且，那么一定有（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，若，则实数的取值范围（ ）
A、 B、 C、 D、
4.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）

4.设f(x)在R上是偶函数，在区间上单调递增，且有,求a的取值范围.
1.B2.B.3.D4.D



一次和二次函数预习册
10分钟
若两点坐标分别为，则
时，为增函数，时，为减函数；
完成下列题目：

1) 则__________
-1
2) 则__________
1
3) 则__________

4） 则_________
_2
5） 则________则__________，单调性是__________，单调递增，
2
6）过第几象限若______，点和在函数上，则的大小关系是_________
7）则________，单调性是________，过第几象限若_________若点、和在函数上，若，则的大小关系是_________。
8）一次函数，x随y的减小而增大，若点和在函数上，则的大小关系是_________。
9）正比例函数y=kx，x随y的增大而增大，若点和在函数上，若，则的大小关系是_________。
20分钟
一次函数面积公式：与轴，轴交与A,B两点，则
完成下列题目：
1) __________

2) __________

3) __________
0
4) _________

5) _________

6) __________
2
7) 直线与轴，轴围成的三角形的面积为，求__________

8) 直线与轴，轴围成的三角形的面积为2，求__________

30分钟
求定点坐标：的对称轴为；顶点坐标为．
求最值：①看开口，②求对称轴为，③画草图，标区间。④看图读出最值，
⑤不能确定则讨论。（结论：最值定在对称轴或区间端点处取得）

B． 对称轴为_________ ，顶点坐标为__________

C． 对称轴为_________ ，顶点坐标为_________
_

D． 对称轴为_________ ，顶点坐标为_________

E． 对称轴为_________ ，顶点坐标为__________

F． 的值域为_________ ，
若在，则值域为________，
若在，则值域为_______，若在，则值域为________，
若在的最小值为_______，
若在，则值域为_______。
G． 的值域为_______，
若在，则最小值为_______，
若在，则最值为_______。
H． 的值域为________ ，
若在，则值域为________，
若在，则值域为_______，
若在，则值域为________，
若在的最大值为_______，
若在，则最值为_______。
I． 的值域为_______，
若在，则最小值为_______，
若在，则值域为_______ 。
预习册

B． -1
C． 1
D．
E． 2
F．
G． 2，单调递增，一、三、四，
H． ，单调递减，一、二、四，
I．
J．



20分钟
B.
C.
D. 0
E.
F.
G. 2
H.
I.

30分钟

2. ，

3. ，

4. ，
5. ，
6. ，，，，，
，
（4） 当
（5） 当；
，
（6） 当
7. ，，
，
6． 当时，
7． 当时，，

8． 当是，

8. ，，，，，
，
（3） 当
（4） 当；；
（5） 当
9. ，，

B． 当时，
C． 当时，，

D． 当是，




一次和二次函数
预备知识：
S1、一次函数、正比例及二次函数的定义。
S2、一次函数、二次函数解析式。
S3、一次函数的性质及图象。
快速测试题：
1、 下列哪些是正比例函数，哪些是一次函数，那些是二次函数？
（1） ； （2）； (3)；
（4）； （5）； （6） ；
（7）； （8）

正比例_____________ 一次函数_____________ 二次函数___________ Go help S1

2、 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 Go help S2
3、 若函数为二次函数，求m= 。 Go help S1
4、 根据条件，说出求二次函数的解析式时，较适合的表达式
（1）抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点；
（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；
（3）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；
（4）二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0），且最大值是3． Go help S1






5、 已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（ ） Go help S3
A．第一、二、三象限 　　　 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 　　 D．第一、三、四象限


快速测试题：
答案: 正比例 （6） 一次函数 （2） （8） 二次函数 （1） （5）
解：设一次函数解析式为 由题意得
故这个一次函数的解析式为
解： 解之 所以


答案：（1）一般式
（2）双根式（交点式）
（3）顶点式
（4）顶点式

解： 通过图象可以看出：，， ∴，
∴一次函数 的图象不经过第一象限.选．
答案：C


引入：
初中我们已经学习了一次函数的相关知识，今天，我们站在高中的角度，再次学习一下这部分内容。高中研究函数，主要看三要素和四性质。三要素分别是：定义域，值域，对应法则。四性质分别是：单调性，奇偶性，对称性和周期性。性质中，前三个是我们在前面学习过程中已经掌握的，所以我们会重点的关注。好的，那么我们接下来进入基础知识的学习。

基础知识：
1、定义：函数叫做一次函数。它的定义域是R，值域也是R。
2、图象：一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫做线形函数。
其中k叫做直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
3、注意：
① ，否则就不是一次函数，而是常数函数；
② 由于一次函数的图象是直线，所以一次函数又称为线形函数，一次函数
也可以说成是直线 ；
③ 直线在y轴上的截距是b，它不是距离，因此截距可为正，可为负，也可以为零；

4、性质：
对于一次函数有以下性质：
① 变化率：即为直线的斜率k；
设为直线上任意两点，则有 或（k与两点在直线上的位置无关）；
② 增减性：时，为增函数，k<0时，为减函数；
③ 奇偶性：时，为奇函数（此时为正比例函数），时既不是奇函数也不是偶函数；
④ 直线与坐标轴的交点：与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,b)。
5、说明：
① 正比例函数是一次函数的特例，即的情况；
② k、b的符号对函数性质的影响：函数的增减性取决于k的符号；奇偶性取决于b是否为零.

课时例题：
例1．设函数，
（1）当m为何值时，它是一次函数；
（2）当m为何值时，它是正比例函数。

【解析】（1）； （2）。




例2．已知一次函数，当m，n为何值时，
（1）是增函数；
（2）函数图象与y轴的交点在x轴下方；
（3）函数的图象经过原点？
【解析】（1）； （2）； （3）



例3．已知函数，n为何值时，
（1）这个函数为正比例函数；
（2）这个函数是一次函数；
（3）这个函数是减函数；
（4）这个函数的图象与直线的交点在x轴上;
（5）在（4）的条件下，求函数的与坐标轴围成的三角形的面积。
【解析】答案：（1） （2） （3） （4） （5）






例4．某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足。某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费。月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的关系如图所示。
（1）(填空)月用电量为100度时，应交电费_____________元；
（2）当时时，求y与x之间的函数关系式；
（3）月用电量为260度时，应交电费多少元。
【解析】（1）60 （2）(2) （3）140




快速练习：
1．函数是正比例函数，求m，n的值，并确定函数解析式；


2．已知函数是一次函数，求其解析式。


3．如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么 (　　)
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
4．已知一次函数是奇函数，且在定义域R内单调递减，求的值．




5．一个一次函数的图象经过点A（-2，5）且和x轴交点为B（3，0）的一条直线，
（1）求这个一次函数；（2）求这条直线于两坐标轴围成的三角形的面积。
1．解：因为此函数是正比例函数，则有
所以 此正比例函数的解析式是：
2．解：由一次函数定义知
，故一次函数的解析式为
注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证
3.解析：由图象可以看出：y随x的增大而增大，所以；直线与y轴的交点在负半轴上，所以
答案：B
4. 解：因为函数是一次函数，所以，解得.又一次函数是减函数，
所以，即.因为一次函数是奇函数，其图象过坐标原点，故b＝0.
5. 解：（1）设这个一次函数的解析式为，将A，B点坐标代入解析式中得：
，解得
则这个一次函数是：
（2）直线与y轴交点坐标是（0，3），直线与x轴交点坐标是（3，0）
所以三角形的面积是

引入：
初中我们学过的函数还有二次函数，在初中函数中它应该属于最难的部分了，在高中学习中，它依然很重要，有句话说得好，凡是二次的都是重点（一元二次方程，一元二次不等式，二次函数），所以，我们要更加重视这部分的学习！现在，我们开始更加深入的研究二次函数，做好准备了吗？
基础知识：
6、二次函数的定义：
形如的函数叫做二次函数．定义域属于，值域见最值部
7、二次函数的三种表示形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：．
（3）两根式：．
8、二次函数性质：
（1）二次函数的图像是以直线为对称轴的抛物线，其开口方向由决定，顶点坐标为．
3. 二次函数的性质：当时，的图象开口向上，在区间上随自变量增
大函数值减小（简称递减），在上随自变量增大函数值增大（简称递增）．当时，情况相反．
（3）二次函数的图像和性质与的关系
关于的代数式
作用
说明

决定开口方向与大小；决定单调性

开口向上越小开口越大，为单调递减区间，为单调递增区间．

开口向下越小开口越大，为单调递增区间，为单调递减区间．

决定奇偶性

偶函数

非奇非偶函数

决定与轴交点位置

交点在轴上方

过原点

交点在轴下方

决定对称轴位置（左同右异）

在轴左侧

对称轴是轴

在轴右侧

决定与轴的交点个数

两个交点

一个交点

无交点

决定顶点的位置
利用配方法把函数化为

决定与轴的两交点间的距离

9、二次函数的最值：
（1）定义域属于是的最值
若，当时，取最小值,即值域为
若，当时，取最大值,即值域为
（2）闭区间上的最值
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为
1)当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：
（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时
若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是
若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是
2)当时，可类比得结论。

10、二次函数与不等式
（1）一元二次不等式的定义
形如或其中（）的不等式叫做一元二次不等式．
用文字语言表述为：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式不等式，叫做一元二次不等式．
（2） 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系．
如下表（以为例）：
判别式




二次函数

的图象



一元二次方程

的根
有两相异实根


有两相等实根

没有实根
一元二次不等式的解集


或
，且

实数集






对于开口向下的情况，类似的画出图象读出解集即可。
B． 一元二次不等式恒成立问题
类型1：设，
3. 上恒成立；
4. 上恒成立。
类型2：设
4． 当时，
上恒成立，
上恒成立
5． 当时，
上恒成立
上恒成立
11、一元二次方程根的分布情况（见后面零点部分）

课时例题：
例1．已知二次函数图象经过点、、三点，求此二次函数解析式．
【解析】解法一：设一般式
设此二次函数解析式为：，
由已知得：，解得
∴此二次函数的解析式为．
解法二：设顶点式
∵抛物线经过、，
∴抛物线的对称轴为．
设抛物线的解析式为：，
将、代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为，化为一般式为：．

例2．设抛物线为，根据下列各条件，求的值．
（1）抛物线的顶点在轴上；
（2）抛物线的顶点在轴上；
（3）抛物线经过点；
（4） 抛物线经过原点；
（5） 当时，有最小值；
（6） 的最小值为．
【解析】因为抛物线的顶点为．
（1）由题意，得．解之，得．
（2） ，即．
（3） 把代入，得，解之，得．
（4），得．
（5）令，得．
（6） ，解之，得或．

例3．函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
【解析】题型属于：轴定区间定
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称
轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在
［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。
图1



例4.如果函数定义在区间上，求的最小值。
【解析】题型：轴定区间变
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，
函数取得最小值。
图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当
时，函数取得最小值。
图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当
时，函数取得最小值
综上讨论，
图8

例5.已知，且，求函数的最值。
【解析】题型：轴变区间定
解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，
将配方得：
二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上
由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。
函数的最小值是，最大值是。


例6、（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）；（2）；（3）；（4）

例7、求不等式的解集．
【解析】①若，不等式为，解得；
②若，，
当时，不等式变为，又，故；
当时，比较与：
（i）若，即，解得：或；
（ii）若，即，解得：或；
（iii）若，，解得．
综上知：
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为

例8、若不等式的解集是R，求m的范围。
【解析】要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有
参数m，所以要讨论是否是0。
（1）当时，元不等式化为恒成立，满足题意；
（2）时，只需，所以，。






快速练习：
1．已知二次函数过点，且顶点为，求函数解析式．


2． 已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第 象限.

3．已知，求函数的最值。



4．已知，当时，求的最大值．



5．(1) 求在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数在上的最大值。



6．设，解关于的不等式．



7.（2011年八中期中9）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

1．解析：设二次函数的解析式为：，
∵二次函数过点，
∴，即：．
∴．
∴二次函数的解析式为，
化为一般式得．
2．解析:由图象可知，，，
∴ ∴在第三象限．

3.解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二
次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶
点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，
如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2
4．解：由已知可求对称轴为．
（1）当时，．
（2）当，即时，．
根据对称性若即时，．
若即时，．
（3）当即时，．
综上，

5.解：(1)二次函数的对称轴方程为，
当即时，；
当即时，。
综上所述：。
函数图象的对称轴方程为，应分，，
即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3） 时；由图可知

；即

6.①当时，因一定成立，故原不等式的解集为．
②当时，，原不等式化为；
（1）当时，，解得：；
（2）当时，，解得：．
∴当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
7.【答案】C
每日一法：
分类讨论——分类讨论之通过讨论轴与区间的关系求最值

方法描述：分类讨论是数学的四大基本思想之一，在二次函数相关题目中，这种方法显得尤
为重要。现在，我们就轴与区间的讨论的进行较为细致的讲解。

方法步骤：第一步：求出对称轴；第二步：确定到区间；第三步：对称轴与给定区间的相对
位置关系的讨论
方法练习：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。



2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。




3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例3. 已知，且，求函数的最值。





4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例4. 已知，求的最小值。







（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例5. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值。




例6.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。






例7 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数
的值。




例1. 答案：函数的最大值为，最小值为。
例2.
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当时


当时

例3.解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：
二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上
由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。
函数的最小值是，最大值是。

图3
4. 轴变区间变
例4.解：将代入u中，得

①，即时，
②，即时，
所以


（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例5. 解：
（1）若，不符合题意。
（2）若则
由，得
（3）若时，则
由，得
综上知或
例6.解法1：讨论对称轴中1与的位置关系。
①若，则
解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，
解析2：由，知，则，
又∵在上当增大时也增大所以
解得
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
例7 解：（1）令，得
此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；
（2）令，得
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；
（3）若，得
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。
综上，或
解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。


指数运算及指数函数预习册
10分钟

1、化简下列各式
例：
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

2、运用指数运算法则1化简及计算下列各式
指数运算法则1
如果则

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）
20分钟

1、求下列各式的值

例：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9） （10）

2、运用指数运算法则2求下列各式的值
指数运算法则2
如果都为正整数，则

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

30分钟

指数运算法则3

1、改写下列各式

（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2、求下列各式的值

（1） （2）
（3） （4）
（5）
（6）
3、化简下列各式，把结果写成指数的形式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）


指数运算及指数函数
预备知识：
S1、正整数指数幂的定义。
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数的次幂等于个的连乘积，即

S2、正整数指数幂的运算法则。
如果则

S3、负整数指数幂的定义：。
快速测试题：
1、。 Go help S1
2、计算：（1） ；（2） ；（3） 。 Go help S2
3、。 Go help S3
引入：
①实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？
实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）
计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚度？
②问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？
问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为. 探究该式意义？
③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

基础知识：
1、n次方根的概念
（1）一般地，若,那么叫做的次方根.( throot ),其中,
简记：. 例如：，则
（2）讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如: ,,
记：
当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: ,的4次方根就是,
记：
（3）强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.

2、根式的定义
（1）像的式子就叫做根式（radical）, 这里n叫做根指数（radical exponent）, a叫做被开方数（radicand）.
（2）结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，
3、分数指数幂定义
规定；
4、指数幂的运算性质：
·； ；
课时例题：
例1．求下列各式的值

（5） （6） （7） →

例2．求值 ；； ；.
【解析】.

例3.用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）； （2）； （3）.
【解析】
例4： 计算：
（1） ；（2） ；
（3）.
【解析】

例5：已知=3，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）
【解析】

快速练习：
1. 计算或化简：； （推广：， 0）. Go help S1

2. 求值：; ; ; ; ;
Go help S2、3

3.化简：； Go help S4

4. 已知x+x-1=3，求下列各式的值.
（1）； （2）. Go help S5

引入：
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：．
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。

基础知识：
5、指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．
练习：判断下列函数是否为指数函数。
① ② ③（且）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧．

6、指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：



图象


性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数

课时例题：
例1．已知指数函数的图象经过点，求的值
【解析】

例2．比较下列各题中两个值的大小：
；
【解析】.
例3.求下列函数的定义域、值域：; ; ；
【解析】 (1)由x－1≠0，得x≠1，故函数的定义域为{x|x≠1}．
由，得y≠1，故函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得，故函数的定义域为.
由，得y≥1，故函数的值域为{y|y≥1}．
(3)由表达式的特征知，函数的定义域为R.
由2x＞0，得2x＋1＞1，故函数的值域为{y|y＞1}．

例4.已知函数，求这个函数的值域
【解析】
例5.已知f(x)为定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，.
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性．
【解析】(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝.
又∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.∴f(x)＝
(2)设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝.
又∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1＋x2＞0,4x1＋1＞0,4x2＋1＞0.
∴2x1＋x2＞1,2x2＞2x1.
∴2x2－2x1＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴f(x)在(0,1)上是减函数．

快速练习：
1. 函数是指数函数，则的值为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值
2．已知 0.80.7, 0.80.9, 1.20.8，则、、的大小关系是 .
3．函数的定义域为 .
4．求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.






5．求函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域。









每日一法：
图像变换----对称、平移、翻折
方法描述：
①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；

Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。

②对称变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y=f(-x)

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
y=f(x) y= -f(x)

Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
y=f(x) y= -f(-x)

Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
y=f(x) x=f(y)

Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到

③翻折变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到

方法步骤：

1、画出原来函数图像
2、确定是哪种变换
3、对图像进行平移、对称及伸缩变换


方法练习：

1.画出下列函数的图像
（1） （2） （3）（4）




2、函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列
结
论正确的是 （ ）
A． B．

C． D．

3、函数的图象恒过定点（   ）.
A．
B．
C．
D．




4、若函数的图像是由函数的图像向右平移3个单位而得，则函数的图像恒过定点

5、已知是偶函数，则的图像关于__________对称。

6、在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）


7、函数y＝21－x与y＝21＋x的图象关于________对称。

8、函数y＝x2－3|x|＋ (x∈R)的单调区间有________。

9、试讨论方程 |x2－x－2|＝a的解的个数(a∈R).

10、（2013年高考北京卷（理））函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=
A. B. C. D.
习题答案
预习册
10分钟


20分钟


30分钟



快速测试题

课时例题


例2.
例3.
例4.
例5.

快速练习


课时练习
例1.
例2.

例3. (1)由x－1≠0，得x≠1，故函数的定义域为{x|x≠1}．
由，得y≠1，故函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得，故函数的定义域为.
由，得y≥1，故函数的值域为{y|y≥1}．
(3)由表达式的特征知，函数的定义域为R.
由2x＞0，得2x＋1＞1，故函数的值域为{y|y＞1}．
例4.
例5.(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝.
又∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.∴f(x)＝
(2)设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝.
又∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1＋x2＞0,4x1＋1＞0,4x2＋1＞0.
∴2x1＋x2＞1,2x2＞2x1.
∴2x2－2x1＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴f(x)在(0,1)上是减函数．

快速练习
1.B；2.；3.；4.定义域；值域；增函数；奇函数
5.y＝22x－2×2x＋3，令t＝2x，x∈(－∞，1]，则y＝t2－2t＋3，t∈(0,2]．
∵y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2，t∈(0,2]，∴当t＝1时，ymin＝2；当t＝2时，ymax＝22－2×2＋3＝3.∴函数的值域为[2,3]．

每日一法
1、略；2、D；3、D；4、（3,9）；5、；6、A；7、y轴

8、单调增区间为；单调减区间为

9、

10、 D


对数与对数函数预习册
例：23 =8 3=log28; 32 =9 2=log39
10分钟
1、24=16 =log216 2、30 =1 = log31
3、3 =3 = 4、=2 4 =
5、 = = 6、3-3= =
7、= -2 = 8、= =
9、=3 = 10、= =
20分钟
1、=4 = =log24 2 、=2 =-1=
3、=2 = 4、4n=5 =log45
5、 = 6、 =
30分钟
1、log24= 2、log33= 3、log416=
4、= 5、= 6、=
7、= 8、= 9、=
对数及对数函数
预备知识：
S1指数的含义，尤其是零指数幂、负指数幂的含义
S2根式与指数幂的转化、幂运算法则
S3指数函数的性质和图像

快速测试题：
1、 = 8 ；（ ）3 =27 ； =16 ； Go help s1
2.可化为 Go help s2
3.，则= ;，则= Go help s2
4.若则的取值范围 Go help s3
5.若则的取值范围 Go help s3


引入：
在上一节中我们学习指数函数的时候，书上的例8里面提到截止1999年时，我国人口约是13亿，如果今后将人口平均增长率控制在，那么20年后我国人口最多是多少？
设人口平均增长率为，经过x年后，我国人口数为y亿.
则 y=13 由此我们可以算出任何一个年头x的人数。反之，如果问“哪一年的人口数可以达到18亿，20亿，30亿......”.那该如何解决？
上述问题实际上就是从，，，......中解出x的值.即已知底数和幂的值求出指数.这就是我们这一节要学习的对数问题

基础知识:
一、对数的概念及其表示：
1.对数的概念：一般地，如果（a>0且a1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数.
2.特殊对数的表示形式：（1）以10为底的对数叫常用对数，并把记为lgN
（2）以无理数e=2.71828...为底数的对数叫自然对数， 并把loge记为lnN.
3.对数与指数的关系：当a>0且a1时，ax=Nx=logaN,
所以，零和负数没有对数；
loga1=0, logaa=1
4.对数的性质与运算：
a.对数的性质
(1) (a>0且a1) ;
(2) (a>0且a1).
b.对数的重要公式：
(1)换底公式：logbN =(a、b均大于零且不等于1)：
(2)logab=推广=(a,b,c均大于零且不等于1，d 大于零).
c.对数的运算法则：
如果a>0且a1,M>0,N>0,那么
(1)
(2)
(3)
(4)().
课时例题：
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）53=125 ； （2） 2-5= ； （3） ； （4）ln10=2.303
【解析】（1）log5125=3； （2）log2=-5 ；（3）=16 ； （4）
例2、求下列的值：
（1）=； (2) ；（3）；（4）-ln=.
【解析】（1）log28=
. 即2x=23
=3；
(2)log64=
==；
(3)

又>0, ====;
(4) -ln=
.ln=- 即
=-2.
例3、用表示下列各式：
（1）； （2）； （3）
【解析】（1）
；
（ 2）

(3)

例4求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3） .
【解析】：（1）
=log223+log245
=3log22+5log24
=13;
(2)
=
=(lg5+lg2)++2
=1++2
=;
（3）


快速练习：
1、 将指数式化成对数式或将对数式化成指数式：
（1）2-2=； （2）52=25； （3）=3 ； （4）；


（5）log39=2; (6)=-2; (7) (8)




2、 求下列各式的值
（1）log5125; (2); (3); (4);


(5) ; (6); (7); (8)log4
3、用表示下列各式：
（1）lg(xyz2); (2); (3); (4) .



4、求下列各式的值：
（1）log26-log23; (2)lg5+lg2; (3)log35-log315;





(4)lg-lg25; (5)2log525-3log264; (6)log2(log216).





(7);


(8) ;




(9).


引入：
由前面我们得到的年头和人口总数的关系：时间和总人数y的关系是，.根据实际意义可知，每一个人口数量都有唯一的一个时间与之对应，所以，是y的函数.

基础知识：
对数函数及其性质：
1、对数函数的定义：
一般地，我们把函数y=loga(a>0且a1)叫作对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，）.
2、对数函数的图像和性质：
（1）图象：

定义域
（0，）
值域
R
过点
(1，0)和（a,1）
范围


单调性
在（0，）上单调递减
在（0，）上单调递增
奇偶性
非奇非偶
渐近线
y轴
(2)性质：
指数函数和对数函数的关系：同底的指数函数和对数函数图像是关于y=x对称的
(3)重要结论：
（1）;
例如y=log2x和y=的图像

（2）由图像判断底数的大小：按顺时针方向，底数越来越大（要注意底数大于1和小于1的区别）
（3）解对数不等式：先化同底，再根据单调性去底
（4）比较对数的大小：a.化同底或同真利用图像和单调性比较；b、与0和1
比较；c、作差或作商法
（5）复合函数的单调性：同增异减（注意函数的定义域）
课时例题：
例5、求函数的定义域：
（1） ； （2） ； （3）
【解析】（1）
（x-3）（x+1）>0

(2) >0

\
(3)
（2x-1）(x-3)<0

例6、比较各组中两个值的大小：
（1）log23.4, log28.5;

（2）log0,51.8, log0.50.3;

（3）loga3, loga4;
【解析】（1）因为y=log2x在（0，+）上是增函数，且3.4<8.5,所以
log23.4< log28.5;
（2）因为y=log0。5x在（0，+）上是减函数，且0.3<1.8,所以
log0,51.8 (3)对数的增减性决定于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数进行讨论
当a>1时，因为函数y=logax在0，+）上是增函数，且3<4.所以
loga3< loga4;
当0 loga3> loga4.
例7、求不等式的解：
（1）log2xlog0.52; (3)log2(x2-3x)>2; (4)loga(x2-2x) 【解析】（1）因为y=log2x在（0，+）上是增函数
所以 所以不等式的解集为；
（2）因为y=log0。5x在（0，+）上是减函数
所以 即
所以不等式的解集为;
（3）因为log2(x2-3x)>2 即log2(x2-3x)>log24,
又因为y=log2x在（0，+）上是增函数
所以以
由得x>3或x<0
由得 -1 所以，不等式的解集是
例8、求下列函数的增区间：
（1）y=log2(2x-1); (2)y=log0.5(x2-4x); (3)y=loga（-x2+2x+3）.
【解析】（1）令y= log2u (u>0)
u=2x-1
因为y= log2u是单调递增的函数，u=2x-1也是单调递增的函数，
且2x-1>0即x>,所以，函数的单调递增区间是（,+）；
（2）令y= log0.5u (u>0)
u= x2-4x
因为y= log0.5u 是单调递减的函数，u= x2-4x是二次函数，求函数的增区间即求在定义域内的u的减区间即可，所以

由得x>4或x<0，
由得 x<1
所以，函数的单调递增区间是（-）
（3）令y= logau (u>0)
u=-x2+2x+3
当a>1时，因为y= logau 是单调递增的函数，u=是二次函数，求函数的增区间即求在定义域内的u的增区间即可，所以

由得-1 由得x>,
所以，函数的单调递增区间是（）;
当<0a<1时，因为y= logau 是单调递减的函数，u=是二次函数，求函数的增区间即求在定义域内的u的减区间即可，所以

由得-1 由得x<,
所以，函数的单调递增区间是（）;
（注： 求函数的单调性时，注意定义域优先原则 求复合函数的单调性要利用同增异减原则）

快速练习：
1、求下列函数的定义域：
(1)


（2）

（3）
2、比较大小：
（1）log67, log76;



(2)log33.3, log20.8;



(3) ，，;



（4），，；


(5)

3、解不等式：
（1）log2x


（2）log0.5(2x-1)>0;




（3）ln(x2-3x)



（4）ln(-2x2+9x)>-2;



4、求函数的单调区间：
（1）y=lg(3x-2);



(2) y＝ln（x2－3x＋2）;


(3) y=lg(6-x-x2);




(4) y=loga(2x2-3x-2);


(5) y=loga(ax2-(a+1)x+1).

每日一法：
换元讨论——求复合函数的单调性和求复合函数的值域问题.
方法描述：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法
方法步骤：可以先观察算式，然后把一个式子用一个字母替换，然后求出字母的范围或者其他符合的条件，在和原函数综合即可
方法练习：
例：求函数y= -ln(x2-4x+12)的值域
【解析】令y=u（u>0）;
u = x2-4x+12
=(x-2)2+8
所以，,因为y=u为单调递减的函数，所以当u=8时y有最大值为-3
所以值域为.
快速练习：
1、求函数y=log2(4x-x2)的值域.





2、求函数y=的值域.





答案：
快速测试题答案：
1、3, 3 ，-2. 2、 3、， 4、
5、
快速练习1：
4) （1）; (2) log525=2; (3) ; (4)
(5) 32=9; (6)2-2= ; (7 ; (8) 102=100.
2、（1）3; (2)-4; (3)-3; (4)0;
(5) 2; (6); (7)-1; (8)-3
3、用表示下列各式：
（1）lg(xyz2)
=lgx+lgy+2lgz;
（3）

（4）

（5） .

6、 求下列各值：
K． log26-log23
=log22
=1；

(2)lg5+lg2=1 ；

(3) log35-log315
=log
=-1;
(4)lg-lg25
=lg
=-2;
(5)2log525-3log264;
=4log55-18log22
=-14;
(6)log2(log216).
=log24
=2;
(7);

E．

F． .

快速练习2：
1、求下列函数的定义域：
(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
(5) ;
(6) ；
（7）；
（8）.
2、比较大小：
（1）log67> log76;
(2)log33.3> log20.8;
(3) >>
（4）<<;
（5）,;

3、解不等式：
；
（2）；
（3）；

（4）；
(5) ；
(6) .
4、求函数的单调区间：
（1）单调增区间为；
(2) 单调增区间为（-），单调减区间为（2，+）;
(3) 单调增区间为（-），单调减区间为（，2）;
(4) 当a>1时单调增区间为（2，+），单调减区间为（-）;
当0 (5) 当a>1时单调增区间为（-），单调减区间为（1）;
当0 快速练习3:
1、（
2、



幂函数预习册
10分钟
1、 利用描点法画出下列函数，，的图象，并判断其单调性与奇偶性。



2、求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。

（1） （2） （3）　　（4）


20分钟
3、比较下列各组数的大小
（1）和 （2）和


4、 已知，
（1） 当取什么值时，为正比例函数；（2）当取什么值时，为反比例函数；

幂函数
预备知识
正整数指数幂：
零指数幂：
负整数指数幂：
分数指数幂：正分数指数幂的意义是：
负分数指数幂的意义是：
快速测试题：
1．下列说法正确的是(n∈N*)( C )
A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0 D．是无理数
2．下列正确的是( C )
A．a0＝1 B．
C．10－1＝0.1 D．
3．___4_____，____0.1_____64___________125____．
4.把下列根式化成分数指数幂的形式(其中a，b＞0)
______；=______；

引入：
我们先看几个具体问题：
1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克，那么她需要支付元，这里是的函数。
2.如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数。
3.如果立方体的边长为，那么立方体的体积，这里是的函数；
4.如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；
5.如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度km/s，这里是的函数。
思考：以上问题中的函数具有什么共同特征？
基础知识：
1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.对于幂函数，我们只讨论时的情形。
2.幂函数的图象

观察图，将你发现的结论的写在下表内：







定义域





值域





奇偶性





单调性





定点






通过上表，我们可以得到：
1. 函数，，，和的图像都通过点（1,1）；
2. 函数，，是奇函数，函数是偶函数；
3. 在第一象限内，函数，，和是增函数，函数是减函数；
4. 在第一象限内，函数的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。
(3)幂函数的性质
有下列性质：
(1) 时：

①图象都通过点，；
②在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数.

(2) 时：

①图象都通过点；
②在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数；
③在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近.
(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；
(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.

【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只讨论x≥0或者x＞0的时候.

(4)幂函数的奇偶性
函数的定义域为,定义域关于原点对称,且

所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数.
【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性.

课时例题：
例1.求函数的定义域.
【解析】
，所以定义域为
例2：证明幂函数在上是增函数。
【解析】证明：任取、，且<，则
，
因为
所以 ，即幂函数在上是增函数。


例3：已知幂函数的图象过点，试讨论其单调性.
【解析】设，代入点，得，解得，
所以，在R上单调递增.


例4：已知函数是幂函数，求的值.
【解析】因为是幂函数，所以，解得：或；


例5：已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且
的图象关于y轴对称，求的值．
【解析】∵ 幂函数图象与、轴都没有公共点，∴ ，解得.
又 ∵ 的图象关于y轴对称， ∴ 为偶数，即得.



例6：幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．

【解析】图象由下至上，依次是，，，，，所以有. 选B.

例7：已知，求的取值范围.

【解析】：，即→
→
所以
快速练习：
1．下列为幂函数的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝ax
C．y＝2x－2 D．
2．下列函数中定义域为R的函数是( )
A． B．
C． D．
3．设它们的大小关系是( )
A．c＜a＜b B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜b＜a
4．已知幂函数y＝xn(n∈Z)在x＞0时是增函数，在x＜0时是减函数，则n的值是( )
A．正奇数 B．负奇数 C．正偶数 D．负偶数
(二)填空题
5．函数的定义域为______，值域______．
6．函数f(x)＝(m2－3)，当m取______时是反比例函数，当m取时是幂函数，当m取______时，幂函数不过原点．
7．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝______．
8．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围为____________．
(三)解答题
9．比较下列各组中两个数的大小：
；；，．




10.已知f(x)＝(m∈Z)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上随着x值的增大函数值减小，求f(x)的解析式及其定义域、值域，并比较f(－2)与f(－1)的大小．







快速练习答案：
(一)选择题
1．D 2．D 3．D
解：因为，所以c＜b＜a．
4．C
(二)填空题
5．答：R；[0，＋∞)．
6．答：2，±2，2
7．答：
8．答案是m＞0．
解：先比较0.71.3与1.30.7的大小可知：0.71.3＜1.30.7，由题意(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则m＞0．
(三)解答题
9．答案：(1)
解析：(1)考查幂函数的单调性，在第一象限内函数单调递增，
∵1.5＜1.7，∴，
(2)∵，
(3)∴
10．解：由题意可知：m2＋2m－3＜0，且m∈Z，∴m可取－1，∴f(x)＝x－4
定义域x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域y∈(0，＋∞)且f(－2)＜f(－1)

每日一法：
整体代换：
做法：在已知条件中找到我们熟悉的数学模型，把不熟悉的部分看成一个整体，用u，v等做整体代换
练习1．函数的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．[－3，0]
C． D．
解析：设，则即选B。
2． 已知f(2x－1)＝x2，则f(5)＝______．
解析：设则，即所以
3． 若函数f(x)的定义域是[－2，2]，则f(x＋1)的定义域是______．
解析：设则所以即定义域
4． 函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系是______。
解析：设则，因为是减函数，所以
5． 求函数的值域．
解析：设则所以，所以值域为
6． 函数的定义域为______，值域为______．
解析：设则即定义域；值域
7．函数，其中x≥－8，则其值域为____________．
解析：设，∵x≥－8，∴u≥－2，则y＝u2＋2u＋4＝(u＋1)2＋3．
当u＝－1时，ymin＝3．
∴函数的值域为[3，＋∞)．




函数与方程预习册
1、函数的零点是　　　　（　　）
A．　　B．　　C．，　　D．
【答案】：D
【解析】由得，＝１和２，所以选Ｄ．

2、函数的零点个数为　　（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
3、判定函数在区间内是否有零点．
【答案】：无零点
【解析】：当时，，函数在上的图象与 轴没有交点，即函数在区间内没有零点．
法二：由得，故函数在区间内没有零点．

4、函数的两个零点是2和3，求函数的零点．
【解析】由题意知方程的两根分别为2和3，
∴a＝5，b＝－6，
∴
由得
＝－，＝－.
∴函数g(x)的零点是－，－.

5、已知二次函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】：⑴当方程在上有两个相等实根时，　　　　　　　且，此时无解．
　　　　⑵当方程有两个不相等的实根时，
① 有且只有一根在上时，有，即，解得②当时，＝０，，解得，合题意．
③当时，，方程可化为，解得合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
6、函数，若，则在上零点的个数为（　 ）
A.至多有一个 　B.有一个或两个 C.有且只有一个 D.一个也没有
【答案】：C
7、用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
【答案】：
【解析】：令 , ,


函数与方程
预备知识
S1、认识函数的零点，掌握函数零点与方程根的区别与联系
S2、一次函数二次函数的零点问题
S3、二分法估算函数零点位置

快速测试题：
1、方程的根为 go help s2
函数的零点为 go help s2
2、方程的根为 go help s2
函数的零点为 go help s2
3、函数的零点为 go help s2
4、函数的零点为 go help s2
5、（Ⅰ）观察二次函数的图象： go help s1
在区间上有零点______；
_______，_______, ·_____0（＜或＞）．
在区间上有零点______； ·____0（＜或＞＝．
（Ⅱ）观察下面函数的图象 go help s3

在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞）．

引入：
函数与方程思想是高中阶段我们遇到的非常重要的一个思想，它贯穿了整个高中数学。那么首先我们要明白什么是函数，什么是方程，它们有什么区别和联系。
函数描述是自然界中一个变量依托于另一个变量变化的关系与规律，一般的函数思想是构造函数从而利用函数性质解决问题，比如单调性、奇偶性、最大值最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的具体特性。
那么什么是方程思想呢？方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量与未知量通过适当设元构建其方程关系，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式。
一定条件下，函数与方程可以相互转化，比如二元不定方程可以转化为一元函数。

基础知识：
1、函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
2、函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
a、（代数法）求方程的实数根；
b、（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数在区间上图象是连续不断）的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程=0的根(注意：反之不一定成立)。
课时例题：
例1、函数的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)
A．2；2 B．(2,0)；2 C．－2；－2 D．(－2,0)；－2
【解析】　由y＝x－2＝0，得x＝2，故交点坐标为(2,0)，零点是2.
【答案】　B

例2．函数的零点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】　方程中，判别式，故方程无实根，函数没有零点．
【答案】　A

例3．若函数在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数在(－2,2)内有一个零点，则的值 (　　)
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定
【解析】若函数在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则， 若不是变号零点，则
【答案】 D

例4. 已知函数的图象是不间断的，并有如下的对应值表：

1
2
3
4
5
6
7

8
7
–3
5
–5
–4
–8
那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】，由零点存在性定理可知，至少三个
【答案】 C

例5．设函数 则在下列区间中，使函数有零点的区间是 (　　)
A.[0,1] B.[1,2]
C.[－2，－1] D.[－1,0]
【解析】∵

∴函数在区间[－1,0]内存在零点.
【答案】D

快速练习：
1、函数的零点为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．　以上都不对
【解析】：方程的两根分别为2，3，所以函数零点为或
【答案】：C．

2、是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)＝0，
∴f(2)＝f(5)＝f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.
【答案】：B

3、下列说法不正确的是（　　）
Ａ．对于函数，若，则是函数的零点
Ｂ．方程有实数根，则函数有零点
Ｃ．如果函数在区间上图象是连续不断的一条曲线，且 ，那么函数在区间内至少有一个零点
Ｄ．如果函数在区间上图象是连续不断的一条曲线，且 ，那么函数在区间内一定有一个零点
【解析】：零点存在性定理
【答案】：D．

4、下面六种说法中正确的个数为（　　）
一次函数在其定义域内只有一个零点；
二次函数在其定义域内至多有两个零点；
指数函数在其定义域内没有零点；
对数函数在其定义域内只有一个零点；
幂函数在其定义域内可能有零点，也可能没有零点；
函数含有的零点数至多为两个．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【答案】：Ｃ．

5、判断函数f(x)＝lnx－在区间(1,3)内是否存在零点．
【解析】　因为函数f(x)＝ln x－的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线，且f(1)＝－1<0，f(3)＝ln 3－>0，从而由零点存在性定理知，函数在(1,3)内存在零点．
【答案】存在

6、方程 的实数解的个数为________．

【解析】　分别作出函数与函数的图象，如图所示．
∵
∴从图象上可以看出它们有2个交点．
【答案】　2


7、设函数 的零点为，则所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解析】　解法一：令f(x)＝x3－()x－2，
则f(0)＝0－()－2＝－4<0，
f(1)＝1－()－2＝－1<0，
f(2)＝23－()0＝7>0，
f(3)＝27－()1＝26>0，
f(4)＝43－()2＝63>0，
∴f(1)·f(2)<0，
故x0所在的区间是(1,2)。
解法二：数形结合法，如图所示．

【答案】　B

8、若函数有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】：函数f(x)的零点的个数就是函数与函数 交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.

【答案】：(1，＋∞)

9、已知函数f(x)＝x|x－4|－5，则当方程f(x)＝a有三个根时，实数a的取值范围是　　　　.
A.－5＜a＜－1 B.－5≤a≤－1 C.a＜－5 D.a＞－1
【解析】：f(x)＝x|x－4|－5＝在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y＝a与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是
－5 【答案】：A

10、（1）求函数的零点
（2）设函数，求函数的零点
【解析】：（1）的零点就是方程的实根
（2）当x≥1时，f(x)－＝2x－2－＝2x－＝0，
∴x＝.
当x＜1时，x2－2x－＝0，
∵Δ＝4＋1＞0，
∴x＝＝，又∵x＜1，∴x＝.
∴函数y＝f(x)－有两个零点和.
【答案】：（1）0，8，-8
（2） ，

进阶提升：
1、已知，分别是关于的方程的两个根，且，求实数的取值范围．

【解析】：设，则由题意可知
，
又，
由，得，即．解得．
又由，得，即，解得．
综上可知，．
【答案】：．

2、已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围.
【解析】：若a＝0，则f(x)＝2x－3显然在[－1,1]上没有零点，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝.
①当a＝时，y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；而a＝时，
经检验不符合要求.
②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)≤0时，得1≤a≤5，因当a＝5时，方程f(x)＝0在[－1,1] 上有两个相异实根，故1≤a＜5时，y＝f(x)在[－1,1]上恰有一个零点；
③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则

解得a≥5或a＜.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥1或a≤}.

引入：
古希腊埃利亚派哲学家芝诺是一位很有趣的人物。他以提出“两分法”，“阿基里斯追不上乌龟”的悖论问题而闻名于世。在这些悖论中，芝诺否认了物质运动的存在。这本来是荒谬的，但他提出的理由又是那样的雄辩，仿佛无懈可击，以至于在19世纪以前，没有任何人能驳倒他。
在两分法悖论中，芝诺要论证的是：一个正在行走的人永远到达不了他的目的地，因此，运动是不可能的。我们用自己的语言来分析一下芝诺的观点。请先思考：
正在行走的人从A地出发，要走到X地。首先，他必须通过路程1/2处的B点，这刚好是A——X的中点。然后，他又得经过路程3/4的C点，这是B——X的中点。接着，从C点出发，在到X之前他仍要经过一个中点，即路程7/8的D点。从D点出发，他仍然得经过D——X的中点E……，由此类推下去，无论离X的距离有多么接近，他都得先经过一个个的中点。然而，我们知道，这些中点是无止境的，哪怕是微乎其微的距离，也总还有一个地方是这段距离的中点。正因为中点是走不完的，所以那个行走的人虽然离终点越来越近，但他始终无法到达终点。
当然，从生活实际出发我们知道他的理论是错的，但是错在哪里了呢？好，这个留作思考，课下可以查一些资料来理解“芝诺悖论”。我们从他的思想当中提炼出“二分法”这么一个“无限分割逼近”的思想来解决我们一部分的数学问题。

基础知识：

二分法：
1、一般地，我们把称为区间的中点
2、对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
（1）用二分法的条件表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点，而非不变号零点。
（2）二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断的符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够小，便可求出满足精度要求的近似根。
用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
1、确定区间 ，使 ，给定精度ε；
2、求区间的中点
3、 计算：
（1）若=0，则就是函数的零点；
（2）若 ，则令，此时零点；
（3）若 ，则令，此时零点.
4、 判断是否达到精确度ε：若 ，则得到零点近似值（或）；
否则重复步骤 2～4．

课时例题：
例1、已知二次函数的部分对应值如下表
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求的值，则方程的两个根所存在的区间是（ ）
A、和 B、和
C、和 D、和
【解析】A
例2、利用计算器，用二分法求方程2＋3x＝7的近似解（精确度0.1）
【解析】:原方程即2＋3x＝7 ,令f（x）＝2＋3x－7,用计算器作出函数的对应值表与图象（如下):
x
0
1
2
3
4
5
6
7
f（x）＝2＋3x－7
-6
-2
3
10
21
40
75
142


观察上图和表格,可知f(1)·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, 所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.

例3、若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 (　　)
A.f(x)＝4x－1 B.f(x)＝(x－1)2
C.f(x)＝ex－1 D.f(x)＝ln(x－)
【解析】：∵4个选项中的零点是确定的.
A：x＝；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝.
又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，
g()＝＋2×－2＝1＞0，
∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于(0，)之间.从而选A.
【解析】：A

快速练习：
1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）

【答案】：B

2、用二分法求的无理零点是　　　　　　．（精确到0.1）．

答案：1.7．

3、用二分法求方程在区间内的根，要求误差不超过．

答案：．


每日一法：

数形结合，分析函数图像

方法描述：针对较好画图象的函数，解决方程根的分布问题

方法步骤：将方程分解为两个各自方便画图的函数，画出函数图像

方法练习：
例、方程的根为，求不超过的最大整数n
【解析】： 原方程可转化为
分别画出与的图像，估算交点位置在（2，3）
所以n=2
【答案】：2
函数应用题预习册
例：一笔10万元的资金投资30天，每天固定回报40元。如果第天的投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：常数函数（为常数）。

数值信息：

函数关系：


1. 一笔10万元的资金投资30天，每天固定回报60元。如果第天的投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：




2.一笔10万元的资金投资30天，第一天回报40元，以后每天回报递增1元。如果第天的投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：



3.一笔10万元的资金投资30天，每天固定回报60元，超过期限后每天回报递增1元。如果第天的投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：




4.一笔10万元的资金投资30天，第一天回报40元，以后每天回报增加1元。如果前天的累积投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：



5.一笔10万元的资金投资30天，每一天的投资回报是本金的。如果第天的投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：



6.一笔10万元的资金投资30天，每一天的投资回报是本息的。如果第天的投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：



7.一笔10万元的资金投资30天，每一天的投资回报是本息的。如果第30天的投资回报为元，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：



8.一笔10万元的资金投资若干天，每一天的投资回报是本息的。如果单日投资回报不少于元至少需要天，则和函数关系是
函数模型：

数值信息：

函数关系：




函数应用题
预备知识：
S1、指数函数、对数函数、幂函数、一次函数、二次函数和反比例函数的定义、图像和性质。
S2、测量、运动、生产、交易、储蓄等常见应用问题中变量的数学含义和关系。
S3、平均变化量与平均变化率的关系与区别。
快速测试题：
1、函数的图像大致是 Go help S1

2、函数在区间上的最大值是 Go help S1
3、年利率，10000元存3年后，本息合计应得金额为 Go help S2
4、一件衣服的成本为40元，标价120元，打七折出售，利润为 Go help S2
5、某市2005年底人口为800万，2006年人口增加了25%，2007年增加了152万人，这两年人口的平均增长率是 Go help S3



引入：
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。

面临一个实际问题，我们应该如何选择恰当的函数模型进行描述？我们可以通过建立的函数模型获得哪些信息？我们又该如何利用函数模型改善我们的生活呢？

基础知识：

1、高一常见函数模型：
（1）指数函数：（、、为常数，，，）。
（2）对数函数：（、、为常数，，，）。
（3）幂函数：（、、为常数，，）。
（4）一次函数：（、为常数，）。
（5）二次函数：（、、为常数，）。
（6）反比例函数：（、为常数，）。
（7）分段函数。
2、应用题计算步骤：
（1）审题：理清题意，找出核心变量和中间变量；
高中常见生活变量词：路程、速度、时间、费用、产量、销量、价格、成本、收入、利润、本金、利息、利率等。
（2）建模：根据数学关系词，找出变量间的数学关系，选择合适函数模型进行描述；
高中常见数学关系词： 总、累积、每、44均(人均、年均)、率（增长率、降低率）、递（递增、递减）、比（正比、反比）、线性、指数、折扣、翻番。
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论。
（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义。

课时例题：
例1．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了。若按此规律，设2011年的湖水量为，从2011年起，经过年后湖水量与的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
解析：
核心变量：时间，湖水量。
模型选择：减少率为指数模型，年后湖水量与呈指数关系，即。
2011年的湖水量为：时，，所以，；
在50年内减少了：时，，所以，，；
与的函数关系式：。
答案：C
例2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。与以上事件吻合得最好的图象是( )

解析：
核心变量：时间，距学校的距离。
模型选择：分段函数。
骑车上学：距学校的距离变小，即函数为递减的。
开始时匀速行驶：第一段为一次函数，形状为直线。
途中停留了一段时间：第二段为常函数，形状为水平直线。
后加快速度行驶：第三段曲线比第一段更陡。
答案：C
例3．某旅游商品生产企业，2008年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为1.2元/件，年销售量为10000件。此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本。若每件投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计销售量增加的比例为。已知利润（出厂价投入成本）年销售量。
（1）写出2009年预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使2009年的年利润比2008年有所增加，问：投入成本增加的比例应在什么范围内？
解析：
（1）核心变量：成本增加比例，2009年预计年利润。
中间变量：出厂价、投入成本、年销售量。
2008年投入成本为1元/件，投入成本增加比例为：投入成本。
2008年出厂价为1.2元/件，出厂价提高比例为：投入成本
。
2008年销售量为10000件，销售量增加比例为：年销售量
。
利润（出厂价投入成本）年销售量：

答案：函数关系式：。
（2）2009年年利润比2008年增加：。
整理得：；
解得：。
答案：
例4．某旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元。旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团最多为75人。
（1）写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数关系式；
（2）旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解析：
（1）核心变量：旅游团人数，飞机票价格。
模型选择：分段函数。
人数30，飞机票每张900元：当时，。
人数多于30，每多1人，机票费每张减少10元，旅游团最多为75人：当时，
。
答案：函数关系式：。
（2）当时，；当时，最大利润为27000元。
当时，；当时，最大利润为36000元。
综上所述，旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润。
答案：60。

快速练习：
1．某商人购货，进价已按原价扣去，他希望对货物定一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是 。
答案：。
2.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入(万元)与药品利润(万元)存在的关系(为常数)，其中不超过5万元。已知去年投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，若今年广告费用投入为5万元，预计今年药品利润为 万元。
答案：125。
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致是( )

答案：125。
4.如下图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：

（1）通话2分钟，需付电话费 元；
（2）通话5分钟，需付电话费 元；
（3）如果，则电话费(元)与通话时间(分钟) 之间的函数关系式为 。
答案：（1）3.6（2）6（3）。
5．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增，八月份销售额比七月份递增，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则的最小值是 。
答案：20。
6．2010年我国人均国民生产总值约为美元，若按年平均增长率的速度增长。
（1）计算2012年我国人均国民生产总值；
（2）经过多少年可达到翻一番(与2010年相比)？(，)
答案：（1）（2）10。
7．因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中。为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。已知每投放，且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为，其中。若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和。根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用。
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)。
答案：（1）8（2）1.6。


每日一法：

选取函数模型的图象——性质与特殊点法

方法描述：在函数模型图像选择题中，如果模型的解析式确定起来比较麻烦，可以通过分析函数应该具有的一些性质，结合函数的一些特殊值，从而筛选出不满足条件的图像，得到正确答案。

方法步骤：
1.读题，初步理解题目内容，重点把握自变量和因变量的意义；
2.观察选项，找出各选项之间在性质或特殊值上的主要区别，一般分析顺序为奇偶性、单调性、凹凸性（中点位置）、特殊点函数值（符号）。
3.根据题目描述判断函数模型应有的性质，找出正确答案。

方法练习：

1. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看做时间的函数，其图象可能是( )

答案：A。
2. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在如图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是( )
A． B．
C． D．
答案：B。
3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用、分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )

答案：B。
4.如图所示，先向放在圆柱形水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系大致是下列图象中的( )

答案：A。
5. 如图，圆在直线下方的弓形（阴影部分）的面积为，当直线由下而上移动时，面积关于的函数图象大致为( )

答案：C。
6. 客车从甲地以的速度匀速行1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以
的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是( )

答案：C。
7.如下图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是、，不考虑树的粗细，现在用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃。设此矩形花圃的面积为，的最大值为，若将这棵树围在花墙内，则函数的图像大致是( )

答案：C。
8.如图，(单位：)，(单位：)，与的夹角为，以为圆心，为半径作圆弧与线段延长线交于点。甲、乙两质点同时从点出发, 甲先以速率1(单位：)沿线段行至点，再以速率3(单位：)沿圆弧行至点后停止；乙以速率2(单位：)沿线段行至点后停止。设时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为()，则函数的图象大致是( )


答案：A。