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【小升初专练】环形跑道问题 （试题） 2021-2022学年小学数学六年级下册小升初专项提升练习
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这是一份【小升初专练】环形跑道问题 （试题） 2021-2022学年小学数学六年级下册小升初专项提升练习，共22页。试卷主要包含了亮亮和爸爸妈妈绕环形跑道跑步等内容，欢迎下载使用。
（环形跑道问题）
一．填空题（共2小题）
1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反向跑，每隔15秒与甲相遇1次，乙跑一圈所用的时间是 秒．
2．小张和小李在320米的环形跑道上跑步他们从同一个地点同时出发，反向而行．小张的速度是3米秒，小李的速度是5米秒经过 秒两人相遇．
二．应用题（共11小题）
3．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米分，乙的速度是240米分．经过多少分钟甲第一次追上乙？
4．运动场的环形跑道长360米，淘气跑了一整圈，所用时间的前一半速度是5米秒，所用时间的后一半速度是4米秒．那么他跑后半圈要用多少时间？
5．亮亮和爸爸妈妈绕环形跑道跑步．若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用2分，妈妈跑一圈用3分，亮亮跑一圈用4分．多少分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇？
6．在400米环形跑道上小巧和小亚从同一地点出发，沿着相反方向跑步，小巧每秒跑2米，经过1分20秒两人相遇，小亚每秒跑多少米？
7．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．
（1）甲、乙至少多长时间在起点再次相遇？
（2）甲、乙、丙三人至少多长时间在起点再次同时出发？
8．小玲的爸爸、妈妈在环形跑道上跑步锻炼，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟．他们同时从起点出发，都按逆时针方向跑，至少经过多少分钟能在起点相遇？
9．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
10．甲每秒跑，乙每秒跑，丙每秒跑，三人沿的环形跑道从同一地点同时同方向出发，至少经过多长时间三人又同时从原出发点出发？
11．（1）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从同一地点出发，背向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
（2）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从起点出发，同向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
12．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
13．甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向骑车，甲每秒行3米，乙每秒行4米，丙每秒行2米．经过多少分钟后三人又同时从出发点出发？
三．解答题（共5小题）
14．有一周长为1千米的环形跑道，甲、乙二人同时从同地出发，若同向跑1小时后，甲比乙多跑一圈，若以相反的方向跑4分钟后二人相遇，求甲、乙二人的速度．
15．小明和小红沿学校操场的400米环形跑道上练习跑步，小明每秒跑6米，小红每秒跑4米，如果他们同时在同一地点出发，跑了5分钟，问他们在途中可能相遇几次？
16．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．乙的速度是甲的几分之几？你还能提出其他数学问题并解答吗？
17．笑笑、奇思和淘气在环形跑道上跑步，笑笑跑一圈要4分钟，淘气要3分钟，齐思要2分钟，三人同时从起点出发后，三人下一次相遇是什么时间？
18．甲乙两名运动员在400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙跑的速度比原来快，甲每分钟比原来多跑18米，并且都保持到终点．问甲乙两人谁先到达终点？
2022年小学数学解题模型（环形跑道问题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共2小题）
1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反向跑，每隔15秒与甲相遇1次，乙跑一圈所用的时间是 24 秒．
【考点】相遇问题
【分析】两人每相遇一次就共行这个环形跑道的一周，将这条环形跑道的长度当作单位“1”，则甲每秒跑这条环形跑道的，两人每隔15秒相遇一次，即两人每秒跑这条环形跑道的，所以乙每秒跑这条环形跑道的，则乙跑一周所用时间为：秒。
【解答】解：
（秒
答：乙跑一周所用的时间是24秒。
故答案为：24。
【点评】由于本题没有说明跑道的具体长度，将这条环形跑道的长度当作单位“1”，求出甲的效率及两人的效率和，根据工程问题进行解答是完成本题的关键。
2．小张和小李在320米的环形跑道上跑步他们从同一个地点同时出发，反向而行．小张的速度是3米秒，小李的速度是5米秒经过 40 秒两人相遇．
【考点】简单的行程问题
【分析】根据：路程速度时间，用环形跑道的长度除以两人的速度之和，求出经过多少秒两人相遇即可．
【解答】解：
（秒
答：经过40秒两人相遇．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，要熟练掌握．
二．应用题（共11小题）
3．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米分，乙的速度是240米分．经过多少分钟甲第一次追上乙？
【考点】：环形跑道问题
【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑1圈，即600米，根据路程差速度差追及时间，列式为：．
【解答】解：
（分钟）
答：经过20分钟甲第一次追上乙．
【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是理解同时从同一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙，那么甲比乙多跑1圈就是路程差是环形跑道的周长．
4．运动场的环形跑道长360米，淘气跑了一整圈，所用时间的前一半速度是5米秒，所用时间的后一半速度是4米秒．那么他跑后半圈要用多少时间？
【考点】环形跑道问题
【分析】先设时间的一半是秒，则前一半时间跑的路程是米，后一半时间跑的路程是米，把这两部分相加就是总路程360米，由此列出方程求出总时间的一半是40米，米，说明前一半时间跑了全程的一半还多20米，这20米用了秒，再加上后一半的时间，就是他跑后半圈要用多少时间．
【解答】解：设时间的一半是秒，则：
（米
（米
（秒
（秒
答：他跑后半圈要用44秒．
【点评】完成本题要注意，由于速度不同，后一半时间所行的路程并不是全程的一半；先求出时间的一半是多少秒，再求出前一半时间跑的路程，进而求出比全程的一半多的路程，从而求出这部分需要的时间，再加上剩下的时间即可．
5．亮亮和爸爸妈妈绕环形跑道跑步．若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用2分，妈妈跑一圈用3分，亮亮跑一圈用4分．多少分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇？
【考点】因数与倍数
【分析】此题实际上就是求2，3，4的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们在起点第一次相遇的时间；据此解答即可．
【解答】解：因为4是2的倍数，4和3互质，
所以，（分钟）
答：12分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇．
【点评】本题考查了公倍数应用题，考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．
6．在400米环形跑道上小巧和小亚从同一地点出发，沿着相反方向跑步，小巧每秒跑2米，经过1分20秒两人相遇，小亚每秒跑多少米？
【考点】简单的行程问题
【分析】首先根据：路程时间速度，用环形跑道一周的长度除以两人需要用的时间，求出两人的速度之和是多少；然后用它减去小巧每秒跑的路程，求出小亚每秒跑多少米即可．
【解答】解：1分20秒秒
（米
答：小亚每秒跑3米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，要熟练掌握．
7．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．
（1）甲、乙至少多长时间在起点再次相遇？
（2）甲、乙、丙三人至少多长时间在起点再次同时出发？
【考点】相遇问题
【分析】要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆．甲跑一圈需要秒，乙跑一圈需要秒，丙跑一圈需要秒．要使甲乙二人再一次在起点相遇，经过的时间一定是30和40的最小公倍数．30和40的最小公倍数是120．要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是30、40和48的最小公倍数．30、40和48的最小公倍数是960，所以，经过960秒后三人又同时从出发点出发．
【解答】解：
（1）甲跑一圈需要秒，乙跑一圈需要秒，则甲、乙在起点再次相遇是30和40的最小公倍数120．
答：甲、乙至少经过120秒在起点再次相遇．
（2）甲跑一圈需要秒，乙跑一圈需要秒，丙跑一圈需要秒．则甲、乙、丙在起点再次相遇是30、40和48的最小公倍数960．
答：甲、乙、丙至少经过960秒在起点再次相遇．
【点评】本题考查了最小公倍数的应用，解答本题的关键是找出它们用时的最小公倍数．
8．小玲的爸爸、妈妈在环形跑道上跑步锻炼，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟．他们同时从起点出发，都按逆时针方向跑，至少经过多少分钟能在起点相遇？
【考点】因数与倍数
【分析】爸爸回到起点用的时间是3分钟的整数倍，妈妈回到原地用的时间是4分钟的整数倍，则第一次同时回到起点的分钟数就是3和4的最小公倍数，因此得解．
【解答】解：3和4互质，它们的最小公倍数是，
所以至少12分钟后两人在起点再次相遇；
答：至少经过12分钟能在起点相遇．
【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．
9．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
【考点】环形跑道问题
【分析】同时出发，相背而行，经过4分钟相遇，则两人的速度和是米；同向而行，经过8分钟父亲可以追上儿子，此时父亲正好比儿子多跑一周，即400米，则两人速度差是每分米，根据和差问题公式可知，儿子的速度是每分：米，进而求出父亲的速度，再进一步分别求得在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟．
【解答】解：
（米分）
（米分）
（分
（分．
答：在跑道上走一圈，父亲需要分钟，儿子需要16分钟．
【点评】本题考查了环形跑道问题．首先根据路程差追及时间速度差，路程相遇时间速度和分别求出两人的速度差及速度和然后根据和差问题公式解答是完成本题的关键．
10．甲每秒跑，乙每秒跑，丙每秒跑，三人沿的环形跑道从同一地点同时同方向出发，至少经过多长时间三人又同时从原出发点出发？
【考点】公因数和公倍数应用题
【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑1圈所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发．
【解答】解：（秒
（秒
（秒
100、75、150的最小公倍数是300；
300秒分钟
答：至少经过5分钟三人又同时从出发点出发．
【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用．
11．（1）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从同一地点出发，背向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
（2）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从起点出发，同向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
【考点】相遇问题
【分析】（1）两人第一次相遇，共行了环形跑道的周长；运用相遇问题公式：欢欢跑的路程笑笑跑的路程速度和时间，那么相遇时间总路程速度和；据此用300米除以速度和即可；
（2）本题属于追及问题，两人第一次相遇，笑笑比欢欢正好多行了环形跑道的周长；运用追及问题公式：路程差速度差时间，那么追及时间总路程速度差．
【解答】解：（1）方法一：
设：经过秒两人第一次相遇
答：经过30秒两人第一次相遇．
方法二：
（秒
答：经过30秒两人第一次相遇．
（2）方法一：
设：经过秒两人第一次相遇
答：经过150秒两人第一次相遇．
方法二：
（秒
答：经过150秒两人第一次相遇．
【点评】此题主要考查了行程问题中的相遇问题和追及问题．需要注意两人第一次相遇，是路程差还是路程和等于环形跑道的周长．
12．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
【考点】环形跑道问题
【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的，然后根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：
（米
答：学校环形跑道的周长是400米．
【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可．
13．甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向骑车，甲每秒行3米，乙每秒行4米，丙每秒行2米．经过多少分钟后三人又同时从出发点出发？
【考点】公因数和公倍数应用题
【分析】根据路程速度时间这一关系式，先求得甲、乙、丙三人骑车1圈所用的时间分别是多少；求至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发；就相当于求他们骑车1圈所用的时间的最小公倍数，然后分解因数解答即可．
【解答】解：（秒
（秒
（秒
200，150和300的最小公倍数是：
600秒分钟
答：经过10分钟后三人又同时从出发点出发．
【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用；关键是求出三人骑车1圈所用的时间分别是多少．
三．解答题（共5小题）
14．有一周长为1千米的环形跑道，甲、乙二人同时从同地出发，若同向跑1小时后，甲比乙多跑一圈，若以相反的方向跑4分钟后二人相遇，求甲、乙二人的速度．
【考点】环形跑道问题
【分析】同向跑1小时后，甲比乙多跑一圈，即甲每小时比乙多跑1千米，则两人的速度差每小时1千米，若以相反的方向跑4分钟后二人相遇，即两人共行一圈即1千米需要4分钟即小时，则两人的速度和是每小时千米，根据和差问题公式可知，甲每小时行千米，乙每小时行千米。
【解答】解：4分钟小时
（千米小时）
（千米小时）
答：甲每小时行8千米，乙每小时行7千米。
【点评】完成本题要注意两人同向行驶是追及问题，反向行驶是相遇问题。
15．小明和小红沿学校操场的400米环形跑道上练习跑步，小明每秒跑6米，小红每秒跑4米，如果他们同时在同一地点出发，跑了5分钟，问他们在途中可能相遇几次？
【考点】环形跑道问题
【分析】本题可从两个方面分析：
如果同向而行，则每追及一次，小明就比小红多行一周，两人的速度差是每秒米，则每追及一次需要秒，由第5分钟秒，次秒，则相遇一次；
如相向而行，由于两人速度和是每秒米，则五分钟即300秒两共行米，次米，即两人在途中相遇7次。
【解答】解：5分钟秒
同向而行：
（秒
（次（米
答：同向而行，两人5分钟相遇一次。
相向而行：
（次（米
答：相向而行，两人5分钟相遇7次。
【点评】完成本题要注意分同向而行与相向而行两种情况进行分析，
16．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．乙的速度是甲的几分之几？你还能提出其他数学问题并解答吗？
【考点】分数除法应用题
【分析】（1）用乙的速度除以甲的速度，即可求出乙的速度是甲的几分之几；
（2）还可以提问乙的速度是丙的几分之几，用乙的速度除以丙的速度即可．
【解答】解：（1）
答：乙的速度是甲的．
（2）问题：乙的速度是丙的几分之几，
答：乙的速度是丙的．（答案不唯一）
【点评】此题属于分数除法应用题中的一个基本类型：已知两个数，求一个数是另一个数的几分之几．
17．笑笑、奇思和淘气在环形跑道上跑步，笑笑跑一圈要4分钟，淘气要3分钟，齐思要2分钟，三人同时从起点出发后，三人下一次相遇是什么时间？
【考点】因数与倍数
【分析】当三人在原出发地相遇时用的时间一定是三人各跑一圈所用时间的最小公倍数，求出它的最小公倍数，就是再次在原出发地相遇时用的时间，再用这个时间加上出发的时刻即可．
【解答】解：2，3和4的最小公倍数是：
所以三人出发后相遇时用的时间是12分钟，
7时50分分钟时2分
答：三人下一次相遇是．
【点评】本题的重点是让学生理解：三人又在原出发地相遇时用的时间相同，是三人用时的最小公倍数．
18．甲乙两名运动员在400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙跑的速度比原来快，甲每分钟比原来多跑18米，并且都保持到终点．问甲乙两人谁先到达终点？
【考点】环形跑道问题
【分析】根据题意，利用追及问题公式：追及时间路程差速度差，先求甲比乙领先一圈二人所用时间：（分钟），则甲跑了：（米，乙跑了：（米．剩余路程所需时间：甲：（分钟），乙：（分钟）．然后进行比较，即可得出结论．
【解答】解：
（分钟）
（分钟）
（分钟）
答：甲先到达终点．
【点评】本题主要考查行程问题，关键利用路程、速度和时间的关系做题．
考点卡片
1．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+） B、120÷（1+） C、120×（1﹣） D、120÷（1﹣）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1﹣），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1﹣）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
2．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，小时行了全程的，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×÷，
＝÷，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
3．公因数和公倍数应用题
【知识点归纳】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以最大公因数是2×3＝6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
＝3+2
＝5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可．
例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果4月25日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3＝72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25＝5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30＝6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数．
4．因数与倍数
【知识点归纳】
1．公约数与公倍数题型简介
（1）公约数与公倍数
若数a能被b整除，则称数a为数b的公倍数，数b为数a的公约数．其中，一个数的最小公约数是1，最大公约数是它本身．
（2）公约数与最大公约数
几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数．
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数．
（3）公倍数与最大公倍数
几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数．
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数．
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（ ）
A、56 B、78 C、84 D、96
分析：把最大公约数8和最小公倍数96分解质公约数，根据最大公约数是两个数的共有质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解．
解：8＝2×2×2，
96＝2×2×2×2×2×3，
所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2×2×2×2×2＝32和2×2×2×3＝24；
这两个二位数的和是：32+24＝56；
故选：A．
点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察选项，即可得解．
经典题型：
例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（ ）面彩旗不用移动．
A、12 B、13 C、14D、15
分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数＝路的总长度；再求出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗栽的树，最后加上开始那颗．
解：4和6的最小公倍数是12，
路长：4×（37﹣1）＝144（米），
栽棵树：144÷12＝12（棵），
12+1＝13（棵），
答：可以有13面彩旗不用移动．
故选：B．
点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一定，间距再变，棵树也在变，得有有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．
【解题方法点拨】
（1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数．
（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．
（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．
（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．
5．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程． 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．
【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．
（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．
（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
6．环形跑道问题
【知识点归纳】
1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．
环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长．
2．解题方法：
（1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差
（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．
【命题方向】
经典题型：
例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米．
（1）求甲乙两人原来的行走速度．
（2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？
分析：（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192＝10分钟；
因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答．
（2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离．
解：（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12＝160（米），
提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米），
所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192＝10（分钟），
设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程：
12x﹣10（x+16）＝20，
12x﹣10x﹣160＝20，
2x＝180，
x＝90，
则乙原来的速度是：160﹣90＝70（米/分），
答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分；
（2）1920×2÷（90﹣70）
＝1920×2÷20
＝192（分），
192×90÷1920＝9，说明正好在出发点．
答：甲在出发点第二次追上乙．
点评：本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题．
（环形跑道问题）
一．填空题（共2小题）
1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反向跑，每隔15秒与甲相遇1次，乙跑一圈所用的时间是 秒．
2．小张和小李在320米的环形跑道上跑步他们从同一个地点同时出发，反向而行．小张的速度是3米秒，小李的速度是5米秒经过 秒两人相遇．
二．应用题（共11小题）
3．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米分，乙的速度是240米分．经过多少分钟甲第一次追上乙？
4．运动场的环形跑道长360米，淘气跑了一整圈，所用时间的前一半速度是5米秒，所用时间的后一半速度是4米秒．那么他跑后半圈要用多少时间？
5．亮亮和爸爸妈妈绕环形跑道跑步．若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用2分，妈妈跑一圈用3分，亮亮跑一圈用4分．多少分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇？
6．在400米环形跑道上小巧和小亚从同一地点出发，沿着相反方向跑步，小巧每秒跑2米，经过1分20秒两人相遇，小亚每秒跑多少米？
7．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．
（1）甲、乙至少多长时间在起点再次相遇？
（2）甲、乙、丙三人至少多长时间在起点再次同时出发？
8．小玲的爸爸、妈妈在环形跑道上跑步锻炼，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟．他们同时从起点出发，都按逆时针方向跑，至少经过多少分钟能在起点相遇？
9．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
10．甲每秒跑，乙每秒跑，丙每秒跑，三人沿的环形跑道从同一地点同时同方向出发，至少经过多长时间三人又同时从原出发点出发？
11．（1）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从同一地点出发，背向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
（2）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从起点出发，同向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
12．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
13．甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向骑车，甲每秒行3米，乙每秒行4米，丙每秒行2米．经过多少分钟后三人又同时从出发点出发？
三．解答题（共5小题）
14．有一周长为1千米的环形跑道，甲、乙二人同时从同地出发，若同向跑1小时后，甲比乙多跑一圈，若以相反的方向跑4分钟后二人相遇，求甲、乙二人的速度．
15．小明和小红沿学校操场的400米环形跑道上练习跑步，小明每秒跑6米，小红每秒跑4米，如果他们同时在同一地点出发，跑了5分钟，问他们在途中可能相遇几次？
16．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．乙的速度是甲的几分之几？你还能提出其他数学问题并解答吗？
17．笑笑、奇思和淘气在环形跑道上跑步，笑笑跑一圈要4分钟，淘气要3分钟，齐思要2分钟，三人同时从起点出发后，三人下一次相遇是什么时间？
18．甲乙两名运动员在400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙跑的速度比原来快，甲每分钟比原来多跑18米，并且都保持到终点．问甲乙两人谁先到达终点？
2022年小学数学解题模型（环形跑道问题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共2小题）
1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反向跑，每隔15秒与甲相遇1次，乙跑一圈所用的时间是 24 秒．
【考点】相遇问题
【分析】两人每相遇一次就共行这个环形跑道的一周，将这条环形跑道的长度当作单位“1”，则甲每秒跑这条环形跑道的，两人每隔15秒相遇一次，即两人每秒跑这条环形跑道的，所以乙每秒跑这条环形跑道的，则乙跑一周所用时间为：秒。
【解答】解：
（秒
答：乙跑一周所用的时间是24秒。
故答案为：24。
【点评】由于本题没有说明跑道的具体长度，将这条环形跑道的长度当作单位“1”，求出甲的效率及两人的效率和，根据工程问题进行解答是完成本题的关键。
2．小张和小李在320米的环形跑道上跑步他们从同一个地点同时出发，反向而行．小张的速度是3米秒，小李的速度是5米秒经过 40 秒两人相遇．
【考点】简单的行程问题
【分析】根据：路程速度时间，用环形跑道的长度除以两人的速度之和，求出经过多少秒两人相遇即可．
【解答】解：
（秒
答：经过40秒两人相遇．
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，要熟练掌握．
二．应用题（共11小题）
3．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行．甲的速度是270米分，乙的速度是240米分．经过多少分钟甲第一次追上乙？
【考点】：环形跑道问题
【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑1圈，即600米，根据路程差速度差追及时间，列式为：．
【解答】解：
（分钟）
答：经过20分钟甲第一次追上乙．
【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是理解同时从同一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙，那么甲比乙多跑1圈就是路程差是环形跑道的周长．
4．运动场的环形跑道长360米，淘气跑了一整圈，所用时间的前一半速度是5米秒，所用时间的后一半速度是4米秒．那么他跑后半圈要用多少时间？
【考点】环形跑道问题
【分析】先设时间的一半是秒，则前一半时间跑的路程是米，后一半时间跑的路程是米，把这两部分相加就是总路程360米，由此列出方程求出总时间的一半是40米，米，说明前一半时间跑了全程的一半还多20米，这20米用了秒，再加上后一半的时间，就是他跑后半圈要用多少时间．
【解答】解：设时间的一半是秒，则：
（米
（米
（秒
（秒
答：他跑后半圈要用44秒．
【点评】完成本题要注意，由于速度不同，后一半时间所行的路程并不是全程的一半；先求出时间的一半是多少秒，再求出前一半时间跑的路程，进而求出比全程的一半多的路程，从而求出这部分需要的时间，再加上剩下的时间即可．
5．亮亮和爸爸妈妈绕环形跑道跑步．若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用2分，妈妈跑一圈用3分，亮亮跑一圈用4分．多少分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇？
【考点】因数与倍数
【分析】此题实际上就是求2，3，4的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们在起点第一次相遇的时间；据此解答即可．
【解答】解：因为4是2的倍数，4和3互质，
所以，（分钟）
答：12分后，亮亮和爸爸、妈妈在起点第一次相遇．
【点评】本题考查了公倍数应用题，考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．
6．在400米环形跑道上小巧和小亚从同一地点出发，沿着相反方向跑步，小巧每秒跑2米，经过1分20秒两人相遇，小亚每秒跑多少米？
【考点】简单的行程问题
【分析】首先根据：路程时间速度，用环形跑道一周的长度除以两人需要用的时间，求出两人的速度之和是多少；然后用它减去小巧每秒跑的路程，求出小亚每秒跑多少米即可．
【解答】解：1分20秒秒
（米
答：小亚每秒跑3米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，要熟练掌握．
7．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．
（1）甲、乙至少多长时间在起点再次相遇？
（2）甲、乙、丙三人至少多长时间在起点再次同时出发？
【考点】相遇问题
【分析】要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆．甲跑一圈需要秒，乙跑一圈需要秒，丙跑一圈需要秒．要使甲乙二人再一次在起点相遇，经过的时间一定是30和40的最小公倍数．30和40的最小公倍数是120．要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是30、40和48的最小公倍数．30、40和48的最小公倍数是960，所以，经过960秒后三人又同时从出发点出发．
【解答】解：
（1）甲跑一圈需要秒，乙跑一圈需要秒，则甲、乙在起点再次相遇是30和40的最小公倍数120．
答：甲、乙至少经过120秒在起点再次相遇．
（2）甲跑一圈需要秒，乙跑一圈需要秒，丙跑一圈需要秒．则甲、乙、丙在起点再次相遇是30、40和48的最小公倍数960．
答：甲、乙、丙至少经过960秒在起点再次相遇．
【点评】本题考查了最小公倍数的应用，解答本题的关键是找出它们用时的最小公倍数．
8．小玲的爸爸、妈妈在环形跑道上跑步锻炼，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟．他们同时从起点出发，都按逆时针方向跑，至少经过多少分钟能在起点相遇？
【考点】因数与倍数
【分析】爸爸回到起点用的时间是3分钟的整数倍，妈妈回到原地用的时间是4分钟的整数倍，则第一次同时回到起点的分钟数就是3和4的最小公倍数，因此得解．
【解答】解：3和4互质，它们的最小公倍数是，
所以至少12分钟后两人在起点再次相遇；
答：至少经过12分钟能在起点相遇．
【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力．
9．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
【考点】环形跑道问题
【分析】同时出发，相背而行，经过4分钟相遇，则两人的速度和是米；同向而行，经过8分钟父亲可以追上儿子，此时父亲正好比儿子多跑一周，即400米，则两人速度差是每分米，根据和差问题公式可知，儿子的速度是每分：米，进而求出父亲的速度，再进一步分别求得在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟．
【解答】解：
（米分）
（米分）
（分
（分．
答：在跑道上走一圈，父亲需要分钟，儿子需要16分钟．
【点评】本题考查了环形跑道问题．首先根据路程差追及时间速度差，路程相遇时间速度和分别求出两人的速度差及速度和然后根据和差问题公式解答是完成本题的关键．
10．甲每秒跑，乙每秒跑，丙每秒跑，三人沿的环形跑道从同一地点同时同方向出发，至少经过多长时间三人又同时从原出发点出发？
【考点】公因数和公倍数应用题
【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑1圈所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发．
【解答】解：（秒
（秒
（秒
100、75、150的最小公倍数是300；
300秒分钟
答：至少经过5分钟三人又同时从出发点出发．
【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用．
11．（1）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从同一地点出发，背向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
（2）欢欢和笑笑在一个周长为300米的环形跑道上练习跑步，她们同时从起点出发，同向而行．欢欢每秒跑4米，笑笑每秒跑6米．经过多少秒两人第一次相遇？
【考点】相遇问题
【分析】（1）两人第一次相遇，共行了环形跑道的周长；运用相遇问题公式：欢欢跑的路程笑笑跑的路程速度和时间，那么相遇时间总路程速度和；据此用300米除以速度和即可；
（2）本题属于追及问题，两人第一次相遇，笑笑比欢欢正好多行了环形跑道的周长；运用追及问题公式：路程差速度差时间，那么追及时间总路程速度差．
【解答】解：（1）方法一：
设：经过秒两人第一次相遇
答：经过30秒两人第一次相遇．
方法二：
（秒
答：经过30秒两人第一次相遇．
（2）方法一：
设：经过秒两人第一次相遇
答：经过150秒两人第一次相遇．
方法二：
（秒
答：经过150秒两人第一次相遇．
【点评】此题主要考查了行程问题中的相遇问题和追及问题．需要注意两人第一次相遇，是路程差还是路程和等于环形跑道的周长．
12．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
【考点】环形跑道问题
【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的，然后根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：
（米
答：学校环形跑道的周长是400米．
【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可．
13．甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向骑车，甲每秒行3米，乙每秒行4米，丙每秒行2米．经过多少分钟后三人又同时从出发点出发？
【考点】公因数和公倍数应用题
【分析】根据路程速度时间这一关系式，先求得甲、乙、丙三人骑车1圈所用的时间分别是多少；求至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发；就相当于求他们骑车1圈所用的时间的最小公倍数，然后分解因数解答即可．
【解答】解：（秒
（秒
（秒
200，150和300的最小公倍数是：
600秒分钟
答：经过10分钟后三人又同时从出发点出发．
【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用；关键是求出三人骑车1圈所用的时间分别是多少．
三．解答题（共5小题）
14．有一周长为1千米的环形跑道，甲、乙二人同时从同地出发，若同向跑1小时后，甲比乙多跑一圈，若以相反的方向跑4分钟后二人相遇，求甲、乙二人的速度．
【考点】环形跑道问题
【分析】同向跑1小时后，甲比乙多跑一圈，即甲每小时比乙多跑1千米，则两人的速度差每小时1千米，若以相反的方向跑4分钟后二人相遇，即两人共行一圈即1千米需要4分钟即小时，则两人的速度和是每小时千米，根据和差问题公式可知，甲每小时行千米，乙每小时行千米。
【解答】解：4分钟小时
（千米小时）
（千米小时）
答：甲每小时行8千米，乙每小时行7千米。
【点评】完成本题要注意两人同向行驶是追及问题，反向行驶是相遇问题。
15．小明和小红沿学校操场的400米环形跑道上练习跑步，小明每秒跑6米，小红每秒跑4米，如果他们同时在同一地点出发，跑了5分钟，问他们在途中可能相遇几次？
【考点】环形跑道问题
【分析】本题可从两个方面分析：
如果同向而行，则每追及一次，小明就比小红多行一周，两人的速度差是每秒米，则每追及一次需要秒，由第5分钟秒，次秒，则相遇一次；
如相向而行，由于两人速度和是每秒米，则五分钟即300秒两共行米，次米，即两人在途中相遇7次。
【解答】解：5分钟秒
同向而行：
（秒
（次（米
答：同向而行，两人5分钟相遇一次。
相向而行：
（次（米
答：相向而行，两人5分钟相遇7次。
【点评】完成本题要注意分同向而行与相向而行两种情况进行分析，
16．一个环形跑道长，甲、乙、丙三人从同一地点同时同方向骑车而行，甲每秒行，乙每秒行，丙每秒行．乙的速度是甲的几分之几？你还能提出其他数学问题并解答吗？
【考点】分数除法应用题
【分析】（1）用乙的速度除以甲的速度，即可求出乙的速度是甲的几分之几；
（2）还可以提问乙的速度是丙的几分之几，用乙的速度除以丙的速度即可．
【解答】解：（1）
答：乙的速度是甲的．
（2）问题：乙的速度是丙的几分之几，
答：乙的速度是丙的．（答案不唯一）
【点评】此题属于分数除法应用题中的一个基本类型：已知两个数，求一个数是另一个数的几分之几．
17．笑笑、奇思和淘气在环形跑道上跑步，笑笑跑一圈要4分钟，淘气要3分钟，齐思要2分钟，三人同时从起点出发后，三人下一次相遇是什么时间？
【考点】因数与倍数
【分析】当三人在原出发地相遇时用的时间一定是三人各跑一圈所用时间的最小公倍数，求出它的最小公倍数，就是再次在原出发地相遇时用的时间，再用这个时间加上出发的时刻即可．
【解答】解：2，3和4的最小公倍数是：
所以三人出发后相遇时用的时间是12分钟，
7时50分分钟时2分
答：三人下一次相遇是．
【点评】本题的重点是让学生理解：三人又在原出发地相遇时用的时间相同，是三人用时的最小公倍数．
18．甲乙两名运动员在400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙跑的速度比原来快，甲每分钟比原来多跑18米，并且都保持到终点．问甲乙两人谁先到达终点？
【考点】环形跑道问题
【分析】根据题意，利用追及问题公式：追及时间路程差速度差，先求甲比乙领先一圈二人所用时间：（分钟），则甲跑了：（米，乙跑了：（米．剩余路程所需时间：甲：（分钟），乙：（分钟）．然后进行比较，即可得出结论．
【解答】解：
（分钟）
（分钟）
（分钟）
答：甲先到达终点．
【点评】本题主要考查行程问题，关键利用路程、速度和时间的关系做题．
考点卡片
1．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+） B、120÷（1+） C、120×（1﹣） D、120÷（1﹣）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1﹣），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1﹣）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
2．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，小时行了全程的，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×÷，
＝÷，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
3．公因数和公倍数应用题
【知识点归纳】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以最大公因数是2×3＝6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
＝3+2
＝5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可．
例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果4月25日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3＝72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25＝5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30＝6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数．
4．因数与倍数
【知识点归纳】
1．公约数与公倍数题型简介
（1）公约数与公倍数
若数a能被b整除，则称数a为数b的公倍数，数b为数a的公约数．其中，一个数的最小公约数是1，最大公约数是它本身．
（2）公约数与最大公约数
几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数．
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数．
（3）公倍数与最大公倍数
几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数．
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数．
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（ ）
A、56 B、78 C、84 D、96
分析：把最大公约数8和最小公倍数96分解质公约数，根据最大公约数是两个数的共有质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解．
解：8＝2×2×2，
96＝2×2×2×2×2×3，
所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2×2×2×2×2＝32和2×2×2×3＝24；
这两个二位数的和是：32+24＝56；
故选：A．
点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察选项，即可得解．
经典题型：
例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（ ）面彩旗不用移动．
A、12 B、13 C、14D、15
分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数＝路的总长度；再求出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗栽的树，最后加上开始那颗．
解：4和6的最小公倍数是12，
路长：4×（37﹣1）＝144（米），
栽棵树：144÷12＝12（棵），
12+1＝13（棵），
答：可以有13面彩旗不用移动．
故选：B．
点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一定，间距再变，棵树也在变，得有有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．
【解题方法点拨】
（1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数．
（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．
（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．
（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．
5．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程． 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．
【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．
（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．
（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
6．环形跑道问题
【知识点归纳】
1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．
环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长．
2．解题方法：
（1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差
（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．
【命题方向】
经典题型：
例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米．
（1）求甲乙两人原来的行走速度．
（2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？
分析：（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192＝10分钟；
因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答．
（2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离．
解：（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12＝160（米），
提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米），
所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192＝10（分钟），
设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程：
12x﹣10（x+16）＝20，
12x﹣10x﹣160＝20，
2x＝180，
x＝90，
则乙原来的速度是：160﹣90＝70（米/分），
答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分；
（2）1920×2÷（90﹣70）
＝1920×2÷20
＝192（分），
192×90÷1920＝9，说明正好在出发点．
答：甲在出发点第二次追上乙．
点评：本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题．
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