广西专用高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件新人教A版理
展开1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤ ,当且仅当_______ 时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤ ,当且仅当 时,等号成立.
|a-b|+|b-c|
(a-b)(b-c)≥0
2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
-c≤ax+b≤c
ax+b≥c或ax+b≤-c
4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.( )(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.( )(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.( )(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.( )
A.2
例1(2020四川内江三模)已知函数f(x)=|x+2|+|x-4|,函数g(x)= 的定义域为R.(1)求实数m的取值范围;(2)求解不等式f(x)≤8.思考含绝对值不等式的常见解法有哪些?
解:(1)∵f(x)=|x+2|+|x-4|≥|(x+2)-(x-4)|=6,∴f(x)min=6.
∴f(x)≥m恒成立,∴m≤f(x)min=6,∴实数m的取值范围为(-∞,6].
∴4≤x≤5或-2
对点训练1已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求实数a的取值范围. 思考如何求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值?
解题心得求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值,利用绝对值三角不等式最方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值.
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.(1)若m=1,求函数f(x)的值域;(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
例3(2020广西北海一模)已知函数f(x)=|x-2a|+|x+3|(a∈R), g(x)=|x-3|+1.(1)解不等式|g(x)|>3;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.思考求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么?
解:(1)由||x-3|+1|>3,得|x-3|+1>3⇔|x-3|>2⇔x-3>2或x-3<-2,得x>5或x<1,故不等式的解集为{x|x>5或x<1}.(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}.又f(x)=|x-2a|+|x+3|≥|(x-2a)-(x+3)|=|2a+3|,g(x)=|x-3|+1≥1,∴|2a+3|≥1,解得a≥-1或a≤-2,∴实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,+∞).
解题心得求解含参数的绝对值不等式问题,常用的基本方法是先根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,再利用数形结合解决.
对点训练3设函数f(x)=|3x+6|-2.(1)求不等式f(x)<2x+4的解集;(2)若不等式f(x)+3|x-1|≥a对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)由f(x)<2x+4,得|3x+6|-2<2x+4,得|3x+6|<2x+6,
(2)不等式f(x)+3|x-1|≥a即为|3x+6|-2+3|x-1|≥a,即|3x+6|-2+|3x-3|≥a.而|3x+6|-2+|3x-3|≥|(3x+6)-(3x-3)|-2=7,当且仅当(3x+6)(3x-3)≤0时等号成立.∴要使不等式f(x)+3|x-1|≥a对任意x∈R恒成立,需满足a≤7.∴实数a的取值范围是(-∞,7].
例4(2020全国Ⅲ,理23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥ .思考证明不等式常用的方法有哪些?
解题心得证明不等式常用的方法:(1)比较法证明不等式,比较法又包含作差比较法和作商比较法.(2)用分析法证明不等式,使用分析法证明的关键是寻找推理的每一步的充分条件.(3)用综合法证明不等式,在用综合法证明不等式时,常用到不等式的性质和基本不等式等.
对点训练4设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥ 成立,证明:a≤-3或a≥-1.
(1)解:由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)·(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],
(2)证明:由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)·(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],
例5已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;思考如何利用柯西不等式证明不等式或求最值?
解 (1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.
解题心得1.用柯西不等式证明时,一般需要先对不等式变形,使之与柯西不等式有相似的结构,再根据柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式进行证明.
对点训练5已知关于x的不等式|x+a|
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