2022年湖南省衡阳市中考数学试卷（含解析）

2022年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

A. 可回收物 B. 其他垃圾
C. 有害垃圾 D. 厨余垃圾

4. 为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至年月底，我国疫苗接种高达万剂次．数据万用科学记数法可表示为的形式，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法正确的是

A. “任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件
B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是

7. 如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 为贯彻落实教育部关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数单位：人分别是：，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 下列命题为假命题的是

A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D. 有一组邻边相等的矩形是正方形

11. 在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是结果精确到参考数据：，，

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在四边形中，，，，平分设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 因式分解： ______ ．
14. 计算：______．
15. 计算：______．
16. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接若，，则的周长为______．
    
     

17. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了______结果保留
    
    
     

18. 回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为______结果精确到参考数据：

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 先化简，再求值．
    ，其中，．
20. 如图，在中，，、是边上的点，且求证：．
    
    
    
     

21. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图要求在条形图上方注明人数；
    图中扇形的圆心角度数为______度；
    若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
    计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
22. 冰墩墩、雪容融分别是年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用元购进了冰墩墩玩偶个和雪容融玩偶个，已知购进个冰墩墩玩偶和个雪容融玩偶共需元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利元，每个雪容融玩偶可获利元．
    求两种玩偶的进货价分别是多少？
    第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍．小雅计划购进两种玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
    求反比例函数和一次函数的关系式；
    设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．

24. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
    直线与相切吗？并说明理由；
    若，，求的长．

25. 如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
    写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
    若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
    为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为平方单位，点运动时间为秒．
    当点与点重合时，求的值；
    当为何值时，与全等；
    求与的函数关系式；
    以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义，可直接得出的绝对值．
本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，可得如下图形，

故选：．
根据主视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
 

3.【答案】

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】

【解析】解：万，
，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据同底数幂的除法判断选项．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：选项，三角形内角和为，故该选项符合题意；
选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；
选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；
选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理判断选项；根据普查与抽样调查判断选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断选项．
本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意得：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．
 

8.【答案】

【解析】解：将这组数据由小到大排列为：，，，，，
众数为，中位数为，
故选：．
根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
解得，
解得．
则表示为：

故选：．
首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．
本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
 

10.【答案】

【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
 

11.【答案】

【解析】解：设下部的高度为，则上部高度是，
雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，
，
解得或舍去，
经检验，是原方程的解，
，
故选：．
设下部高为 ，根据雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．
 

12.【答案】

【解析】解：过点作于点．

，
，
平分，
，
，则，即为等腰三角形，
则垂直平分，
，，
，，
∽，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
先证明，过点作于点，证明∽，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明∽是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：
原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：


，
故答案为：．
根据同分母分式的加法计算即可．
本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．
 

16.【答案】

【解析】解：根据作图过程可知：
是线段的垂直平分线，
，
的周长为：．
故答案为：．
根据作图过程可得是线段的垂直平分线，得，进而可得的周长．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
 

17.【答案】

【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
中，，
，
，
．
答：大雁雕塑的高度约为．
故答案为：．
首先证明，在中，根据三角函数定义求出即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：

，
将，代入上式得：
原式

．

【解析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把，代入计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：调查学生总数为人，
选择“数学园地设计”的有人，
故答案为：，补全统计图如下：

，
故答案为：；
人，
答：参加成果展示活动的名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有人；
在，，，，五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种，
所以恰好选中，这两项活动的概率为．
从两个统计图中可得样本中选择“七巧板”的有人，占调查人数的，根据频率即可求出答案，进而补全条形统计图；
求出扇形所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求出样本中参与“测量”所占的百分比，进而估计总体中“测量”的百分比，求出相应人数即可；
用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：设冰墩墩的进价为元个，雪容融的进阶为元个，
由题意可得：，
解得，
答：冰墩墩的进价为元个，雪容融的进阶为元个；
设冰墩墩购进个，则雪容融购进个，利润为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：冰墩墩购进个，雪容融购进个时才能获得最大利润，最大利润是元．

【解析】根据用元购进了冰墩墩玩偶个和雪容融玩偶个，购进个冰墩墩玩偶和个雪容融玩偶共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】解：把代入得：
，
，
反比例函数关系式为；
把代入得：
，
，
将，代入得：
，
解得，
一次函数的关系式为；
答：反比例函数关系式为，一次函数的关系式为；
在中，令得，
，
设，，而，
以、为对角线时，、的中点重合，
，
解得或，
或；
以、为对角线，同理可得：
，
解得或，
或；
以、为对角线，同理可得：
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标是或或或．

【解析】把代入可得，即得反比例函数关系式为，从而，将，代入即可得一次函数的关系式为；
在中得，设，，而，分三种情况：以、为对角线时，、的中点重合，，可得或；以、为对角线，同理可得或；以、为对角线，同理可得或．
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
 

24.【答案】解：直线与相切，
理由：连接，

与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
是的半径，
直线与相切；
设的半径为，
在中，，
，
，
，
，
由得：≌，
，
在中，，
，
，
，
的长为．

【解析】连接，理由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平分，从而可得，进而可证≌，最后利用全等三角形的性质即可解答；
设的半径为，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
，，
，，
设图象的解析式为：，
把代入得：，
，
，
图象位于线段上方部分对应的函数关系式为：；
由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，如图，

，
，
，
，
综上，的值是或；
，，
是等腰直角三角形，
如图，，∽，

轴，
；
如图，，∽，

当时，，
，
，，
；
如图，当时，∽，

的解析式为：，
，
，舍，
，
综上，点的坐标为或或．

【解析】令和翻折的性质可得，令可得点、的坐标，利用待定系数法即可求出图象的解析式；
利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
先确定是等腰直角三角形，分三种情况：或，分别画图可得结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：根据翻折的性质，利用待定系数法求出抛物线的解析式；利用数形结合找出直线与新图象恰好有三个不同的交点的情况；分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征，正确画图是关键．
 

26.【答案】解：与重合时，如图，

，
，
，
；
当时，
，
，
≌，
，
，
；
当时，
，
，
≌，
，
，
；
综上所述，的值为或；
时，如图，

在中，，
，
；
当时，如图，

，，
，
；
；
连接，如图，

为等边三角形，
，
在中，，
为定值，
点的运动轨迹为直线，
，
，
当时，，
当时，，
点运动路径长为．

【解析】由直角三角形的性质可得出答案；
分两种情况：当时，当时，由全等三角形的性质得出关于的方程，解方程可得出答案；
分两种情况：当时，当时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；
连接，由直角三角形的性质得出为定值，则点的运动轨迹为直线，求出的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论是解题的关键．