2022年湖南省常德市中考数学试卷（含解析）

2022年湖南省常德市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 在，，，，这五个数中无理数的个数为

A.  B.  C.  D.

2. 国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C. 一组数据的中位数可能有两个
D. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式

5. 从，，，，这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，则下列结论错误的是

A.
B. ，
C.
D.
 

8. 我们发现：，，，，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对，则下面个结论：是完美方根数对；是完美方根数对；若是完美方根数对，则；若是完美方根数对，则点在抛物线上，其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 计算：______．
10. 分解因式，______．
11. 要使代数式有意义，则的取值范围为______．
12. 方程的解为______．
13. 如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是______．
    
     

14. 今年月日是第个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为，，，，则她的最后得分是______分．
15. 如图，已知是内的一点，，，若▱的面积为，，，则的面积是______．
    
     

16. 剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了张纸片；从这张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了张纸片，这样共有张纸片；从这张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了张纸片，这样共有张纸片；；如此下去，若最后得到张纸片，其中有张五边形纸片，张三角形纸片，张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共67分）

18. 解不等式组．
19. 化简：．
20. 小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了千米小时，到达奶奶家时共用了小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
21. 如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
    求的解析式并直接写出时的取值范围；
    以为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．

22. 年月，教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要试行中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于课时，初中生平均每周劳动时间不少于小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
    请根据统计图回答下列问题：
    本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
    若该校有名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
    请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
23. 第届冬季奥林匹克运动会于今年月日至日在北京举行，我国冬奥选手取得了块金牌、块银牌、块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台如图，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为米，，，，求此大跳台最高点距地面的距离是多少米结果保留整数．
    参考数据：，，，，，，，，

24. 如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于．
    求证：是的切线；
    若，，求，的长．

25. 如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．
    求此抛物线的解析式；
    若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求的坐标；
    是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值．
    
     

26. 在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接．
    当四边形是矩形时，如图，求证：；．
    当四边形是平行四边形时，如图，中的结论都成立．请给出结论的证明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
无理数有：，共个，
故选：．
先化简，根据无理数的定义即可得出答案．
本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无理数常见的三种类型：开不尽的方根，，等；特定结构的无限不循环小数，如两个之间依次多一个；含有的绝大部分数，如是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：将图形绕着一点旋转后能和它本身重合的图形是中心对称图形，
选项B符合上述特征，
故选：．
利用中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了中心对称图形，数学常识，准确利用中心对称图形的定义是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：原式
，
故选：．
根据同底数幂的乘法运算法则进行计算便可．
本题考查了同底数幂的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，应采用折线统计图最合适，不符合题意；
B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，不符合题意；
C.一组数据的中位数只有一个，不符合题意；
D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，符合题意，
故选：．
根据扇形统计图的特点，随机事件的定义，中位数的概念，抽样调查的特点解答即可．
本题主要考查了随机事件，扇形统计图，中位数，全面调查和抽样调查，熟练掌握相关的概念是解决本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，
其中两个数的和为偶数的有，，，，，，，，共种，
这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为．
故选：．
画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两个数的和为偶数的结果，即可求出概率．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程无实数解，
，
解得：，
故选：．
根据一元二次方程判别式得到，然后求出不等式的解集即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

7.【答案】

【解析】解：、由旋转的性质可知，，，
为等边三角形，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、在中，，，点是边的中点，
，
由旋转的性质可知，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，，本选项结论正确，不符合题意；
C、≌，
，本选项结论正确，不符合题意；
D、在中，，
，
同理可得，，
，故本选项结论错误，符合题意；
故选：．
根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，判断选项；证明≌，根据全等三角形的性质判断、选项；解直角三角形，用分别表示出、，判断选项．
本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，正确理解旋转变换的概念是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：将代入，，，，
是完美方根数对；故正确；
将代入，，
不是完美方根数对，故错误；
是完美方根数对，
将代入公式，，，
解得或舍去，故正确；
若是完美方根数对，则，，
整理得，
点在抛物线上，故正确；
故选：．
将，代入验证即可判断；将代入公式，建立方程可得出结论；若是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．
本题属于新定义类问题，主要考查算术平方根的性质与定义，理解完美方根的定义对是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
则，
故答案为．
根据绝对值的化简，由，可得，即得答案．
本题考查绝对值的化简求值，即．
 

10.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解，
原方程的解为．
方程两边同乘，得到整式方程，解整式方程求出的值，检验后得到答案．
本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．
 

13.【答案】月

【解析】解：由图可得，
“神”字对面的字是“月”，
故答案为：月．
根据图形，可以直接写出“神”字对面的字．
本题考查正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】

【解析】解：她的最后得分是分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，，

四边形为平行四边形，▱的面积为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，由平行四边形的性质可求，结合可求解，再利用可求解的面积．
本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加，
第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为边，分成两个图形；
第二次，边数为：，分成三个图形；；
当剪第刀时，边数为，分成个图形；
最后得到张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
令，有，
解得．
故答案为：．
根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加，如第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为边，分成两个图形；第二次，边数为：，分成三个图形；；当剪第刀时，边数为，分成个图形；令即可得出结论．
此题考查了三角形边角关系，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得多边形的总边数增加也可从内角和角度出发解决．
 

17.【答案】解：，
，
，
．
故答案为：．

【解析】根据不等于的实数零指数幂为、负整数指数幂是整数指数幂的倒数，特殊角的三角函数值要记住，化简平方根．
考查零指数幂、负整数的指数幂、特殊角的三角函数值，化简平方根，关键要记住这些特殊角的三角函数值、零指数幂的值．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：


．

【解析】根据分式混合运算的法则计算即可．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：设平常的速度是千米小时，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
千米，
答：小强家到他奶奶家的距离是千米．

【解析】设平常的速度是千米小时，根据“到达奶奶家时共用了小时”列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：设反比例函数，把代入，得：，
解得：，
，
由，解得：，，
，
由图象可知：当时，或；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点的坐标．
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
菱形的周长为，
，
在中，，
，
，
由菱形的对称性可得：，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
所在直线的解析式为；
同理可得所在直线的解析式为，所在直线的解析式为，所在直线的解析式为．

【解析】运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点的坐标，也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点的坐标．观察图象即可得出的取值范围；
过点作轴于点，过点作轴于点，可证得是等腰直角三角形，得出：，，再根据菱形性质可得：，，利用勾股定理即可求得，再根据对称性可得，运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等，难度适中，熟练掌握待定系数法是解题关键．
 

22.【答案】解：，
本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为；
人，
若该校有名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的有人；
答案不唯一，合理即可
如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．

【解析】根据平均每周劳动时间不少于小时的学生人数计算即可；
计算出木工所占的比例然后估算即可；
答案不唯一，合理即可．
本题主要考查统计的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，过点作于点，交于点，则．

根据题意可知，，米，
，
，
在中，，，
米，
在和中，设米，则米，
，
，
，解得米，
米，
米．
此大跳台最高点距地面的距离是米．

【解析】过点作于点，交于点，则，分别在中，和中，解直角三角形即可得出结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用，涉及三角函数值的定义，解一元一次方程，正确作出辅助线，并得出是解题关键．
 

24.【答案】证明：连接，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于，
，
，
则四边形为矩形，
，，
，，
，
，
、是的切线
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即，
，
，即，
解得：．

【解析】连接，证明≌根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线；
过点作于，根据勾股定理求出，根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求出．
本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线过点，，且它的对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
设抛物线解析式为，把代入，得，
解得：，
，
故此抛物线的解析式为；
点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点，则，
，
，
，
解得：，
点的坐标为；
设直线的解析式为，把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当的值最大时，、、在同一条直线上，
是抛物线上的动点，
，
解得：，舍去，
，
此时，．

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，、、在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．
 

26.【答案】证明：连接，过点作于点．

四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
；

解：过点作于点，连接．

四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
．

【解析】连接，过点作于点证明≌，可得，，再证明∽，推出，可得结论；
过点作于点，连接证明≌，推出，，再证明∽，推出，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．