专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（新高考地区专用）

专题02  函数的概念与基本初等函数Ⅰ

1．【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（       ）

A． B． C．0 D．1

【答案】A

【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．

【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．

因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．

故选：A．
2．【2021年新高考2卷】已知，，，则下列判断正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【解析】，即.故选：C.
3．【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.

【解析】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.故选：B.
4．【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （       ）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.

【解析】因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
5．【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：或或

解得或，所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
6．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.

【解析】由得或，

所以的定义域为，

因为在上单调递增，

所以在上单调递增，

所以，故选：D.

【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
7．【2022年新高考1卷】已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【解析】因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，

又，且函数可导，所以，

所以，所以，

所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.

【点睛】解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
8．【2021年新高考2卷】设正整数，其中，记．则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【解析】对于A选项，，，

所以，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确.

故选：ACD.
9．【2021年新高考1卷】已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.

【解析】因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，故答案为：1
10．【2021年新高考1卷】函数的最小值为______.

【答案】1

【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.

【解析】由题设知：定义域为，

∴当时，，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递增；

又在各分段的界点处连续，

∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；

∴，故答案为：1.
11．【2021年新高考2卷】写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

【答案】（答案不唯一，均满足）

【分析】根据幂函数的性质可得所求的.

【解析】取，则，满足①，

，时有，满足②，

的定义域为，又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一，均满足）