高考数学一轮复习考点规范练63二项分布与正态分布含解析新人教A版理

考点规范练63　二项分布与正态分布

基础巩固

1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为,则p=(　　)

A B C D

答案:B

解析:由题意,得(1-p)+p=,故p=,故选B.

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=(　　)

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

答案:C

解析:∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=0.2.

由题意知图象的对称轴为直线x=2,P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2,

∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ≤0)-P(ξ≥4)=0.6.

∴P(0<ξ<2)=P(0<ξ<4)=0.3.

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)

A B C D

答案:A

解析:第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,

所以所求的概率为P=

4.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个、蓝球4个、绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球、一个绿球”,则P(B|A)=(　　)

A B C D

答案:D

解析:因为P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=

5.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　　)

A B C D

答案:C

解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,

则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,

则P(A)=,P()=1-,P(B)=p,P()=1-p,

依题意得(1-p)+p=,

解得p=故选C.

6.一袋中有5个白球、3个红球,这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于(　　)

A 

B

C 

D

答案:D

解析:由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,因为每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=

7.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,且是相互独立的.如图,将T2,T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路,则电路不发生故障的概率是(　　)

A B C D

答案:A

解析:记T1正常工作为事件A,记T2正常工作为事件B,记T3正常工作为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,电路不发生故障,则满足T1正常工作,T2,T3至少有一个正常工作.T2,T3至少有一个正常工作的概率为P1=1-P()=1-

故电路不发生故障的概率P=

8.1 000名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530,502),则成绩在630分以上的考生人数约为　　　　　.(注:正态分布N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为0.682 7,0.954 5,0.997 3) 

答案:23

解析:由题意可知μ=530,σ=50,在区间(430,630)的概率为0.9545,故成绩在630分以上的概率为0.023,因此成绩在630分以上的考生人数约为1000×0.023=23.

9.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　　. 

答案:0.18

解析:前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;

前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.

综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.

10.(2020全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:

累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.

经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

解:(1)甲连胜四场的概率为.

(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束,共有三种情况:

甲连胜四场的概率为;

乙连胜四场的概率为;

丙上场后连胜三场的概率为.

所以需要进行第五场比赛的概率为1-.

(3)丙最终获胜,有两种情况:

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;

比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为.

因此丙最终获胜的概率为.

11.某袋子中有1个白球和2个红球,这些球除颜色外完全相同.

(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列;

(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列;

(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列.

解:(1)由题意可知X的取值为1,2,3.

P(X=1)=;

P(X=2)=;

P(X=3)=1=

所以X的分布列是

(2)由题意可知X的取值为1,2,3,4,5.

P(X=k)=,k=1,2,3,4.

P(X=5)=

故X的分布列为

(3)因为X~B,所以X的分布列为P(X=k)=,其中k=0,1,2,3,4,5.

能力提升

12.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为(　　)

A B C D

答案:C

解析:假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得,事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A恰好发生一次的概率为

13.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.

根据题意,有

P(X=10)=,

P(X=20)=,

P(X=100)=,

P(X=-200)=

所以X的分布列为

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=

所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-

因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是

14.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,若两人都猜对,则“星队”得3分;若只有一人猜对,则“星队”得1分;若两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E(X).

解:(1)记事件A为“甲第一轮猜对”,记事件B为“乙第一轮猜对”,记事件C为“甲第二轮猜对”,记事件D为“乙第二轮猜对”,记事件E为“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC

由事件的独立性与互斥性,

P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)·P(C)P()=+2×=

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为

(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性,得

P(X=0)=,

P(X=1)=2,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=2,

P(X=6)=

可得随机变量X的分布列为

所以均值E(X)=0+1+2+3+4+6

高考预测

15.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.

(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.

解:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.

(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)·P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)

=

(2)X的可能取值为2,3,4,5.

P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)·P(B2)=,

P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)·P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,

P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)·P(B3)P(B4)=,

P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=

故X的分布列为