2023届高考物理（新人教版）大一轮复习讲义第八章　静电场

专题强化十　静电场中的图像问题

【专题解读　1.本专题主要复习静电场中的图像问题，利用图像分析静电场的力的性质和能的性质。2.通过本专题的学习，可以培养同学们通过“数形结合思想”分析电场的性质。

题型一　v－t图像

根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。

【例1 (2021·河北“五个一名校联盟”模拟)如图1所示，a、b为等量同种点电荷Q1、Q2连线的三等分点，重力不计的带电粒子从a点由静止释放，沿ab方向运动。则带电粒子从a运动到b的过程中，其速度随时间变化的图像可能正确的是(　　)

图1

答案　B

解析　因为等量同种电荷的连线中点处电场强度为零，所以带电粒子从a运动到b的过程中，电场力先减小后增大，对称分布，速度图像的斜率先减小后增大，并且图像对称，故选项B正确。

【针对训练1 (2021·河南新乡市摸底)如图2甲所示，在真空中，两个带电荷量均为q＝1×10－3 C 的负点电荷P、Q固定于光滑绝缘水平面上，将该平面上一质量m＝10 g、电荷量为1×10－3 C的带正电小球(视为质点)从a点由静止释放，小球沿两电荷连线的中垂线运动到两电荷连线的中点O，其从a点运动到O点的v－t图像如图乙中实线所示，其经过b点时对应的图线切线斜率最大，如图中虚线所示，则下列分析正确的是(　　)

图2

A．在两电荷的连线上，O点的电场强度最小，电势最低

B．b点的电场强度大小为10 V/m

C．a、b两点间的电势差为45 V

D．在从a点运动到O点的过程中，小球受到电荷P的作用力先增大后减小

答案　C

解析　点电荷在与其距离为r处的电场强度大小E＝，故两点电荷在O点的合电场强度为0，沿电场线方向电势降低，O点的电势最高，选项A错误；在v－t图像上图线的斜率表示加速度，在b点，ab＝＝1.5 m/s2，根据牛顿第二定律有qEb＝mab，解得Eb＝15 V/m，选项B错误；小球从a点运动到b点的过程，根据动能定理有qUab＝mv－mv，由图乙可知vb＝3 m/s，解得Uab＝45 V，选项C正确；在小球从a点运动到O点的过程中，小球与电荷P间的距离一直减小，所以受到电荷P的作用力一直增大，选项D错误。

题型二　φ－x图像

1．电场强度的大小等于φ－x图线的斜率的绝对值，电场强度为零处φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零。

2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。

3．在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB分析WAB的正负，然后作出判断。

4．在φ－x图像中可以判断电场类型，如图3所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场。

图3

5．在φ－x图像中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。

【真题示例2 (2021·山东卷，6)如图4甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为＋q的点电荷；在0≤x<a区间，x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为－Q的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是(　　)

图4

A．Q＝q，释放后P将向右运动

B．Q＝q，释放后P将向左运动

C．Q＝q，释放后P将向右运动

D．Q＝q，释放后P将向左运动

答案　C

解析　对y轴正向的点电荷，由平衡条件得k＋k＝k，解得Q＝q，由φ－x图像知在0≤x＜a区间内沿x轴正方向电势升高，则电场强度方向沿x轴负方向，将P沿x轴向右略微移动后释放，受到向右的电场力而向右运动，故选项C正确。

【针对训练2 (多选) (2021·天津市模拟)空间某一静电场的电势φ在x轴的分布如图5所示，A、B、C、D是x轴上的四点，电场强度在x方向上的分量大小分别是EA、EB、EC、ED，则(　　)

图5

A．EA＜EB

B．EC＜ED

C．A、D两点在x方向上的场强方向相反

D．同一负点电荷在A点时的电势能小于在B点时的电势能

答案　BCD

解析　在φ－x图像中，斜率的绝对值代表电场强度的大小，由于A点的斜率的绝对值大于B点的斜率的绝对值，所以EA＞EB，故A错误；同理由于C点的斜率的绝对值比D点的斜率的绝对值小，所以EC＜ED，故B正确；由于A点的斜率为负，D点的斜率为正，所以A、D两点在x方向上的场强方向相反，故C正确；由图可知，A点的电势高于B点的电势，根据电势能与电势的关系Ep＝qφ可知，同一负点电荷在A点时的电势能小于在B点时的电势能，故D正确。

题型三　E－x图像

1．E－x图像反映了电场强度随位移变化的规律，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。

2．在E－x

图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。

【例3 (2021·江苏省适应性模拟)某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E－x关系图线如图6所示，ON＝OP，OA＝OB。取O点的电势为零，则(　　)

图6

A．A、B的电势相等

B．从N到O的过程中，电势一直升高

C．电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小

D．电子从N移到O和从O移到P的过程中，电场力做功相等

答案　D

解析　根据U＝Ed可知E－x图像与坐标轴围成的面积表示某两点的电势差，由于A和B之间图像与坐标轴围成的面积不为零，则A和B点的电势不相等，故A错误；电场强度E的方向为x轴正方向，从N到O电场强度方向沿x轴正方向增加，根据沿电场线方向电势降低可知，从N到O的过程中，电势一直降低，故B错误；从N到P电场线一直是沿＋x方向，电子从N移到P的过程中电场力方向一直沿x轴负方向，电场力一直做负功，电势能一直增大，故C错误；由E－x图像与坐标轴围成的面积表示某两点的电势差可知，从N到O和从O到P电势差相等，根据W＝qU可知，电子从N移到O和从O移到P的过程中，电场力做功相等，故D正确。

【针对训练3 (多选) (2021·湖南怀化市一模)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图7所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则下列说法正确的是(　　)

图7

A．从O点到C点，电势先升高后降低

B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动

C．粒子运动到C点时动能大于3Ek

D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量

答案　CD

解析　从O点到C点，电场强度方向保持不变，由于开始电场强度方向沿x轴正方向，所以沿电场线方向电势逐渐降低，则从O点到C点，电势逐渐降低，则A错误；由图像可知电场强度先增大后减小，则电场力也是先增大后减小，所以粒子的加速度先增大后减小，一直做变加速运动，则B错误；因图像与横坐标轴围成的的面积表示电势差，则有UOC>3UOA，由动能定理有qUOA＝Ek，qUOC＝EkC，由上几式可得EkC>3Ek，所以粒子运动到C点时动能大于3Ek，则C正确；因UAB>UBC，所以粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，则D正确。

题型四　Ep－x图像

1．反映了电势能随位移变化的规律。

2．由Ep－Ep0＝Fx，得Ep＝Ep0＋Fx，故Ep－x图像的切线斜率表示电场力。

3．进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况。

【例4 (2021·山东烟台市适应性模拟)一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图8所示，则粒子在从x1向x3运动的过程中，下列说法中正确的是(　　)

图8

A．在x1处粒子速度最大

B．在x2处粒子加速度最大

C．在x3处电势最高

D．在x2处电势为零

答案　C

解析　带负电粒子只在电场力作用下运动，所以动能与势能之和是恒定的，则粒子在从x1向x3运动的过程中，在x3处的电势能最小，所以速度最大，A错误；根据电场力做功与电势能的关系W＝－ΔEp＝Ep0－Ep，解得Ep＝－W＋Ep0＝－Fx＋Ep0，即图像中的斜率表示电场力大小，在x2处图像的斜率为零，所以粒子加速度为零，B错误；负电荷在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，在x3处的电势能最小，所以电势最高，C正确；根据公式φ＝可知在x2处电势不为零，D错误。

【针对训练4 (多选)在绝缘光滑的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定正电荷QA、QB，两电荷的位置坐标如图9甲所示。若在A、B间不同位置放置一个电荷量为＋q的带电滑块C(可视为质点)，滑块的电势能随x变化关系如图乙所示，图中x＝L点为图线的最低点。现让滑块从x＝2L处由静止释放，下列有关说法正确的是(　　)

图9

A．小球在x＝L处的速度最大

B．小球一定可以到达x＝－2L点处

C．x＝0和x＝2L处电场强度大小相等

D．固定在AB处的电荷的电荷量之比为QA∶QB＝4∶1

答案　AD

解析　滑块C受重力、支持力和电场力，其重力和支持力在竖直方向相抵消，滑块C受的合外力为电场力，再由电荷在电场中电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增加，由题图可知在x＝L处电势能最小，则滑块在x＝L处的动能最大，A正确；由题图可知，x＝－2L处的电势能大于x＝2L处的电势能，又因滑块由静止释放，滑块不能到达x＝－2L处，B错误；电荷在x＝L处电势能最小，即正电荷QA、QB在x＝L处的电场强度等大反向，即x＝L处的电场强度为零，有＝，解得QA∶QB＝4∶1，所以x＝0和x＝2L处电场强度大小分别为E0＝－＝，E2L＝－＝－，C错误，D正确。

对点练 v－t图像

1．(多选) (2021·新疆维吾尔自治区3月检测)一带正电粒子仅在电场力作用下从A点由静止开始做直线运动，其v－t图像为正弦曲线，如图1所示。已知粒子在t1时刻运动到B点，t2时刻运动到C点，t3时刻运动到D点，t4时刻运动到E点，下列判断正确的是(　　)

图1

A．A、E两点重合

B．C、D两点场强大小关系为EC<ED

C．A、C、E三点的电势相等

D．粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少

答案　AC

解析　由对称性可知，A、E两点重合，B、D两点重合，故A正确；由qE＝ma可知，粒子加速度大时电场强度大，又速度—时间图像的斜率表示加速度，即t2时刻加速度大于t3时刻加速度，所以EC>ED，故B错误；粒子的电势能与动能之和保持不变，A、C、E三点动能为0，所以电势能相等，故φA＝φC＝φE，故C正确；粒子由A到B速度增大，动能增大，电势能减小，由B到C速度减小，动能减小，电势能增加，故电势能先减小后增大，故D错误。

2．(2021·山西朔州、怀仁市期末)如图2甲所示，Q1、Q2为两个固定点电荷，其中Q1带正电，它们连线的延长线上有a、b两点。一带正电的试探电荷以一定的初速度沿直线从b点开始经a点向远处运动，其速度图像如图乙所示。则下列说法正确的是(　　)

图2

A．在Q1、Q2之间放置一个点电荷，该点电荷可能处于平衡状态

B．从b到a电场强度逐渐减小，且a点电场强度为零

C．b点右侧电势逐渐升高

D．在Q1左侧的连线延长线上存在电场强度为零的点

答案　B

解析　速度—时间图像的斜率表示加速度，由图乙知，试探电荷经过a点时的加速度为零，由牛顿第二定律知，电荷所受的电场力为零，则a点的合电场强度必为零，Q1、Q2在a点产生的电场强度大小相等、方向相反，故Q2一定带负电，在Q1、Q2之间电场强度向右，放置一个点电荷，不能处于平衡状态，故A错误；分析图像乙可知，从b到a的加速度逐渐减小，则电场强度逐渐减小，a点的电场强度为零，故B正确；试探电荷从b点向右侧运动的过程中，速度先减小后增大，则动能先减小后增大，只有电场力做功，动能和电势能之和恒定，则电势能先增大后减小，由于试探电荷为正，则b点右侧的电势先升高后降低，故C错误；a点的电场强度为零，根据库仑定律可知，电荷量Q1＞Q2，在Q1的左侧，电场强度方向向左，不存在为零的位置，故D错误。

对点练 φ－x图像

3．(2021·重庆市巴蜀中学适应性考试)如图3所示为某静电场中x轴上各点电势φ的分布图，一个带电粒子从坐标原点O处静止释放，仅在静电力作用下从坐标原点O沿x轴正方向运动，则(　　)

图3

A．粒子一定带负电

B．粒子在x1与x3两点的加速度相等

C．粒子从x1运动到x3，电势能先减小后增大

D．粒子释放后将在x轴正方向某一范围内做往复运动

答案　C

解析　由题图可知，从x1到x2电势逐渐降低，说明电场方向水平向右，粒子从静止开始向右运动，受力与电场强度方向相同，带正电，故A错误；由φ－x图像斜率的绝对值等于电场强度的大小可知，在x1与x3处，切线斜率不同，则电场强度大小不相等，加速度不相等，故B错误；从x1到x3电势先降低后升高，粒子的电势能先减小后增大，故C正确；从原点到x轴正方向任意一点电势差均不为零，电场力对粒子做正功，速度方向一直沿x轴正方向，故D错误。

4．(2021·湖南省名校联盟联考)某静电场的电场线与x轴平行，电势φ随x坐标变化的关系图像如图4所示。若将一带电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，在仅受电场力的作用下，该粒子在x轴上沿着轴线的正方向运动，已知电场中A、B两点的x坐标分别为10 mm、30 mm，则(　　)

图4

A．该带电粒子一定带负电荷

B．该电场为匀强电场，电场强度大小为1 000 V/m

C．该粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电势能一直增大

D．在x轴上从A点到B点电场的方向先沿x轴正方向后沿负方向

答案　B

解析　粒子受力方向和电场方向相同，故粒子带正电荷，选项A错误；φ－x图像的斜率表示电场强度大小，斜率不变说明电场为匀强电场，电场强度大小为E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m，选项B正确；粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减少，选项C错误；由图像知电势一直降低，根据沿着电场线方向电势降低，所以在x轴上从A点到B点电场强度都沿x轴正方向，选项D错误。

5．(2021·山东青岛市黄岛区期末)在平行于x轴的静电场中，其电势φ随x的分布如图5所示，一质量m＝1.0×10－6 kg，带电荷量大小为q＝1.0×10－9 C的粒子从x轴上的(2，0)点由静止开始释放，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。忽略粒子的重力等因素，下列说法正确的是(　　)

图5

A．粒子带正电

B．x轴上O点右侧电场强度是左侧电场强度的两倍

C．该粒子的最大速度为0.2 m/s

D．该粒子运动的周期为0.4 s

答案　C

解析　沿电场线方向电势降低，则根据题图可知，x轴左侧电场强度方向沿x轴负方向，x轴右侧电场强度方向沿x轴正方向，粒子仅在电场力作用下在x轴上往返运动，则粒子带负电，A错误；由U＝Ed知，左侧电场强度为E1＝＝ V/m＝2.0×103  V/m，右侧电场强度为E2＝＝ V/m＝1.0×103  V/m，B错误；该粒子运动过程中电势能的最大值Epm＝qφm＝－1.0×10－9×20 J＝

－2×10－8 J，由能量守恒定律得当电势能最小时动能最大，最大动能为Ekm＝2×10－8 J＝mv，解得最大速度vm＝0.2 m/s，C正确；设粒子在原点左右两侧运动的时间分别为t1、t2，在原点时的速度为vm，vm＝t1，vm＝t2，而周期T＝2(t1＋t2)＝0.6 s，D错误。

6．(2021·湖南株洲市检测)q1、q2为固定在x轴 上的两个点电荷，x轴上部分区域的电势分布如图6所示，则(　　)

图6

A．q1带负电，q2带正电

B．q1电荷量小于q2电荷量

C．a点电场强度小于c点电场强度

D．若将电子从a点沿x轴移到c点，其电势能先减小后增大

答案　D

解析　在φ－x图像中，切线的斜率表示电场强度的大小，由图可知，b点的电场强度为零，a点到b点到c点的电势先升高后降低，顺着电场线方向电势逐渐降低，可知a、b两点之间电场强度方向向左，b、c两点之间电场强度方向向右，则有q1带正电q2带负电，故A错误；b点的电场强度为零，因为q1到b点的距离大于q2到b点距离，由点电荷的电场强度公式可知，q1电荷量大于q2电荷量，故B错误；在φ－x图像中，切线的斜率表示电场强度的大小，所以a点电场强度大于c点电场强度，故C错误；由于电子带负电，根据电势能与电势的关系式Ep＝qφ可知，电子从a点沿x轴移到c点，其电势能先减小后增大，故D正确。

对点练 E－x图像

7．(2021·重庆市重点中学联考)如图7所示，真空中位于x轴上的两个等量正点电荷的位置关于坐标原点O对称，规定电场强度沿x轴正方向为正，无穷远处电势为0。下列描述x轴上的电场强度E或电势φ随位置x的变化规律正确的是(　　)

图7

答案　A

解析　由点电荷在真空中某点形成的电场强度公式E＝k和电场叠加原理可知，沿x轴方向，－∞→A点，电场强度为负，逐渐变大，A点→O点，电场强度为正，逐渐减小，O点→B点，电场强度为负，逐渐变大，B点→＋∞，电场强度为正，逐渐减小，故A正确，B错误；无穷远处电势为零，根据等量同种正电荷的电场线分布图知，等量同种正电荷电场中的电势不会为负值，且O点处电势大于零，故C、D错误。

8. (2021·湖南省模拟)平行金属板A、B带等量异种电荷，以过两板中心O点(原点)的某轴线为x轴、由A指向B的方向为电场强度的正方向，作出电场强度大小随坐标变化的图像如图8所示，其中aO＝Ob＝l。下列说法正确的是(　　)

图8

A．A板带正电

B．沿x轴正方向电势降低

C．电势差UbO＝UOa＝E0l

D．将电子沿x轴由a点移动到b点，电子的电势能不变

答案　D

解析　a、b间电场强度大小为E0且保持不变，则其为匀强电场，外侧电场强度快速趋近于零，且都为负值，因此x轴为平行于两板的中心轴线，电场强度为负表示电场强度方向由B指向A，如图所示，则A板带负电，选项A错误；由于两板间的x轴为一等势线，电势不变，b、O与O、a之间的电势差均为零，所以将电子由a点沿x轴移动到b点，电场力不做功，电势能不变，选项B、C错误，D正确。

对点练 Ep－x图像

9．(多选) (2020·天津市东丽区等级考模拟)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图9所示，其中0～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是(　　)

图9

A．x1处电场强度为零

B．x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1＞φ2＞φ3

C．粒子在x2～x3段速度v随x均匀减小

D．x2～x3段是匀强电场

答案　ABD

解析　根据电势能与电场力关系qE·Δx＝ΔEp，可知Ep－x 图像切线的斜率是电场力，在x1处切线斜率为零，粒子在x1处所受电场力为零，则x1处电场强度为零，故A正确；根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，粒子带负电，q＜0，则知电势能越大，粒子所在处的电势越低，所以有φ1＞φ2＞φ3，故B正确；由图可知x2～x3段斜率不变，则电场力不变，电场强度不变，是匀强电场，粒子所受的电场力不变，做匀变速直线运动，速度随时间均匀变化，不会随x均匀减小的，故C错误，D正确。

10．(2021· 广东六校联考)如图10所示，在x轴上放有两个电荷量分别为q1和q2的点电荷，其中q1位于x轴的坐标原点，电荷q2的右侧各点电势φ随x变化的关系如图曲线所示，其余部分的电势变化情况没有画出，其中B点电势为零，BD段中的电势最低点为C点，则(　　)

图10

A．B点的电场强度大小为零

B．A点的电场强度方向向左

C．两点电荷的电荷量的大小关系为q1<q2

D．将一带负电的试探电荷从C点移到D点，电场力做负功

答案　B

解析　根据E＝，可得B点的电场强度等于图像在B点的斜率，故B点的电场强度大小不为零，故A错误；C点电场强度为0，且C点靠近电荷q2，故q1与q2为异号电荷，且q1>q2，故C错误；q1、q2为异号电荷，且q2附近电势为正，所以q2为正电荷，q1为负电荷，A点的电场强度方向向左，故B正确；根据电场力做功W＝qUCD＝(－e)(φC－φD)>0，将一带负电的试探电荷从C点移到D点，电场力做正功，故D错误。

11．(多选)(2021·广东新高考八省大联考)如图11甲所示，在某电场中建立x坐标轴，A、B为x轴上的两点，xA、xB分别为A、B两点在x轴上的坐标值。一电子仅在电场力作用下沿x轴运动，该电子的电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　)

图11

A．该电场一定不是孤立点电荷形成的电场

B．A点的电场强度小于B点的电场强度

C．电子由A点运动到B点的过程中电场力对其所做的功W＝EpA－EpB

D．电子在A点的动能小于在B点的动能

答案　AC

解析　根据功能关系知，Ep＝qφ，电场强度E＝，得E＝·，即有＝qE，图线的斜率k＝qE，则知E保持不变，说明电场强度不变，所以该电场一定是匀强电场，一定不是孤立点电荷形成的电场，EA＝EB，故A正确，B错误；电子由A点运动到B点的过程中，由功能关系可得，电场力对其所做的功W＝EpA－EpB，故C正确；根据能量守恒定律得知，电子从A到B电势能增大，动能减小，即电子在A点的动能大于在B点的动能，故D错误。