2021-2022学年安徽省合肥市第一中学高二下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年安徽省合肥市第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的图像在点处的切线方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求导，再分别求得，，由点斜式写出切线方程.

【详解】由题意可得，则．

因为，

所以，

则所求切线方程是，即．

故选：A

2．函数的零点的个数为（       ）

A．1 B．3 C．2 D．4

【答案】A

【分析】首先判断函数的单调性，再判断函数的零点个数.

【详解】在上是增函数，且

的零点个数为.

故选：A.

【点睛】本题考查判零点个数，重点考查导数判断函数单调性，属于基础题型.函数的零点的判断方法有三种：一、直接求零点：令 ，如果能求出解，有几个解就有几个零点；二、零点存在性定理：函数在连续的区间上有定义且，则函数在上存在零点；三、先把所求的函数分解成两个简单的函数，再由两函数图象看交点个数，交点横坐标即为函数的零点.

3．乘积展开后的项数是（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用乘法计数原理可得结果.

【详解】由题意可知乘积展开后的项数是.

故选：C.

4．已知随机变量的分布列如表：

若，则（       ）

A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6

【答案】C

【分析】利用分布列的性质，和期望公式，求得，再根据方差公式求方差.

【详解】解：由分布列的性质，可得，解得①，

∵，

∴，即②，

联立①②解得，，

.

故选：C.

5．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（       ）

A．9 B．10 C．36 D．45

【答案】D

【分析】结合二项式展开式的二项式系数求得正确结论.

【详解】由题意知第10行的数就是二项式（a+b）10的展开式中各项的二项式系数，

故第10行第9个数是．

故选：D

6．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】依题意,,故.故选B.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

7．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为（       ）

A．30 B．60 C．70 D．140

【答案】B

【分析】根据题意，结合正态分布的特征，求出免疫反应蛋白的数值不低于20的人数占总人数的比例，即可得到正确选项.

【详解】因为，且在区间内的人数占总人数的，

故，

所以，

所以这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为.

故选：B.

8．设，则（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【分析】将原式化为，然后通过分别比较左右两边，的系数，列方程组可求得结果

【详解】解：由题意得，，

左边的系数为，右边的系数为，

所以，

左边的系数为，右边的系数为，

所以，

所以，

故选：A

二、多选题

9．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（       ）

A．共有60种不同的坐法

B．空位不相邻的坐法有72种

C．空位相邻的坐法有24种

D．两端不是空位的坐法有18种

【答案】ACD

【分析】按照题目给定的条件排列即可.

【详解】对于A， ，故A正确；

对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，

故有 种插法， ，故B错误；

对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，

故C正确；

对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，

第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种，

故D正确；

故选：ACD.

10．（多选）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.

【详解】对于A，，，

当时，，，故不是凸函数；

对于B，，，故是凸函数；

对于C，，对任意的，，故是凸函数；

对于D，，对任意的，，故不是凸函数．

故选：AD．

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的新定义，解本题的关键在于验证每个选项中的是否对于任意的，对于新定义的问题，在求解时一定要抓住新定义的本质，利用相关的数学知识求解.

11．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（       ）

A．取出的最大号码X服从超几何分布

B．取出的黑球个数Y服从超几何分布

C．取出2个白球的概率为

D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为

【答案】BD

【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；对于，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为．

【详解】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，

对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，

也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，

由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；

对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，

由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；

对于，取出2个白球的概率为，故错误；

对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

则取出四个黑球的总得分最大，

总得分最大的概率为，故正确．

故选：．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

12．已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】ACD

【分析】通过只有一个零点，化为只有一个实数根．

令，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当时，②当时，③当时，④当时，验证函数的零点个数，推出结果即可．

【详解】解：，．

只有一个零点，

只有一个实数根，

即只有一个实数根．

令，则，

函数在上单调递减，且时，，

函数的大致图象如图所示，

所以只需关于的方程有且只有一个正实根．

①当时，方程为，解得，符合题意；

②当时，方程为，解得或，不符合题意；

③当时，方程为，得，只有，符合题意．

④当时，方程为，得，只有，符合题意．

故选：ACD．

【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．

三、填空题

13．函数在区间上的最小值为_________.

【答案】0

【分析】利用导数得到函数单调性，即可求解.

【详解】由题意可得当时，；当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以

故答案为：0

14．为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.

【答案】40

【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可.

【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种；

2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.

所以不同的分配方法共有种.

故答案为：40

15．某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛，开始记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5、0.6、0.8，甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3、0.2、0.1，最后得分大于等于7胜出，则甲胜出的概率为________.

【答案】0.446

【分析】甲要胜出至少得7分，3场比赛要胜2场平1场或3场均胜．由独立事件的概率公式可得．

【详解】两人比赛，一人胜、平、负是互斥事件，因此由题意甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2、0.2、0.1，

所以甲胜的概率为．

故答案为：0.446．

【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率．解题关键是确定甲胜这个事件是怎样发生的．本题还考查了互斥事件的概率公式．

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．

【答案】

【详解】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则.

，

，

三棱锥的体积.

设，x>0，则，

令，即，得，易知在处取得最大值.

∴.

点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.

四、解答题

17．（1）解不等式；

（2）求的值 ．

【答案】（1）的取值集合为；（2）.

【分析】（1）利用组合数公式化简可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的取值；

（2）根据题意列出关于的不等式组，结合可求得的值，再结合排列数公式可求得结果.

【详解】解：（1）由得，

整理得，整理可得，解得，

因为且，故的取值集合为；

（2）由已知可得，解得，因为，所以，

因此，.

18．在二项式的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．

(1)求展开式中各项的系数和；

(2)求展开式中的有理项．

【答案】(1)

(2)，，

【分析】（1）根据二项式系数的性质，当二项展开式为奇数项时，中间项二项式系数最大，可得值，令即可得各项系数和；

（2）写出二项展开式的通项，找出使的指数为整数的值即可.

【详解】(1)恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ ，

∴ 二项式中，令 ，展开式中各项的系数和为．

(2)通项为    ，r=0，1，2，…，8.

当为整数，即时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即；

；

.

19．已知函数在点处的切线为．

（1）求函数的解析式：

（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由条件可知，代入求解，得到函数的解析式；（2）根据不等式能成立，转化为，利用导数求函数的最大值，再求的取值范围.

【详解】（1）由题意知：的定义域为，

∵∴，解得

故．

（2）令，，

∴，故在时，单调递增，．

要存在实数m，使得在时成立，

只要即可，解得：．

20．某地区为了了解人民群众对新型冠状病毒肺炎认知情况，调查了年龄在的人群，通过调查数据表明，新型冠状病毒肺炎的感染是人民群众较为关心的问题，参与调查的人群中能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的约占.现从参与调查并关注新型冠状病毒肺炎问题的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到了如图所示的频率分布直方图.

(1)求这人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(2)现在要从年龄较大的第、组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行访谈，求第组恰好抽到人的概率；

(3)若从众多参与调查的人中任意选出人，设能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的人数为随机变量，求的分布列与方差.

【答案】(1)平均数为41.5岁，中位数为岁

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】(1)根据平均数和中位数的定义计算可求；(2)利用古典概型的概率公式求解；(3)由条件判断随机变量的分布类型，再根据方差公式求方差.

【详解】(1)由，得，

∴平均数为（岁），

设中位数为岁，则，解得(岁)，

即中位数约为岁；

(2)由频率分布直方图可得第、组的频率比为3:1；所以从第、组中抽取的人数比为3:1，又两组共抽取8人，所以第、组抽取的人数分别为人、人，     

设从人中随机抽取人进行访谈且第组恰好抽到人为事件，则；   ..

(3)从众多参与调查的人中任意选出人，能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的概率为，

可取、、、，服从，

则，， ，，

则的分布列为：

∴.

21．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【详解】解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，

该选手被淘汰的概率

．

（Ⅱ）的可能值为，，，．

的分布列为

．

解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，．

该选手被淘汰的概率

．

（Ⅱ）同解法一．

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为；单减区间为

(2)

【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数的单调区间；（2）同构处理，为设函数，则，结合的单调性得到有两个根，结合第一问中的结论，列出不等关系，求出a的取值范围.

【详解】(1)函数的定义域为，

．

函数的单调递增区间为；单减区间为．

(2)要使函数有两个零点，即有两个实根，

即有两个实根．

即．

整理为，

设函数，则上式为，

因为恒成立，所以单调递增，所以．

所以只需使有两个根，设．

由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，

故函数在处取得极大值，．

当时，；当时，，

要想有两个根，只需，解得：．

所以a的取值范围是．

【点睛】对于导函数求解参数取值范围问题，同构是一种很重要的方法，特别是当条件中同时出现了指数函数与对数函数，比如同时出现了与的时候，要能从同构的角度去思考.