高考数学一轮复习考点规范练4简单的逻辑联结词全称量词与存在量词含解析新人教A版理

考点规范练4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础巩固

1.下列命题中的假命题是(　　)

A.∀x∈R,>0 B.∀x∈N,x2>0 

C.∃x∈R,ln x<1 D.∃x∈N*,sin=1

答案:B

解析:对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.

2.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是(　　)

A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)

B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)

C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)

D.∃x0∈R,f(-x0)=-f(x0)

答案:C

解析:不是偶函数是对偶函数的否定,定义域为R的偶函数的定义:∀x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,故它的否定为特称命题:∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故选C.

3.命题“∃x0<0,(x0-1)(x0+2)≥0”的否定是(　　)

A.∃x0>0,(x0-1)(x0+2)<0

B.∃x0<0,(x0-1)(x0+2)<0

C.∀x>0,(x-1)(x+2)≥0

D.∀x<0,(x-1)(x+2)<0

答案:D

4.下列命题中,为真命题的是(　　)

A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,-x0≥0”

B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件

C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真

D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为

答案:C

解析:A项中的否定是“∃x0∈R,-x0>0”故A错误;

B项中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件,故B错误;

D项中概率为,故D错误;

故选C.

5.以下四个命题中,为真命题的是(　　)

A.∃x∈(0,π),使sin x=tan x

B.“对任意的x∈R,x2+x+1>0”的否定是“存在x0∈R,+x0+1<0”

C.∀θ∈R,函数f(x)=sin(2x+θ)都不是偶函数

D.△ABC中,“sin A+sin B=cos A+cos B”是“C=的充要条件

答案:D

解析:A项中,若sinx=tanx,则sinx=tanx=

∵x∈(0,π),∴sinx≠0.

∴1=,即cosx=1.

∵x∈(0,π),∴cosx=1不成立,故A错误;

B项中的否定是“存在x0∈R,+x0+1≤0”,故B错误;

C项中,当θ=时,f(x)=sin(2x+θ)=sin=cos2x为偶函数,故C错误;故选D.

6.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则(　　)

A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题

C.p是真命题 D.q是真命题

答案:D

解析:因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题,q为真命题.

7.下列命题的否定为假命题的是(　　)

A.∃x0∈R,+2x0+2≤0

B.任意一个四边形的四个顶点共圆

C.所有能被3整除的整数都是奇数

D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1

答案:D

解析:选项A中,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.

由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x∈R恒成立,故为真命题;

选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;

而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.

8.(2020全国Ⅱ,理16)设有下列四个命题:

p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.

p4:若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是　　　　　. 

①p1∧p4　　②p1∧p2　　③p2∨p3　　④p3∨p4

答案:①③④

解析:∵p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,∴p2,p3为真命题,

∴p1∧p4为真命题,p1∧p2为假命题,p2∨p3为真命题,p3∨p4为真命题.

故填①③④.

9.若“∀x,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　　. 

答案:1

解析:由题意知m≥(tanx)max.

∵x,∴tanx∈[0,1],

∴m≥1.故m的最小值为1.

10.由命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是　　　　　. 

答案:1

解析:∵命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,∴命题“∀x∈R,x2+2x+m>0是真命题”,故Δ=22-4m<0,即m>1,故a=1.

能力提升

11.已知命题p:若不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,则实数a∈(0,4);命题q:“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,则下列命题正确的是(　　)

A.p∧q B.p∧(q)

C.(p)∧q D.(p)∧(q)

答案:C

解析:当a=0时,不等式ax2+ax+1>0化为1>0,满足条件.

当a≠0时,由不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,

可得解得0<a<4.

综上可知实数0≤a<4,因此命题p是假命题.

由x2-3x>0解得x>3或x<0.

故“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,因此命题q是真命题.

综上可得,(p)∧q是真命题.

故选C.

12.不等式组的解集记为D,有下面四个命题:

p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,

其中的真命题是(　　)

A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3

答案:B

解析:画出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示.

作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.

故p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.

13.已知命题p1:设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a,则f(x)在区间[0,2]上必有零点;p2:设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分不必要条件.则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∧(p2)中,真命题是(　　)

A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4

答案:C

解析:p1:因为f(1)=-a,所以a+b+c=-a,即c=-b-2a.

又因为f(0)=c=-b-2a,f(2)=4a+2b+c=4a+2b-b-2a=2a+b,

所以f(0)f(2)=(-b-2a)(2a+b)=-(b+2a)2≤0.

所以f(x)在[0,2]上必有零点,

故命题p1为真命题.

p2:设f(x)=x|x|=

画出f(x)的图象(图象略)可知函数f(x)在R上为增函数.

所以当a>b时,有f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.反之也成立.

故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故命题p2为假命题.

则q1:p1∨p2为真命题.q2:p1∧p2为假命题.q3:(p1)∨p2为假命题.q4:p1∧(p2)为真命题.故选C.

14.已知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:由“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方,所以Δ=25-4a<0,解得a>

故实数a的取值范围为

15.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)为真,p为真,则实数m的取值范围是　　　　　　. 

答案:(1,2)

解析:因为p为真,所以p为假.所以p∧q为假.

又q∨(p∧q)为真,所以q为真,即命题p为假、q为真.

命题p为假,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解得-2<m<2;

命题q为真,则4-4m<0,解得m>1.

故所求的m的取值范围是1<m<2.

高考预测

16.下列说法正确的是(　　)

A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件

B.若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则p:∀x∈R,x2-x-1<0

C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题

D.“若α=,则sin α=的否命题是“若,则sin

答案:D

解析:对于A,函数f(x)=是定义域上的奇函数,但f(0)不存在,故A不正确;

对于B,若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则p:∀x∈R,x2-x-1≤0,故B不正确;

对于C,若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,故C不正确;

对于D,“若α=,则sinα=的否命题是“若,则sin,故D正确.