04导数及其应用（解答题）（文科专用）-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）

三年专题04 导数及其应用（解答题）

（文科专用）

1．【2022年全国甲卷】已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

(1)若，求a；

(2)求a的取值范围．

【答案】(1)3

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；

（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.

(1)

由题意知，，，，则在点处的切线方程为，

即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；

(2)

，则在点处的切线方程为，整理得，

设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，

则，整理得，

令，则，令，解得或，

令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：

则的值域为，故的取值范围为.

2．【2022年全国乙卷】已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；

（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.

(1)

当时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

(2)

，则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，当x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷，

所以在有一个零点，在无零点，

所以有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.

3．【2021年甲卷文科】设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.

【详解】

（1）函数的定义域为，

又，

因为，故，

当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为.

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即.

【点睛】

方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

4．【2021年乙卷文科】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

【答案】(1)答案见解析；(2) 和.

【解析】

【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；

(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.

【详解】

(1)由函数的解析式可得：，

导函数的判别式，

当时，在R上单调递增，

当时，的解为：，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

综上可得：当时，在R上单调递增，

当时，在，上

单调递增，在上单调递减.

 (2)由题意可得：，，

则切线方程为：，

切线过坐标原点，则：,

整理可得：，即：，

解得：，则，

切线方程为：,

与联立得，

化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为

解得,

，

综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.

【点睛】

本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.

5．【2020年新课标1卷文科】已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；

（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.

【详解】

（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

（2）若有两个零点，即有两个解，

从方程可知，不成立，即有两个解，

令，则有，

令，解得，令，解得或，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

而时，，当时，，

所以当有两个解时，有，

所以满足条件的的取值范围是：.

【点睛】

本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.

6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．

【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间

【解析】

【分析】

（1）[方法三]不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；

（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数 ，再求导得到，根据的正负，判断 的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.

【详解】

（1）

[方法一]【最优解】：

等价于．

设，则．

当时，，所以在区间内单调递增；

当时，，所以在区间内单调递减．

故，所以，即，所以c的取值范围是．

[方法二]：切线放缩

若，即，即当时恒成立，

而在点处的切线为，从而有，

当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．

[方法三]：利用最值求取值范围

函数的定义域为：

，

设，则有 ，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，函数有最大值，

即，

要想不等式在上恒成立，

只需；

所以c的取值范围为．

（2）且

因此，设 ，

则有，

当时，，所以， 单调递减，因此有，即

，所以单调递减；

当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，

所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.

【整体点评】

(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；

方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.

方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.

7．【2020年新课标3卷文科】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

【答案】（1）详见解析；(2).

【解析】

【分析】

（1），对分和两种情况讨论即可；

（2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.

【详解】

（1）由题，，

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

令，得或，所以在上单调递减，在

，上单调递增.

（2）由（1）知，有三个零点，则，且

即，解得，

当时，，且，

所以在上有唯一一个零点，

同理，，

所以在上有唯一一个零点，

又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，

综上可知的取值范围为.

【点晴】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.