广西专用高考数学一轮复习考点规范练32等比数列及其前n项和含解析新人教A版理

考点规范练32　等比数列及其前n项和

基础巩固

1.(2020四川德阳模拟)已知等比数列{an}中,a5=3,a4·a7=45,则的值为(　　)

A.30 B.25 C.15 D.10

答案:A

解析:设等比数列{an}的公比为q.

已知a5=3,a4·a7=45,则a4·a7=a4·a6q=(a5)2q=45,解得q=5,所以=q(1+q)=30.

2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)

Af Bf Cf Df

答案:D

解析:由题知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,则第八个单音的频率为f=f.

3.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)

A.7 B.5 C.-5 D.-7

答案:D

解析:∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8.

联立可解得

当时,q3=-,

故a1+a10=+a7q3=-7;

当时,q3=-2,

故a1+a10=+a7q3=-7.

综上可知,a1+a10=-7.

4.已知正项等比数列{an}满足a3=1,a5与a4的等差中项为,则a1的值为(　　)

A.4 B.2 C D

答案:A

解析:设等比数列{an}的公比为q,则q>0.由题意,得a5+a4=1,a3q2+a3q=1,q2+q=1,2q2+3q-2=0,解得q=或q=-2(舍去),故a1==4.

5.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)

A.-24 B.-3 C.3 D.8

答案:A

解析:设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+(-2)=-24,故选A.

6.已知数列{an}为等比数列,首项a1=2,数列{bn}满足bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=(　　)

A.8 B.16 C.32 D.64

答案:C

解析:由题意知{bn}为等差数列,因为b2+b3+b4=9,所以b3=3,因为b1=1,所以公差d=1,则bn=n,即n=log2an,故an=2n,于是a5=25=32.

7.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为　　　　　. 

答案:-

解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+(-1)=4a1-6.

∵S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-

8.(2020广西南宁二模)已知在数列{an}中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,则数列{an}的通项公式是　　　　　. 

答案:an=2n

解析:在数列{an}中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,令m=1,得an+1=2an,则{an}是首项和公比均为2的等比数列,从而an=2n.

9.已知数列{an}满足an=2an-1+1(n≥2),a4=15.

(1)求a1,a2,a3;

(2)判断数列{an+1}是否为等比数列,并说明理由;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

解:(1)由an=2an-1+1(n≥2),得a4=2a3+1,又a4=15,

解得a3=7,同理得a2=3,a1=1.

(2)由an=2an-1+1(n≥2),知an+1=2an-1+2,即an+1=2(an-1+1),

故{an+1}是以a1+1=2为首项,公比为2的等比数列.

(3)∵an+1=(a1+1)·2n-1,∴an=2n-1.

∴Sn=a1+a2+a3+…+an

=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)

=(21+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.

10.(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.

解:(1)设{an}的公比为q.

由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.

解得q=(舍去),q=2.

因为a1q2=8,所以a1=2.

所以{an}的通项公式为an=2n.

(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.

所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列{bn}是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d.

∵S4=4(a3+1),3a3=5a4,

解得an=11-2n.

设数列{bn}的公比为q.

∵b1b2=b3,2b1=a5,解得

∴bn=

(2)由(1)知,Sn=10n-n2.

由an=11-2n≤0可知n≥5.5,

即a1>0,a2>0,…,a5>0,a6<0,a7<0,…,an<0.

故当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2;

当n≥6时,Tn=2S5-Sn=n2-10n+50.

于是Tn=

能力提升

12.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:D

解析:∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q.

∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.

又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,或

解①得解②得

∴p=a+b=5,q=1×4=4.

∴p+q=9.故选D.

13.如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,……如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小的正方形的边长为　　　　　. 

答案:

解析:由题意,得各正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列.已知共得到1023个正方形,则1+2+…+2n-1=1023,解得n=10,故最小的正方形的边长为

14.(2020宁夏银川一中四模)设数列{an}满足a1=2,a2=6,且an+2-2an+1+an=2.

(1)a4=　　　　; 

(2)若[x]表示不超过x的最大整数,则=　　　　. 

答案:(1)20　(2)2 019

解析:(1)由a1=2,a2=6,且an+2-2an+1+an=2,

得a3-2a2+a1=a3-12+2=2,解得a3=12.

又由a4-2a3+a2=a4-24+6=2,得a4=20.

(2)因为an+2-2an+1+an=2,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,

所以数列{an+1-an}为首项a2-a1=4,公差为2的等差数列,

即an+1-an=4+2(n-1)=2(n+1).

所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=2+4+6+…+2n=n(2+2n)=n(n+1),n≥2.

当n=1时a1=1×2=2,满足上式.

故an=n(n+1),从而,

2020+…+=2020×1-+…+=2020×1-=2019+

所以+…+=2019.

15.(2020山东淄博一模)已知一个等差数列{an}(n∈N*)的前3项a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在表的同一列.

(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{an}的通项公式;

(2)记(1)中选择的{an}的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列,若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由题意可知,有两种组合满足条件:

①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{an},a1=8,d=4,

所以其通项公式为an=8+4(n-1)=4n+4.

②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{an},a1=2,d=2,

所以其通项公式为an=2n.

(2)若选择①,Sn==2n2+6n.

则Sk+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.

若a1,ak,Sk+2成等比数列,则=a1·Sk+2,

即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,

此方程无正整数解,故不存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.

若选择②,Sn==n2+n,

则Sk+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6.

若a1,ak,Sk+2成等比数列,则=a1·Sk+2,

即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.

故存在正整数k=6,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.

高考预测

16.已知等比数列{bn},b1+b2=,且b2+b3=

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)若数列是首项为b1,公差为b2的等差数列,求数列的前n项和.

解:(1)设数列{bn}的公比为q,

则解得

所以bn=

(2)由(1)知数列是首项为,公差为的等差数列,所以+(n-1),

从而an=,所以=4.

故数列的前n项和Sn=4=4=