广西专用高考数学一轮复习考点规范练66坐标系与参数方程含解析新人教A版理

考点规范练66　坐标系与参数方程

基础巩固

1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求C和l的普通方程;

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.

解:(1)曲线C的普通方程为=1.

当cosα≠0时,l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα,

当cosα=0时,l的普通方程为x=1.

(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,              ①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,

所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.

又由①得t1+t2=-,

故2cosα+sinα=0,

于是直线l的斜率k=tanα=-2.

2.(2020湖北武汉模拟)已知曲线C1的参数方程为

(t为参数),曲线C2的参数方程为(α为参数),以直角坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;

(2)射线θ=与曲线C1和曲线C2分别交于M,N,已知点Q(4,0),求△QMN的面积.

解:(1)由曲线C1的参数方程得x2-y2==1,即曲线C1的直角坐标方程为x2-y2=1(x≠-1).化为极坐标方程为ρ2cos2θ=1(θ≠π).

由曲线C2的参数方程可得(x-2)2+y2=(2cosα)2+(2sinα)2=4,化为极坐标方程为(ρcosθ-2)2+ρ2sin2θ=4,即ρ=4cosθ.

(2)设M,N,可得|MN|=|ρ1-ρ2|=4cos=2,

dQ~MN=sin4=2,

S△QMN=2×(2)=2

3.(2020全国Ⅱ,理22)已知曲线C1,C2的参数方程分别为

C1:(θ为参数),C2:(t为参数).

(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.

解:(1)C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4).

由C2的参数方程得x2=t2++2,y2=t2+-2,

所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.

(2)由

所以P的直角坐标为

设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),

由题意得,解得x0=

因此,所求圆的极坐标方程为ρ=cosθ.

4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.

由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.

综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.

5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos

(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.

解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为P(x0,y0),

联立可得x2-6x+1=0,Δ>0,

∴x1+x2=6,x1x2=1,

∴线段AB的中垂线的参数方程为

(t为参数).①

y2=4x.②

将①代入②中,得t2+8t-16=0,

∴t1·t2=-16.

∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.

能力提升

6.(2020山西运城模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α或t为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=1.

(1)当t为参数,α=时,判断曲线C与直线l的位置关系;

(2)当α为参数,t=2时,直线l与曲线C交于A,B两点,设P(1,0),求的值.

解:(1)当t为参数,α=时,曲线C的参数方程为

化简得

消掉参数得y=-x-

因为直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,

化为直角坐标方程为y=-x+,

曲线C与直线l斜率相等,截距不相等,所以它们平行.

(2)当α为参数,t=2时,曲线C的参数方程为

化为普通方程得(x-1)2+(y+)=4,

由(1)知直线l的斜率为-,直线l过点P(1,0),

所以直线l的倾斜角为150°,

所以直线l的参数方程为(t为参数),

即(t为参数).

联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程得t2+t-1=0.

设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,

所以t1+t2=-,t1t2=-1,

所以==

7.已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).

(1)当α=时,求C1被C2截得的线段的长;

(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当α变化时,求A点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

解:(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.

联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与

故C1被C2截得的线段的长为=1.

(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2+2tcosα=0,

设直线C1与圆C2交于M,N两点,M,N两点对应的参数分别为t1,t2,

则点A对应的参数t==-cosα,

故点A的坐标为(sin2α,-cosαsinα).

故当α变化时,A点轨迹的参数方程为(α为参数).

因此,A点轨迹的普通方程为+y2=

故A点的轨迹是以为圆心,半径为的圆.

高考预测

8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;

(2)若|PA|·|PB|=|AB|2,求a的值.

解:(1)∵ρsin2θ=acosθ(a>0),

∴ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),即y2=ax(a>0).

直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,

得t2-(a+8)t+4(a+8)=0,

设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,

则t1+t2=(a+8),t1t2=4(a+8).

∵|PA|·|PB|=|AB|2,∴t1t2=(t1-t2)2.

∴(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,

即[(8+a)]2=20(8+a),

解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),∴a的值为2.