2023年高考数学(理数)一轮复习课时39《空间线、面的垂直关系》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时39

《空间线、面的垂直关系》达标练习

一 、选择题

1.已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，m⊥α，n⊂β.给出下列四个命题：

①若α∥β，则m⊥n；

②若m⊥n，则α∥β；

③若m∥n，则α⊥β；

④若α⊥β，则m∥n.

其中正确命题的个数是(　　)

A.0         B.1      C.2         D.3

2.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)

A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BCD

C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是(　 　)

A.若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β

B.若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n

C.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

D.若α⊥β，m⊂α，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β

4.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有(　 　)

A.AG⊥平面EFH        B.AH⊥平面EFH

C.HF⊥平面AEF        D.HG⊥平面AEF

5.已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则(　　)

A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

6.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中为真命题的是(　　)

A.①②        B.②③         C.②④        D.①④

7.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A.AH⊥平面EFH   B.AG⊥平面EFH    C.HF⊥平面AEF    D.HG⊥平面AEF

8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中E为棱CD的中点，则(　　)

A.A1E⊥DC1          B.A1E⊥BD     C.A1E⊥BC1          D.A1E⊥AC

9.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是(　　)

A.4          B.3        C.2          D.1

10.如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是(　 　)

A.平面BCE⊥平面ABN       B.MC⊥AN

C.平面CMN⊥平面AMN       D.平面BDE∥平面AMN

11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD).若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是(　　)

A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直

B.异面直线BM与A1E所成角是定值

C.一定存在某个位置，使DE⊥MO

D.三棱锥A1­ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值

12.已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点.

给出下列结论：

①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A1E；

②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；

③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B1G；

④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B1G.

其中正确结论的个数是(　　)

A.0         B.1         C.2         D.3

二 、填空题

13.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：

①三棱锥A-D1PC的体积不变；

②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是　    　.

14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD∩AC=O,M是线段D1O上的动点，过M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A的距离最小值是          .

15.已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是________.

16.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD中点，G是EF中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.

则下列说法错误的是________.(将符合题意的序号填到横线上)

①AG⊥△EFH所在平面；

②AH⊥△EFH所在平面；

③HF⊥△AEF所在平面；

④HG⊥△AEF所在平面.

0.答案解析

1.答案为：C；

解析：依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m⊥β，又n⊂β，因此m⊥n，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β=n，在平面β内作直线m⊥n，则有m⊥α，因此②不正确；对于③，由m∥n，m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m⊥α，α∩β=n，α⊥β时，直线m，n不平行，因此④不正确.综上所述，正确命题的个数为2，故选C.

2.答案为：C

解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.

3.答案为：C.

解析：根据线面垂直的判定可知，当m⊥α，m∥n，n⊂β时可得n⊥α，则α⊥β，

所以A不符合题意；根据面面平行的性质可知，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥β，

故m∥n，所以B不符合题意；根据面面平行的性质可知，m，n可能平行或异面，

所以C符合题意；根据面面垂直的性质可知，若α⊥β，m⊂α，α∩β=n，m⊥n，

则m⊥β，所以D不符合题意.故选C.

4.答案为：B；

解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，

又HE∩HF=H，∴AH⊥平面EFH，B正确.

∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确.

∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH=G，∴EF⊥平面HAG，

又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，

一定在平面HAG内，∴C不正确.

由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.

5.答案为：D

解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确.

6.答案为：D

解析：①如图，

取BC的中点M，连接AM，DM，由AB=AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，

而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO(图略)，

由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.故选D.

7.答案为：A

解析：由平面图形可得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF=H，∴AH⊥平面HEF.故选A.

8.答案为：C

解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，

又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.

9.答案为：A

解析：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，

画出满足条件的直观图如图四棱锥P－ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，

故△PAB和△PAD都是直角三角形.

又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD.

这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，

CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，

由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，

故△PBC和△PDC都是直角三角形，

故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PDC共4个.故选A.

10.答案为：C；

解析：如图，分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP=CQ=1，

连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体.

∴BC⊥平面ABN，又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；

连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，

∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC.

∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，

∴AF⊥MN，CF⊥MN，

∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角，

∵AF=CF=，AC=，∴AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠，

∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；

∵DE∥AN，MN∥BD，

DE∩BD=D，DE，BD⊂平面BDE，MN∩AN=N，MN，AN⊂平面AMN，

∴平面BDE∥平面AMN，故D正确.故选C.

11.答案为：C；

解析：取CD的中点F，连接BF，MF，如图1，可知平面MBF∥平面A1DE，所以BM∥平面A1DE，A正确.取A1D中点G，可得EG∥BM，如图2，所以B正确.由题意可得点A关于直线DE的对称点为F，则DE⊥平面A1AF，即过O与DE垂直的直线在平面A1AF内，而M不在平面A1AF内，故C错误.三棱锥A1­ADE外接球的球心即为O点，所以外接球半径为AD，故D正确.

12.答案为：C；

解析：由DE⊥平面A1D，根据三垂线定理，①对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AF⊥A1E，所以①正确；②如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E，那么，由A1D⊥AD1，可知过A有两条直线与A1D垂直，故②错误；③只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时，AF⊥B1G，故③正确；④只有AF⊥平面BB1D1D时，④才正确，AF与平面BB1D1D不垂直，故④错误.

二 、填空题

13.答案为：①②④；

解析：连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1，

所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，

所以三棱锥P-AD1C的体积不变.

又因为V三棱锥P-AD1C=V三棱锥A-D1PC，所以①正确；

因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，

所以A1P∥平面ACD1，②正确；

由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1，即DP不垂直BC1，故③不正确；

由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1=D1，所以DB1⊥平面AD1C.

又因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确.

14.答案为：

解题思路：连结B1D1，易知面ACD1⊥面BDD1B1，而MN⊥ACD1，即NM⊥D1O，NM在面BDD1B1内，且点N的轨迹是线段B1D1，连结AB1，易知△AB1D1是等边三角形，则当N为B1D1中点时，NA距离最小，易知最小值为

15.答案为：.

解析：因为三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，

∴S在平面ABC内的射影为AB中点，记为H，连接CH，SH，∴SH⊥平面ABC，

∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等，∴三棱锥的外接球的球心在线段SH上，

记为O，连接OC，设外接球的半径为R，则SO=OC=R=－OH，在△OCH中，

由OH2＋HC2=OC2，得OH2=(－OH)2－12，得OH=，

故外接球的球心到平面ABC的距离是.

16.答案为：①③④

解析：根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，∴④不正确.综上，说法错误的是①③④.