高考数学一轮复习考点规范练47抛物线含解析新人教A版文

考点规范练47　抛物线

基础巩固

1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(　　)

A.(0,2) B.(2,0) 

C.(4,0) D.(0,4)

答案:B

解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).选B.

2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)

A.- B.- C. D.

答案:B

解析:抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=.

设M(x0,y0),则由抛物线的定义,

可知-y0=1,y0=-.

3.(2020全国Ⅲ,文7)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(　　)

A. B. 

C.(1,0) D.(2,0)

答案:B

解析:∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,

又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.

不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,

所以抛物线C的焦点坐标为.

4.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为(　　)

A.x2=y B.x2=6y

C.x2=-3y D.x2=3y

答案:D

解析:设点M(x1,y1),N(x2,y2).

由消去y,得x2-2ax+2a=0,

所以=3,即a=3,

因此所求的抛物线方程是x2=3y.

5.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积为9,则p=(　　)

A. B.3 C. D.

答案:C

解析:根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=x,与y2=2px联立得B(6p,2p),因为△AOB的面积为9,所以×(4p)2=9,解得p=.故选C.

6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:因为抛物线的准线为x=-,所以1+=5,解得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(-,0),所以,解得a=,故选A.

7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　　. 

答案:9

解析:设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.

8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　. 

答案:2

解析:由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.

9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.

解:(1)由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,

所以p=4,

从而该抛物线的方程为y2=8x.

(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,

从而A(1,-2),B(4,4).

设C(x3,y3),

则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)

=(4λ+1,4λ-2).

又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.

10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程;

(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,

则点P(x,y)满足-x=1(x>0),

化简得y2=4x(x>0).

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).

设l的方程为x=ty+m.

由得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,

于是

因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),

所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.

又<0,

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③

因为x=,所以不等式③可变形为

+y1y2-+1<0,

即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④

将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤

因为对任意实数t,4t2的最小值为0,

所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-2<m<3+2.

由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).

能力提升

11.设F为抛物线y2=6x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=(　　)

A.4 B.6 C.9 D.12

答案:C

解析:由题意得抛物线的焦点为F,

准线方程为x=-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).

∵=0,

∴点F是△ABC的重心,∴x1+x2+x3=.

由抛物线的定义可得|FA|=x1-=x1+,

|FB|=x2-=x2+,

|FC|=x3-=x3+,

∴||+||+||=x1++x2++x3+=9.

12.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=(　　)

A.3 B.6 C.6 D.8

答案:C

解析:∵3|FA|=|FB|,

∴根据抛物线的定义,可得3=8+,

解得p=2,

∴抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=2,x2=4,∴x1+x2=6.故选C.

13.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为1,则p的值为(　　)

A.1 B. C.2 D.4

答案:B

解析:双曲线-x2=1的两条渐近线方程是y=±2x.

又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-,

故A,B两点的纵坐标是y=±p.

∵△AOB的面积为1,∴·2p=1.

∵p>0,∴p=.

14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

(1)求C的方程;

(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.

解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.

所以|PQ|=,|QF|=+x0=.

由题设得,

解得p=-2(舍去)或p=2.

所以C的方程为y2=4x.

(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

代入y2=4x得y2-4my-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.

故AB的中点为D(2m2+1,2m),

|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).

又l'的斜率为-m,

所以l'的方程为x=-y+2m2+3.

将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

设M(x3,y3),N(x4,y4),

则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).

故MN的中点为E,

|MN|=|y3-y4|=.

由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,

从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

即4(m2+1)2+=,

化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.

所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

15.已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1>x2.

(1)若直线AB的斜率为,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.

(2)若=λ,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有⊥(-λ)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

解:(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),

则直线AB的方程为y-2=x,即x-2y+4=0.

由得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).

又x2=4y,可得y=x2,故y'=x,

故抛物线在点A处切线的斜率为2.

设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

则

解得a=-1,b=,r2=,

故圆的方程为(x+1)2+,

即为x2+y2+2x-13x+12=0.

(2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0,

故x1x2=-8.①

由已知=λ得-x1=λx2.

若k=0,这时λ=1,要使⊥(-λ),点Q必在y轴上.

设点Q的坐标是(0,m),

从而=(0,2-m),

-λ=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)

=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)),

故·(-λ)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0,

即y1-λy2-m(1-λ)=0,

即-m=0,

即(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将①代入得m=-2.

所以存在点Q(0,-2)使得⊥(-λ).

高考预测

16.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为(　　)

A.y2=x B.y2=2x

C.y2=4x D.y2=8x

答案:B

解析:过点A作AB⊥x轴于点B,则Rt△ABF中,∠AFB=60°,|AF|=2,

所以|BF|=|AF|cos∠AFB=|AF|=1,

|AB|=|AF|sin∠AFB=.

设点A的坐标为(x0,,

由解得p=1.

所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.